基于Bloch-Floquet理論的周期性排樁在軌道交通隔振中的應用研究

姜博龍， 劉維寧， 馬 蒙， 孫曉靜， 李明航(北京交通大學 土木建筑工程學院， 北京 100044)

隨著城市軌道交通的蓬勃發展，線網日益加密，列車運行引起的環境振動對沿線居民的日常工作及生活、精密儀器的正常使用、古建筑和文物完整性的保護都造成一定的影響，因而引發廣泛關注[1-2]。當線路臨近敏感建筑，而軌道結構減振無法滿足要求的情況下，采用傳播路徑隔振十分必要。

傳播路徑屏障隔振結構分為連續屏障和非連續屏障結構。連續屏障對短波具有較好的阻隔性能，而對于長波其適用性較差[3]。因此，諸多學者將研究目光投向一種具有周期性的非連續波屏障隔振結構，如排樁、孔列、加勁梁板、蜂窩結構、柵格結構等。Woods等[4]對排樁(孔)展開研究，輔以全息照相技術，發現圓柱樁(孔)徑大于1/6入射波波長，且樁(孔)間凈距小于1/4入射波波長的非連續排樁(孔)具有較好的隔振效果；Avlies等[5]按照多次散射與衍射的方法，研究了單排樁(孔)對縱波、橫波以及瑞利波的多次散射問題；Takemiya[6]提出了改造波阻塊(WIB)，稱為蜂窩狀波屏障，這種WIB利用散射原理，可以將入射波調制為短波，可獲得較好的隔振效果；瑞典With C等[7]研究了哥德堡附近平行鐵路的粉煤灰隔振排樁減振效果，發現在60 m范圍內可降低41%～67%的速度峰值。在國內，高廣運[3]突破Woods關于圓柱樁孔徑大于1/6入射波波長的結論，提高了排樁的工程適用性；李志毅等[8]以瑞利波散射的積分方程為基礎，對多排樁屏障的遠場被動隔振效果進行三維分析，討論了影響排樁隔振效果的各項因素。近年來，受到光子晶體和聲子晶體的帶隙特征啟發，部分學者將周期結構應用于工程隔振(震)。程志寶[9]和黃建坤[10]等通過對周期性隔震基礎和周期性排樁的衰減域計算，提出了土木工程領域隔震(振)的新型波屏障。然而利用衰減域特性、針對于軌道交通為振源引起的環境振動的周期性波屏障隔振研究還不充分。為此，本文利用基于Bloch-Floquet理論[11]的平面波展開法求解周期結構帶隙(又稱衰減域，衰減域范圍內的振動無法透過周期結構繼續傳播)，提出具有低頻、寬帶特點的優勢結構，并建立車-軌-隧道-地層-周期性波屏障耦合的三維有限元模型，驗證衰減域的正確性，綜合評價周期結構的隔振效果。

1 衰減域計算的平面波展開法

平面波展開法(PWE)[12-13]由波動方程出發，根據Bloch-Floquet理論將方程中的位移、彈性參數、密度等物理量在倒格矢空間以平面波疊加的形式展開，從而將波動方程轉化為本征方程，所求得的本征值即為彈性波的本征頻率。本文將圍繞典型的二維周期性結構(結構的基本單元沿x、y兩個方向周期排列)展開，彈性波在xoy平面內傳播，平面內與平面外解耦，介質中的位移只與x、y坐標有關，而與z坐標無關，這樣彈性波基本方程中所有對z求偏導的項全部為0。故可簡化得到XY模式的矢量方程為

( 1 )

( 2 )

Z模式的標量方程為

( 3 )

式中：ρ為密度；λ、μ為Lame常數；u為質點位移。

周期結構中密度ρ、λ、μ等參數都是空間位置矢量r的周期函數，根據Bloch-Floquet理論可將上述物理量在倒格矢空間展開為

( 4 )

式中：G1為倒格矢；r=[xyz]T。

同樣根據Bloch-Floquet理論，波動方程的解可寫為

( 5 )

式中：G2為倒格矢;K為格矢。

將式( 5 )帶入波動方程式( 1 )、式( 2 )，將結果寫成簡化的矩陣形式為

( 6 )

式中：G3=G2+G1；

[λG3-G2(K+G2)l(K+G3)j+

μG3-G2[(K+G2)j(K+G3)l]}

( 7 )

在局域共振型周期結構[14]中，密度和彈性常數的傅里葉展開系數定義為

( 8 )

式中：積分域為基本單元；S為基本單元面積；G為倒格矢。

對于附有填充材料的結構，fG形式為

( 9 )

由晶體結構的平移周期性和對稱性可知，令波矢掃略對應基本晶格的第一簡約布里淵區，可得到整個結構的頻散曲線和衰減域特性。

2 算例分析

二維三組元局域共振型周期性排樁布置見圖 1(a)，為三排套筒圓柱樁，樁(軸心)間距即周期常數為a=4 m，樁內半徑R2=1.2 m填充材料厚度為R1-R2=0.4 m。

以樁為散射體，內芯所使用材料為混凝土，填充材料為鑄鐵，土為基體，材料參數見表 1。按照1節中的方法分別計算XY模式(平面內)和Z模式(平面外)衰減域。根據固體物理中的晶格理論[15]，此布置形式為六角晶格，見圖 1(b)，陰影部分為其第一簡約布里淵區，M、Г、X為區域頂點。將波矢掃略整個六角晶格的第一簡約布里淵區即可獲得其衰減域。衰減域計算結果見圖2～圖4。

表1 材料參數

圖2～圖4為三種樁-土局域共振型周期結構的衰減域，其灰色部分為完全衰減域AZ(Attenuation Zone)，說明此頻率范圍內的彈性波沒有與之對應的波矢，即該頻段的彈性波在此周期性波屏障中任何波矢方向無法傳播。由圖2～圖4可見，各周期結構衰減域的起始頻率LBF(Lower Bound Frequency)、截止頻率UBF(Upper Bound Frequency)和衰減域寬度WAZ(Width of Attenuation Zone)。分析表明，上述結構具有良好的低頻、寬帶隔振效果；覆土、粉質黏土和卵石砂礫與套筒樁構成的三種周期波屏障無論是在平面內還是平面外，其第一完全衰減域的LBF逐步增大，帶寬也逐步增加，這主要受散射體(土體)的彈性模量影響，降低散射體彈性模量可有效降低周期結構第一衰減域起始值，但同時縮小衰減域寬度，見表2；對于軌道交通引起的環境振動，影響范圍主要在200 Hz以內，顯著頻率在20～80 Hz[16]，因此，20～80 Hz范圍內的衰減域是被重點關注的，由表 2可以知道三種土-樁周期結構衰減域在20～80 Hz范圍內的分布情況，覆土和粉質黏土與樁構成的周期結構在該頻段內具有較好的隔振表現，卵石砂礫-樁結構衰減域落在此范圍內寬度較小，因此在設計樁長時可考慮僅設置到粉質黏土埋置深度，由于覆土-樁周期波屏障具有更低頻的隔振效果，可以考慮將其用于臨近對低頻振動較為敏感的建筑物周圍的遠場隔振，其平面外衰減域起始頻率為16.04 Hz，可以考慮嵌于基礎之下隔振。

表2 三種周期結構在20～80 Hz第一衰減域的分布情況 Hz

3 有限元模型驗證

3.1 模型概況

為驗證衰減域計算結果的正確性，分析周期排樁隔振效果，選取某地鐵線路旁經科研院所樓宇作為案例研究背景，分別進行有限元建模計算和現場測試，場地測試數據用以校核數值模型。其線路走行與建筑物相對位置關系見圖 5。

利用ABAQUS建立基底-隧道結構-周期排樁波屏障-地層三維動力有限元模型，見圖 6。輸入激勵采用周期性車輛-軌道耦合解析模型，見圖7，計算得到鋼彈簧浮置板隔振器下的反力，并將該反力時程加載在基底上，拾取地表振動響應，預測并驗證周期性排樁的隔振效果。本案例地鐵隧道為兩個平行的單洞單線盾構隧道(圖6中僅示意單側)，埋深為10.5 m，混凝土管片。盾構隧道斷面內徑為2.7 m，襯砌厚度為0.3 m。兩個區間盾構隧道中線間距13 m。每一環由6個管片組成，縱向由螺栓連接。混凝土襯砌的彈性模量E=35 000 MPa，泊松比ν=0.25，密度ρ=2 500 kg/m3。隧道仰拱處灌注混凝土道床，基底回填及浮置板動彈性模量E=4.2×1 010 Pa，泊松比ν=0.3，密度ρ=2 500 kg/m3。計算時將土層簡化為填土層、粉質黏土層、卵石砂礫層，土動力參數見表 1。樁為3排，布置形式見圖1(a)，三排樁中距離隧道最近的一排，其軸心距右線隧道中心線距離為16.5 m。采用有限元法模擬空間的振動問題時，截斷邊界上產生反射，使得計算失真，為了避免產生影響，在計算模型邊界處設置彈簧阻尼吸收邊界。模型范圍為100 m×60 m×24 m。

3.2 列車荷載計算

采用本課題組研制的列車-浮置板軌道動力相互作用仿真程序(STFSTI)[17]計算鋼彈簧作用在基底的反力，并將其作為激勵輸入3.1節中的有限元模型。該程序運用無限-周期結構理論，考慮移動車輛狀態激勵與軌道結構不平順的耦合方式，以及浮置板分段、隔振器支撐間距與軌道扣件間距不相等的軌道結構形式，給出了車軌耦合在波頻域內的解析解，可直接求得浮置板隔振器的動反力，見圖 7。

計算的車輛為B型車，鋼軌和扣件基本計算參數見表 3，采用加厚設計的浮置板軌道道床板，行車速度為60 km/h，使用美國軌道譜。

表3 軌道、扣件基本參數

注：以上軌道參數均對應于兩股鋼軌。

圖8為根據上述參數計算得到的基底受力時程與頻譜，將作為輸入3.1節中有限元模型的振源激勵。

3.3 現場測試及模型校核

對工程背景中科研樓旁地表振動進行監測，具體測點布置見圖5。用PB4測點處數據對有限元模型進行校核，確保模型的正確性及預測結果的準確性。測試主要儀器為：INV3060S型24位網絡分布式同步采集儀，振動加速度采用LanceAS0115系列振動加速度傳感器，量程0.12g，頻率范圍為0.2～600 Hz，靈敏度為35 113 mV/g左右(不同傳感器有微小差別)，傳感器使用前全部由國家權威檢測部門重新標定。

將實際測試得到的地表振動與根據工程資料建立模型對應位置拾振點的振動量值對比，見圖 9。在10～80 Hz范圍內模型拾振點處與對應位置處實測結果吻合良好，此頻段也是排樁波屏障振動衰減域所在頻段，可確保預測模型的準確性，更好地驗證周期波屏障衰減域的正確性。10 Hz以下較實測結果出現較大程度波動，計算值出現峰值，反映了浮置板軌道在7 Hz左右的計算固有頻率，也間接地驗證了模型的正確性。

3.4 結果分析

4 結論

利用基于Bloch-Floquet理論的平面波展開法求解周期波屏障(排樁-土系統)的衰減域，并將該周期性波屏障應用于某工程預測模型中，驗證其衰減域并預測其隔振效果。研究發現：

(1) 通過對衰減域分析，發現相同排樁布置形式下，降低土體彈性模量可有效降低該周期結構第一衰減域起始值，但同時縮小其衰減域寬度；

(2) 覆土和粉質黏土與樁構成的周期結構在20～80 Hz頻段內較卵石砂礫-樁周期結構具有更好的衰減域特性；

(3) 整體看，數值模型分析獲得的衰減域與計算的帶隙重疊區吻合良好，水平方向完全吻合，豎直方向受樁長制約，特定頻段(31～37 Hz)波在樁底繞射效應明顯；

(4) 首層土(覆土)的帶隙起主要控制作用。

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