歷史典故與鴿巢原理

◎孫偉剛

歷史典故“晏子使楚”想必小讀者們耳熟能詳.主人公晏子沉著應對楚王的三次傲慢刁難，迫使楚王甘拜下風，贏得了世人的尊敬與愛戴.但小讀者們知道有關晏子的其他歷史典故嗎？這里，我想將“二桃殺三士”的故事與小讀者們分享，請大家在享受歷史文化大餐的同時細細品味主人公晏子高超的謀略和驚人的膽識，更盼望小讀者們能“咀嚼”出其中的“數學味”來.故事的情節是這樣的：

齊景公蓄養著三名力大無窮、武藝超群的勇士，他們名叫田開疆、公孫捷和古冶子.這三人都為齊景公立下汗馬功勞，但他們剛愎自用、目中無人，自恃勞苦功高，為所欲為.當時齊國的田氏勢力越來越大，而田開疆正屬于田氏一族.晏子很擔心“三杰”為田氏效力，危害國家，便勸齊景公除掉“三杰”，并獻上一計：以國君的名義賞賜三名勇士兩個金桃，讓他們自己評功論賞，按功勞的大小分桃.

三名勇士都認為自己的功勞很大，應該獨占一個金桃，而不愿與別人合吃一個.首先是公孫捷以“打虎救國君”為由得意洋洋地拿走了一個金桃.古冶子見狀，立馬以“殺黿保君渡黃河”為由毫不示弱地拿走了另一個金桃.站在一旁的田開疆眼看金桃分完了，急得大喊大叫：“當年我奉命討伐徐國，舍生入死，斬其名將，俘虜徐兵5000余人，嚇得徐國國君俯首稱臣，就連鄰近的郯國和莒國也望風歸附.如此大功，難道就不能吃個金桃嗎？”公孫捷和古冶子都覺得自己的功勞確實不如田開疆大，感到羞愧難當，趕緊讓出金桃，嘆息道：“咱本領不如人家，卻搶著要吃金桃，實在丟人，是好漢就沒有臉面再活下去了！”說罷，兩個人就拔劍自刎了.田開疆見狀后悔莫及，心想：如果放棄金桃而隱瞞功勞，則有損勇士的威嚴；為了滿足自己而羞辱同伴，又有損哥們的義氣.想到這，他沉不住氣了，大喊道：“我們三人結為兄弟，誓同生死，親如骨肉.如今他倆已死，我還茍活，于心何安？”說完，也拔劍自刎了.

可愛的小讀者們，我們不得不欽佩足智多謀的晏子，是他采用借“桃”殺人的辦法，不費吹灰之力，消除了國家的隱患，鞏固了國君的政權，達到了預定的目的.但小讀者們知道嗎？晏子除了善于運用計謀，還運用了數學中的一個重要的原理——鴿巢原理.

鴿巢原理是一種非常有意思的思想，它可以讓看似復雜的問題變得簡單.那什么是鴿巢原理呢？其中一種簡單的表述法為：若有n個籠子和（kn+1）只鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠里，那么至少有一個籠子有至少（k+1）只鴿子（n，k≥0）.

在晏子“二桃殺三士”這個故事中，把兩個金桃看作兩個鴿巢，把三名勇士看作三只鴿子放進去，那么至少有兩只鴿子（勇士）在同一個鴿巢里，即有兩人必須合吃一個金桃.如果勇士們寧死也不肯忍受同吃一個金桃的羞辱，那么悲劇就無法避免.親愛的小讀者們，你們看懂這個數學原理了嗎？

這個原理雖然簡單，但在數學中卻有廣泛而深刻的運用.19世紀德國數學家狄利克雷（Dirichlet，1805～1859）首先利用它來建立有理數的理論，以后該原理被逐漸應用到許多不同的數學分支中，如在數論、集合論、組合論等學科中都有許多重要的應用.因此鴿巢原理又被稱為狄利克雷原理.

無獨有偶，歷史上還有這樣一個典故：1947年，匈牙利數學家把鴿巢原理引入中學生數學競賽中.當年匈牙利全國數學奧林匹克競賽有一道試題是：

證明：在任意6個人中，一定可以找到3個互相認識的人，或者3個互不認識的人.

這個問題乍一看，似乎令人難以想象，讓人感到十分玄妙而無從下手.其實，只要你懂得鴿巢原理，這道題的證明是十分簡單的.

為方便計算，我們用A、B、C、D、E、F來代表6個人.從中隨便找一個人，例如A吧，其余的5個人，可能與A認識，可能與A不認識.現在把“與A認識”和“與A不認識”當作兩個“鴿巢”，把5個人放到這兩個鴿巢里，根據鴿巢原理，有一個鴿巢里至少有3個人.不妨假定在“與A認識”這個鴿巢里有3個人，例如B、C、D在這一鴿巢里.用平面上的4個點來代表A、B、C、D4人，如果兩人互相認識，就在代表他們的兩點之間連一條線，于是，便得到圖1：

圖1

圖2

再看B、C、D3人，如果他們3個人兩兩互不認識，我們就在這6個人中找到了3個互不認識的人，本題的結論已經獲證.如果B、C、D3個人中，至少有兩人互相認識，例如B與C互相認識，在B、C之間就要連一條線，如圖2.這時，在6個人中就有A、B、C3人互相認識，同樣證明了問題的結論.按照一樣的方法，如果一開始假定在“與A不認識”這個鴿巢里有3個人，同樣可證明問題的結論成立.

這道試題由于它的形式優美，解法巧妙，很快引起數學界的興趣，被許多國家的數學雜志轉載，它的一些變形或推廣題，不斷地被用作新的數學競賽試題.幾十年如一日，半個世紀以來長盛不衰.

讀到這里，相信小讀者們已經對鴿巢原理有了更清晰的認識.兩個歷史典故，彰顯了鴿巢原理的神奇和偉大.關于鴿巢原理的應用，小讀者們是否也想來挑戰一下自己呢？是不是有摩拳擦掌、躍躍欲試的沖動呢？下面一個問題就留給小讀者們思考：

任意給出5個不相同的自然數，其中最少有兩個數的差是4的倍數.這是為什么呢？

（參考答案：一個自然數除以4有兩種情況：一是整除，余數為0，二是有余數1、2、3.如果有2個自然數除以4的余數相同，那么這兩個自然數的差就是4的倍數.把0、1、2、3這四種情況看作4個鴿巢，把5個不同自然數看作5個鴿子，必定有一個鴿巢里至少有2個數，而這兩個數的余數是相同的，它們的差一定是4的倍數.所以任意5個不相同的自然數中至少有兩個數的差是4的倍數.）

很多人會說，數學是枯燥乏味的.其實說這些話的人多數只看到了數學的嚴謹性，沒有體會到數學的內在美.華羅庚先生曾說過：“就數學的本身而言，是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的……”事實上，在五彩繽紛的現實生活中存在著數學的美，在浩瀚飄渺的歷史長河中同樣也蘊含著數學的美.只要我們熱愛生活，從數學的角度細心觀察每一個現象、每一件事，努力挖掘其中的數學成分，有意識地運用數學，就能從另一個角度，體會到數學的妙趣橫生，真正感受到數學的內在美.