整式乘法與因式分解的起承轉合

◎顏廷亮

學習并回顧整式乘法與因式分解的過程，就像我們逐步認識、走近一位朋友的過程：相見之前的“起”——你是誰，初見的“承”——原來（果然）是你，加深認識后的“轉”——究竟是怎樣的你，回想時的“合”——是這樣的你！

一、起——解題前要想

本單元首先學習了單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式，題型是整式乘法的運算；緊接著學習了特殊的整式乘法——乘法公式，題型是乘法公式的考查；最后學習了對“單乘多”“多乘多”（包括乘法公式）的逆用——因式分解，題型應該是因式分解及應用.

二、承——找題時要全

例1 （2017·常州）先化簡，再求值：（x+2）（x-2）-x（x-1），其中x=-2.

【考點】單項式乘多項式、乘法公式.

【解】當x=-2時，原式=x-4=-6.

變式1 （2015·內江）（1）填空：（a-b）（a+b）=_______；（a-b）（a2+ab+b2）=_______；（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=________.

（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=________（其中n為正整數，且n≥2）.

（3）利用（2）猜想的結論計算：29-28+27-…+23-22+2.

【考點】單項式乘多項式、平方差公式、找規律.

【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；

（3）原式=［2-（-1）］［29+28×（-1）+27×（-1）2

例2 （2017·盤錦）下列從左到右的等式變形中，屬于因式分解的是（ ）.

A.x2+2x-1=（x-1）2

B.（a+b）（a-b）=a2-b2

C.x2+4x+4=（x+2）2

D.ax2-a=a（x2-1）

【考點】因式分解的意義.

【解】因式分解的要求是“和化積”，且要求分解完全，所以選C.

例3 （2017·蘇州）分解因式：4a2-4a+1=________.

【考點】用公式法因式分解.

【解】（2a-1）2.

三、轉——解題時要思

經歷“相識”之后，我們加深了解，達到“相知”，數學學習也應該經歷量變到質變的過程，透過現象看本質.首先乘法公式的圖形解釋，讓我們知道在解決問題的時候，往往要“數形結合”；其次，學以致用，我們經歷了從一般到特殊，再到因式分解的逆用，可以用所學知識來解決許多問題.

例4 （2017·寧夏）如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的矩形.根據圖形的變化過程寫出一個正確的等式是（ ）.

A.（a-b）2=a2-2ab+b2

B.a（a-b）=a2-ab

C.（a-b）2=a2-b2

D.a2-b2=（a+b）（a-b）

【考點】平方差公式的幾何背景.

【解】第一個圖形陰影部分的面積是a2-b2，第二個圖形的面積是（a+b）（a-b）.則a2-b2=（a+b）（a-b）.故選D.

變式 （2013·常州）有3張邊長為a的正方形紙片，4張邊長分別為a、b（b＞a）的矩形紙片，5張邊長為b的正方形紙片，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（按原紙張進行無空隙、無重疊拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為（ ）.

A.a+b B.2a+b C.3a+b D.a+2b

【考點】完全平方公式的幾何背景.

【解】3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，4張矩形紙片的面積是4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，

∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，∴拼成的正方形的邊長最長可以為（a+2b），正確答案為D.

例5 用簡便方法計算20042-4008×2005+20052.

【考點】因式分解的應用.

【解】原式（2004-2005）2=1.

變式1 （2016·宜昌）小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：a-b，x-y，x+y，a+b，x2-y2，a2-b2分別對應下列六個字：昌、愛、我、宜、游、美，現將（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解，結果呈現的密碼信息可能是（ ）.

A.我愛美 B.宜昌游

C.我愛宜昌 D.美我宜昌

【考點】因式分解的應用.

【解】原式=（x2-y2）（a2-b2）=（x+y）（x-y）·（a+b）（a-b），所以選C.

變式2 （2017·河北）設五個連續整數的中間一個為n，寫出它們的平方和，并說明是5的倍數.

【考點】因式分解的應用.

【解】（n-2）2+（n-1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2=

5n2+10=5（n2+2），又n是整數，所以5個連續整數的平方和是5的倍數.

四、合——解題后要歸

回顧我們和整式乘法與因式分解的“相識”“相知”，我們還要學會總結，一是對知識發展的過程多多回顧，二是對題型的歸納要完整，三是對能夠鍛煉我們思維的東西要足夠重視，四是做好易錯題的總結.