圖說因式分解

◎孫長江

我們知道整式的乘法與因式分解是互逆的.在學習整式的乘法時可以通過計算圖形面積的方法進行推導，那么我們是否可以利用拼圖的方法進行因式分解呢？下面我們一起通過幾個拼圖活動來試一試吧.

活動一，如圖1，用若干塊邊長為a的正方形、邊長為b的正方形、長為a寬為b的長方形紙片拼出一個圖形，通過這個圖形來證明因式分解的完全平方公式.

圖1

通過拼圖可以得到如圖2的正方形.這個正方形的面積可以表示為a2+2ab+b2，也可以表示為（a+b）2.

圖2

于是，可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2.

證明：a2+2ab+b2=a2+ab+b2+ab

=a（a+b）+b（b+a）

=（a+b）（a+b）=（a+b）2.

活動目的：我們可以借助于這個拼接紙片的活動，經歷完全平方公式產生的過程，并進行算理的證明.

活動二，如圖3，用若干塊邊長為a的正方形、邊長為b的正方形紙片拼出一個圖形，通過這個圖形來證明因式分解的平方差公式.

圖3

通過拼圖可以得到如圖4的兩個圖形.其中，左側圖形陰影部分的面積可以表示為a2-b2.將該陰影部分裁剪、拼接后，得到右側的長方形，其面積也可以表示為（a+b）（a-b）.

圖4

于是，可以得到（a+b）（a-b）=a2-b2.

證明：a2-b2=a2+ab-ab-b2

=a（a+b）-b（a+b）

=（a+b）（a-b）.

活動目的：這個活動通過圖形的疊合、裁剪、拼接等方式“玩”紙片.我們在玩中體驗、感悟、理解平方差公式法因式分解的來龍去脈，并進行了算理的證明.

活動三，如圖5，用若干塊邊長為a的正方形、邊長為b的正方形、長為a寬為b的小長方形紙片拼出一個長方形，通過這個圖形來證明因式分解的結果是多項式乘多項式.

圖5

通過拼圖可以得到如圖6的長方形.這個長方形的面積可以表示為2a2+3ab+b2，也可以表示為（a+b）（2a+b）.

圖6

于是，可以得到2a2+3ab+b2=（a+b）（2a+b）.

證明：2a2+3ab+b2=a2+2ab+b2+a2+ab

=（a+b）2+a（a+b）

=（a+b）（2a+b）.

活動目的：通過這個拼紙片的游戲感受因式分解中較難的“十字相乘法”的源起.

以上拼圖活動讓我們感受到了真正的“做中學”和“學中做”，幫助我們更深刻地理解了數學中的數形結合思想：拼圖游戲——形；分解多項式——數.下面就讓我們小試牛刀吧！

例題：有足夠多的長方形和正方形的卡片，如圖7.

圖7

如果選取的1號、2號、3號卡片分別為1張、2張、3張，如圖8，可拼成一個長方形（不重疊無縫隙）.請畫出這個長方形草圖，并運用拼圖前后面積之間的關系寫出一個等式.

圖8

這個等式是________________________.

（2）小明想用類似的方法解釋因式分解2a2+7ab+3b2=（a+3b）（2a+b），那么他需要用1號紙片________張，2號紙片________張，3號紙片_______張.

【解】（1）如圖9所示，我們可以拼出下面的長方形.

圖9

這個長方形的面積可以表示為a2+3ab+2b2.

也可以表示為（a+b）（a+2b）.故，這個等式可以表示為：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）.

（2）我們也可以先進行拼圖，如圖10.

圖10

通過拼圖發現，這個長方形的面積可以看成是12張卡片的面積之和，即：2a2+7ab+3b2；也可以從整體來看，是一個長為a+3b，寬為2a+b的長方形，它的面積可以表示為（a+3b）（2a+b）.于是我們可以得到：2a2+7ab+3b2=（a+3b）（2a+b）.

從所拼成的長方形不難發現，需用1號卡片2張，2號卡片3張，3號卡片7張.

同學們，利用拼圖對多項式進行因式分解，需要大家在活動中反復操作、嘗試直至可以拼成無空隙、不重疊的長方形.經過以上嘗試可以發現，通過拼圖來做因式分解題費時費力，在這里不如直接用代數法來得簡便、快捷.拼圖法只是為了幫助大家更好地理解代數法.