漫談因式分解的方法與技藝

◎吳文忠

把一個多項式寫成幾個整式的積的形式，這種變形叫做多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.因式分解是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，在求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應用，是解決許多數學問題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強.學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養解題技能、發展思維能力都有著十分獨特的作用.學習它，既可以復習整式的四則運算，又能為學習分式打基礎；學好它，既培養了觀察、思維、運算能力，又提高了綜合分析和解決問題的能力.常見的因式分解方法有：提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等.

一、提公因式法

如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

例1 分解因式：-2m3+8m2-2m.

【分析】當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數都取次數最低的.如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數成為正數.提出“-”號時，多項式的各項都要變號.

解：原式=-2m·m2-2m·（-4m）-

【點評】提完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數相同；注意2a+1=不是提公因式，因為括號內不得出現分數.提公因式法可以用一句話來概括：找準公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負要變號，變形看奇偶.

二、公式法

如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.

平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2.

例2 （2017·無錫）分解因式：3a2-6a+3.

【分析】能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數（或式）的積的2倍.

解：原式=3（a2-2a+1）=3（a-1）2.

【點評】提完公因式后，再運用完全平方公式繼續分解因式.公式法也可以用一句話來概括：首平方，尾平方，積的二倍放中央；同號加、異號減，符號添在異號前.

三、分組分解法

通過分組分解的方式來分解的因式一般有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法.初中教材中只是作為閱讀內容供同學們課外了解、研究，沒有作為必學內容展開.

例3 分解因式：ac+bc+3a+3b.

【分析】可以把ac和bc分為一組提取公因式c，3a和3b分為一組提取公因式3，最后再提取公因式（a+b）.

解：原式=c（a+b）+3（a+b）=（a+b）（c+3）.

【點評】當然也可以把ac和3a分為一組提取公因式a，bc和3b分為一組提取b，最后再提取公因式（c+3）.一定要合理分組.

四、十字相乘法

十字相乘法在初中教材中沒有涉及，但在高中的數學學習中運用得非常多.它有兩種情況：①x2+（p+q）x+pq型的因式分解，這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1，常數項是兩個數的積，一次項系數是常數項的兩個因數的和.因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.②kx2+mx+n型的因式分解，如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那么kx2+mx+n=（ax+b）（cx+d）.圖示如下：

例4 分解因式：2x2-5x-3.

【分析】對于不能用提公因式和公式法來分解的二次三項式可考慮用十字相乘法.

1×1=1，-3×2=-6，且-6+1=-5，

所以2x2-5x-3=（x-3）（2x+1）.

【點評】運用十字相乘法分解因式時，先不斷嘗試拆分首尾數，可以用一句話來概括：首尾分解，交叉相乘，求和湊中間.

因式分解沒有普遍適用的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法，在分解因式時要根據題目的具體情況而定.多項式因式分解的一般步驟：①如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；②如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；④分解因式，必須進行到每一個多項式的因式都不能再分解為止.因式分解也可以用一句話來概括：先看有無公因式，再看能否套公式；十字相乘試一試，分組分解要合適”.而在競賽上，又有拆項和添減項式法、換元法、長除法、短除法、除法等，同學們可根據自身學習的需要進行有選擇的研究.