一道課本習題的變式探究與反思

賁道波

“圖形的變化”是初中數學的核心知識，也是中考的重要內容，主要包括圖形的平移、翻折、旋轉、相似和投影.現以一道課本習題為出發點，談談它的變式，希望對大家的學習有所啟發.

【原題】（蘇科版《數學》九下第90頁第11題）如圖1，△ABC和△DEA是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分別交AD、AE于點F、G.圖中有哪幾對相似三角形（不包括全等）？把它們表示出來，并說明理由.

圖1

【解析】由∠B=∠FAG=∠C=45°，∠BGA=∠AGF，∠AFG=∠CFA，可證得△AGF∽△BGA∽△CAF.

一、對原題的分析

【編寫意圖】本題用兩個等腰直角三角形進行組合，復習鞏固三角形相似判定方法——“兩組角分別相等的兩個三角形相似”（本文以下簡稱“兩角法”）.

【圖形分解】本題從圖1中可分解出圖2、圖3兩組三角形相似的基本圖形——“共角共邊型”.

圖2

結論延伸：①在圖2中，由“共邊型”相似：△GAF∽△GBA，易得GA2=GF·GB，反之亦成立.

圖3

②如圖4，若把圖2中的AF平移并縮小至A′F′，可得“共角型”相似：△GA′F′∽△GAF∽△GBA.

圖4

二、對原題的變式

【變式一】由特殊到一般.

如圖5，若∠B=∠C=∠FAG，例題中的結論還成立嗎？為什么？

圖5

【解析】由“兩角法”，仍然可判定△BGA∽△AGF∽△CAF.

【點評】注意“特殊”和“一般”的關系，一般條件下成立的結論，在特殊條件下仍然成立，反之則不一定.

【變式二】增加旋轉變化.

如圖6，把原題中的△DEA繞點A旋轉，使AD、AE分別交邊BC及其延長線于點F、G（點F、G與點B、C不重合），例題中的結論還成立嗎？為什么？

圖6

【解析】本題在旋轉后，對應角相等的關系沒有變，所以例題的結論仍然成立.

【點評】本題和原題一樣，仍然可以把圖形分解成“共角共邊型”相似模型，所以結論仍然成立.其實，如果把△DEA繞點A順時針或逆時針旋轉，邊AD、AE或其延長線與邊BC所在的直線只要相交于點F、G（不與點B、C重合），則例題的結論始終成立.

【變式三】改變圖形的位置.

如圖7，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，點E是斜邊BC上一動點，△DEF的兩邊分別和△ABC的兩直角邊交于G、H兩點.

圖7

（1）試判斷△BGE和△CEH是否相似？為什么？

（2）連接GH，當點E運動到BC邊什么位置時，△EGH和△BGE相似？并說明理由.

【解析】（1）由“兩角法”易證△BGE∽△CEH.

（2）當點E運動到BC邊的中點時，△EGH∽△BGE.由△BGE∽△CEH可得又CE=BE，所以又∠B=∠GEH=45°，所以△EGH∽△BGE.

【點評】本題通過改變等腰直角三角形的位置，構造新圖形，提出新問題.第（1）題仍然用“兩角法”判定兩個三角形相似，和例題一樣，其實只要有∠B=∠GEH=∠C，結論就成立.第（2）題當點E運動到特殊位置（BC邊中點）時成立，由第（1）題的相似得對應邊成比例，再進行“等線段代換”，從而用“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”判定出結論.

三、對原題及變式的反思

“等腰直角三角形”是一種特殊的三角形，有其“特殊性”，如：三個內角之比是1∶1∶2，三邊之比是1∶1∶ 2，斜邊上的高把原三角形分成兩個全等的等腰直角三角形等，在解題時要學會充分運用這些特殊的性質.

用兩個等腰直角三角形可以構造出很多圖形，原題把一個三角形的直角頂點和另一個三角形的銳角頂點重合，從而構造出“共角共邊型”相似三角形.變式一抓住“三個角相等”的本質，從“特殊”推廣到“一般”，使其“一般化”.變式二仍然抓住“三個角相等”的本質，增加旋轉變化，從“邊邊相交”推廣到“邊邊所在直線相交”，將其“一般化”處理.變式三改變兩個三角形的組合方式，盡管圖形的位置發生了變化，但角的大小沒有變，仍然可以由“基本條件——兩角相等”得到“基本結論——相似”.變式的目的是在圖形發生變化的情況下尋求不變的方法.同學們在遇到此類問題時，只要善于抓住“基本模型”，靈活運用“基本方法”，問題就能迎刃而解.