這樣的錯誤，你有過嗎？
——一類漏解問題的剖析

唐華金

在平時學習過程中，我們或多或少會犯一些令人后悔的錯誤，有的是因為思維上的漏洞，也有的是因為“粗心”，很多同學考試過后都很自責.怎樣減少甚至杜絕那些令人惋惜的錯誤的發生？老師建議大家首先要找出錯誤的背后原因，努力從自身內部增強“免疫力”，提高戰斗力！下面通過幾道典型例題進行分析，希望大家對照之后認真反思.

例1 已知△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長分別為5cm，6cm，7cm，而4cm是△DEF中一邊的長度，則△DEF的另外兩邊的長度是________.

【典型錯例】考慮到△ABC∽△DEF，所以其三邊對應成比例，設△DEF的另外兩邊的長分別為x、y，則，解之得

【錯因分析】看到條件“4cm是△DEF中一邊的長度”，自問一下，它是哪一條邊的長度？仔細一想，4cm的這條邊可能是△DEF三條邊中的任意一條，所以無法確定它與誰對應，需要分情況討論.①當4cm與5cm對應時；②當4cm與6cm對應時解得：；③當4cm與7cm對應時解得綜上所述：另外兩邊的長度是老師提醒大家：“當題目中的某個條件沒有確定時，一定要注意分類討論.”

例2 如圖1，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一定點，過M作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有（ ）.

圖1

A.4條 B.3條 C.2條 D.1條

【典型錯例】由于△ABC是直角三角形，所以截得的三角形應該也是直角三角形.如圖2，考慮到兩直線平行，同位角相等，所以過點M分別作AB、AC的平行線，交AC、AB于點D、E，則截得的△DMC、△EBM均與△ABC相似.

圖2

【錯因分析】如圖3，若過點M作FM⊥BC，交AC于F，則截得的△CFM也與△ABC相似.很多同學只考慮了平行截取，沒有考慮到這種情況.事實上，只要過點M作直線與另一邊相交，所截得的三角形與原三角形一定有一個公共角，再作出一個直角就可以了.在分類思想的指引下，過點M分別作三邊的垂線即可截得，所以這樣的直線共有3條.老師提醒大家：“找與已知三角形相似的三角形要能抓住關鍵的角.”

圖3

例3 如圖4，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（4，0）、B（8，2）、C（6，4），已知△A1B1C1的兩個頂點坐標分別為（1，3）、（2，5），若△ABC與△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個頂點的坐標為____.

圖4

【典型錯例】如圖5，將點A和坐標為（1，3）的點作為對應點，點C和坐標為（2，5）的點作為對應點，并分別以兩組對應點作直線，確定其交點（-2，6）為位似中心，并求得△ABC與△A1B1C1的相似比為2∶1，連接DB即可確定第三個頂點的坐標為（3，4）.

圖5

【錯因分析】只考慮了位似中心在兩個三角形同側的情況，而未考慮位似中心在兩個三角形之間的情況.如圖6，當位似中心在兩三角形之間時，將點A和坐標為（2，5）的點作為對應點，點C和坐標為（1，3）的點作為對應點，并分別以兩組對應點作直線，確定其交點為位似中心，并求得△ABC與△A1B1C1的位似比仍為2∶1，同樣的方法求得△A1B1C1的第三個頂點的坐標為（0，4）（也可結合一次函數的相關知識求解），所以第三個頂點的坐標為（3，4）或（0，4）.老師提醒大家：“遇到位似問題一定要考慮位似中心的位置，看是否有兩種情況.”

圖6

例4 在△ABC中，AD是邊BC上的高，AD=2，DB=2，CD=23，求∠BAC的度數.

【典型錯例】如圖7，△ABC的高AD將其分成兩個特殊的三角形：等腰直角三角形ADB和含30°的直角三角形 ACD，∠BAC=∠BAD+∠CAD=105°.

圖7

【錯因分析】錯例中只考慮了三角形的高在其內部時的情況，未考慮三角形的高在其外部時的情況，導致漏解.如圖8，當△ABC的高AD在其外部時（垂足落在CB延長線上），∠BAC=∠CAD-∠BAD=60°-45°=15°，所以∠BAC的度數為 105°或 15°.老師提醒大家：“題目無圖要當心，都是無圖惹的禍！”

圖8

我們在做任何題目時都不能掉以輕心，平時要多總結，多反思，查處每一次漏解的原因，養成認真審題、全面思題、嚴謹做題的好習慣！