在變化中尋求不變
——以圖形的平移、折疊與旋轉(zhuǎn)為例

趙 軍（特級(jí)教師）

平移、折疊和旋轉(zhuǎn)是幾何中的三種基本變換，運(yùn)用這三種變換所命制的試題往往靈活多變，具有一定的挑戰(zhàn)性.如何在變化中尋求不變的思路？下面筆者以近兩年的中考試題為例進(jìn)行剖析，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有一定的借鑒作用.

一、平移變換

例1 （2016·上海虹口模擬）如圖1，已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，將△ABC沿射線BC方向平移m個(gè)單位得到△DEF，頂點(diǎn)A、B、C分別與D、E、F對(duì)應(yīng)，若以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，且AE為腰，則m的值是_____.

圖1

圖2

【分析與解】本題中變化的是△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)，如何在平移的運(yùn)動(dòng)過程中找出“AE=DE或AE=AD”時(shí)的兩個(gè)靜態(tài)的位置是解題的關(guān)鍵，我們可以通過動(dòng)手操作，在△ABC平移的過程中將兩種符合要求的圖形畫出，并在此基礎(chǔ)上求解.

如圖2，當(dāng)AE=DE時(shí)，B點(diǎn)平移至E點(diǎn)，此時(shí)m=6；如圖3，當(dāng)AE=AD時(shí)，平移的距離為AD或BE的長(zhǎng)，過點(diǎn)A作AG⊥BE，垂足為G，由題意，AD=AE=BE=m，在等腰三角形ABC中先求得BG=3，則AG=4，GE=m-3，在Rt△AGE中，AG2+GE2=AE2，即42+（m-3）2=m2，所以，故m的值為6或

圖3

【反思】平移變換是三大變換中較為簡(jiǎn)單的一種變換，需要我們主動(dòng)“動(dòng)手”操作，在不同的位置，通過試驗(yàn)找出適合的圖形，抓住平移前后不變的量，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合方程等知識(shí)解決問題.

二、折疊變換

例2 （2017·揚(yáng)州）如圖4，把等邊△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)P處，且DP⊥BC，若BP=4cm，則CE=____cm.

圖4

【分析與解】由已知條件可得兩方面的結(jié)論：①∠B=∠C=∠DPE=60°，結(jié)合DP⊥BC能得到∠CPE=30°，并在此基礎(chǔ)上得到∠PEC=90°，也可以得到△BPD∽△CEP；②在Rt△BPD中，∠B=60°，BP=4，能得到BD和PD的長(zhǎng).結(jié)合折疊、含30°的Rt△PCE或相似求得EC的長(zhǎng).

方法1：在Rt△BPD中，易求得BD=2BP=8，PD=43，由折疊得AD=PD，∴AB=8+43，

方法2：在求得PC=4+43后，可由△BPD∽△CEP求得：CE=2+23.

【反思】“折疊出全等，全等出相等”.抓住折疊前后不變的邊和特殊的角，結(jié)合直角三角形、“一線三等角型”的相似模型均可打開思路，尋求到解決問題的突破口.

三、旋轉(zhuǎn)變換

圖5

【分析與解】本題有兩個(gè)特別之處，①是曲線l比較特殊，它是由函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像旋轉(zhuǎn)得到的；②是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)比較特殊，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均含有數(shù)值 2，所以這兩點(diǎn)都在象限角的角平分線上，即OA、OB與x軸和y軸的夾角均為45°.故有兩種解題思路可以嘗試.思路1，如圖6，恢復(fù)原來(lái)的圖形，將現(xiàn)在的圖形整體繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，回到我們熟悉的圖形上來(lái)，然后用S△OAN-S△OAM即可（也可用S△OBM-S△OBN或S△OAB-S△OAM-S△OBN）；思路2，如圖7，連接OA、OB，建立新的坐標(biāo)系xOy′，用同樣的方法予以解決.

圖6

圖7

【反思】無(wú)論將圖形恢復(fù)為我們熟悉的圖形，還是建立新的坐標(biāo)系，求△OMN的面積都要先求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后利用三角形面積的差求解，體現(xiàn)了方程思想和轉(zhuǎn)化思路.

小試牛刀

圖8

圖9

圖10

圖11

2.如圖9，Rt△ABC紙片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕，將△ABD折疊得到△AB′D，AB′與邊BC交于點(diǎn)E.若△DEB′為直角三角形，則BD的長(zhǎng)是_______.

3.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF疊合在一起，邊BC與EF重合，BC=EF=12cm（如圖10），點(diǎn)G為邊BC（EF）的中點(diǎn)，邊FD與AB相交于點(diǎn)H，此時(shí)線段BH的長(zhǎng)是______.現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)G按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖11），在∠CGF從0°到60°的變化過程中，點(diǎn)H相應(yīng)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)共為______.（結(jié)果保留根號(hào)）