圓的知識考查

成曉明

圓的知識是初中數學知識中的一個重要組成部分，也是中考必考知識點.縱觀各地中考試卷中對圓的知識的考查，主要體現在以下三個方面：一是重視圓的核心基礎知識的考查，二是重視圓中數學思想方法的考查，三是重視圓與其他知識的整合考查.現結合具體考題進行分析點評，希望能對同學們系統復習有所幫助.

一、圓的核心基礎知識

例1 （2017·南通）如圖1，圓錐的底面半徑為2，母線長為6，則側面積為_____.

圖1

【解答】根據圓錐的側面積公式有：πrl=π×2×6=12π.

【點評】本題主要考查了圓錐側面積公式S錐側=πrl.

例2 （2017·南通）已知∠AOB，作圖.步驟1：在OB上任取一點M，以點M為圓心，MO長為半徑畫半圓，分別交OA、OB于點P、Q；步驟2：過點M作PQ的垂線交于點?C；步驟3：畫射線OC.則下列判斷：①；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正確的個數為（ ）.

圖2

A.1 B.2 C.3 D.4

【解答】∵OQ為直徑，∴OA⊥PQ.

∵MC⊥PQ，

∴OC平分∠AOB，結論①④正確.

∵∠AOB的度數未知，∠POQ和∠PQO互余，

∴∠POQ不一定等于∠PQO，

∴OP不一定等于PQ，結論③錯誤.

綜上所述：正確的結論有①②④.故選C.

【點評】本題考查了尺規作圖、圓周角定理以及垂徑定理等知識，熟練運用這些知識進行分析、判斷是正確解題的關鍵.

例3 （2017·徐州）如圖3，AB與⊙O相切于點B，線段OA與弦BC垂直，垂足為D，AB=BC=2，則∠AOB=______°.

圖3

【解答】∵OA⊥BC，BC=2，

∴∠A=30°.

∵AB切⊙O于點B，

∴∠ABO=90°，

∴∠AOB=60°.

【點評】本題主要考查圓的切線性質、垂徑定理和特殊角的三角函數值.

二、圓中數學思想方法

圓中蘊藏的數學思想方法眾多，如分類討論、數形結合、方程思想等，尤其是分類討論的數學思想和方程思想的應用最為廣泛.

例4 （2012·廣元）平面上有⊙O及一點P，P到⊙O上一點的距離最長為6cm，最短為2cm，則⊙O的半徑為_______cm.

【解答】當點P在圓內時，則直徑=6+2=8，所以半徑是4cm；

當點P在圓外時，直徑=6-2=4，所以半徑是2cm.

綜上：⊙O的半徑為4或2cm.

【點評】解決本題的關鍵是要對點和圓的位置關系分點在圓內和點在圓外兩種情況考慮.

例5 （2013·蘭州）如圖4是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8cm，水面最深地方的高度為2cm，則該輸水管的半徑為________cm.

圖4

圖5

【解答】如圖4所示：過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，

∵OD⊥AB，

設OA=r，則OD=r-2，

在Rt△AOD中，r2=（r-2）2+42，解得r=5.

【點評】本題考查的是垂徑定理的應用及勾股定理，根據題意過圓心作弦的垂線是常用輔助線，利用方程是解決此題的關鍵.

例6 （2017·鹽城）如圖5，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點D，AE平分∠BAC交邊BC于點E，經過點A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸相交于另一點G.（1）求證：BC是⊙F的切線；（2）若點A、D的坐標分別為A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半徑；（3）試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論.

【解答】（1）證明：連接EF，

∵AE平分∠BAC，

∴∠FAE=∠CAE，

∵FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

∴∠FEA=∠EAC，

∴FE∥AC，

∴∠FEB=∠C=90°，

即BC是⊙F的切線.

（2）連接FD，設⊙F的半徑為r，

（3）AG=AD+2CD.證明：

王莉娜[15]認為，雖然碑學觀念在“揚州八怪”那里還沒有形成完整的體系，無論在筆法上，還是在理論上均沒有臻于成熟與完善，但事實證明“揚州八怪”已經受到碑學的深刻影響。在“揚州八怪”書風中，特別是以“拙”、“古”、“厚”為突出特征并體現于諸位書家的藝術風格中的事實，表明了其特點均源于碑學，他們不計較技法的完美與精細，重要的是追求精神與神采，表現出“大巧若拙”之美。打破了清以來帖學衰弱的僵化模式，從而最終成就了“揚州八怪”這股丑拙的書風。

作FR⊥AD于R，則∠FRC=90°，

又∠FEC=∠C=90°，

∴四邊形RCEF是矩形，

∴EF=RC=RD+CD，

∵FR⊥AD，

∴AR=RD，

【點評】本題考查切線的判定、垂徑定理的應用、矩形的判定和性質等知識，掌握切線的判定定理和領悟方程思想是解題的關鍵.

三、圓與其他知識的整合

將圓的知識與三角形的全等、相似、四邊形、解直角三角形、函數等知識的有機整合是中考命題的熱點，這類題很好地考查同學們的綜合解題能力.

例7 （2017·無錫）如圖6，菱形ABCD的邊AB=20，面積為320，∠BAD＜90°，⊙O與邊AB，AD都相切，AO=10，則⊙O的半徑長等于________.

圖6

【解答】如圖6，作DH⊥AB于H，連接BD，延長AO交BD于E.

∵菱形ABCD的邊AB=20，面積為320，

∴AB·DH=320，∴DH=16，

在Rt△ADH中，

∴HB=AB-AH=8，

在Rt△BDH中，

設⊙O與AB相切于F，連接OF.

∵AD=AB，OA平分∠DAB，

∴AE⊥BD，

∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，

∴∠OAF=∠BDH，

∵∠AFO=∠DHB=90°，

∴△AOF∽△DBH，

【點評】本題綜合考查了切線的性質、菱形的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是根據題意合理添加輔助線.