追“本”溯“圓”

嵇如龍

“圓”的考點比較多，又比較分散，綜合程度比較高，讓不少同學產生“畏懼”心理.但仔細梳理近幾年來的中考題，我們不難發現中考關于“圓”的考查重點突出，甚至出現“常態化”的考題，而更為巧合的是，這些考題幾乎都給人一種似曾相識的感覺.

【例題回放】

例1 如圖1，AB是⊙O的直徑，CD與AB相交于點 E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度數.

圖1

例2 已知：BC是⊙O?的直?徑，A是⊙O上一點，AD⊥BC，垂足為D，BE交AD于點F.

（1）∠ACB與∠BAD相等嗎？為什么？

（2）判斷△FAB的形狀，并說明理由.

圖2

【分析點撥】這是蘇科版《數學》中兩道關于圓周角的典型例題.通過對這兩道例題的學習，同學們應掌握一種方法和一種數學思想.一種方法是圓中一種常用輔助線：已知直徑，構造所對圓周角；已知圓周角是直角，連接兩點造直徑.一種數學思想是“轉化”的思想，即利用“同弧所對的圓周角相等”進行轉化，這是中考必考知識點，在近幾年的中考中就有不少類似的題目.

【中考運用】

1.（2016·東莞二模）已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應點C恰好落在⊙O上.當P在AB上方而C在AB下方時（如圖3），判斷PO與BC的位置關系，并證明你的判斷.

圖3

【分析點撥】如圖3，根據折疊的性質得∠1=∠2，加上∠A=∠1，則∠A=∠2，再根據圓周角定理得到∠A=∠3，所以∠2=∠3，于是可根據平行線的判定方法判斷PO∥BC.

2.（2016·瀘州）如圖4，△ABC內接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點H，AC的延長線與過點B的直線相交于點E，且∠A=∠EBC.求證：BE是⊙O的切線.

圖4

【分析點撥】欲證明BE是⊙O的切線，只要證明∠EBD=90°，即證∠DBC+∠EBC=90°，下面只要根據課本例題中所介紹的添加輔助線方法和轉化數學思想就不難得出結論了.

【解法歸納】通過上述幾道中考題不難發現解決問題的關鍵是角的轉化，這是我們學習“圓”的基礎，也是學習“圓”的一個重要數學思想，根據同弧所對的圓周角相等來進行轉化也是這幾題的共同特征.可以說，同學們感覺學習“圓”有難度就是因為不會找等角，不會進行等角的轉化，這需要在平時的課堂上多留意老師和其他同學的分析過程，大膽嘗試，不斷總結反思.

“圓”的另外一個重要考點就是有關切線的性質與判定，翻開每份中考試卷幾乎都會碰到，常見的考題幾乎形成了固定的格式，其實只要掌握下面這道課本例題的解題思路和方法，就能做到舉一反三.

【例題回放】

例3 如圖5，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，DE與AC有怎樣的位置關系？為什么？

圖5

【分析點撥】通過對本題的學習，同學們能夠掌握關于切線證明的常見思路，判定切線時“連半徑，證垂直”，已知切線時可以“連半徑，得垂直”.即：證切線找垂直，知切線得垂直.

【中考運用】

1.（2016·西寧）如圖6，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD.求證：CD是⊙O的切線.

【分析點撥】連OD，根據圓周角定理得到∠ADO+∠BDO=90°，而 已 知 ∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠BDO，于是∠CDA+∠ADO=90°.

圖6

2.（2016·陜西）如圖7，已知：AB是⊙O的弦，過點B作BC⊥AB交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，取AD的中點E，過點E作EF∥BC交DC的延長線于點F，連接AF并延長交BC的延長線于點G.求證：（1）FC=FG；（2）AB2=BC·BG.

圖7

【分析點撥】

（1）由平行線的性質得出EF⊥AD，由線段垂直平分線的性質得出FA=FD，由等腰三角形的性質得出∠FAD=∠D，證出∠DCB=∠G，由對頂角相等得出∠GCF=∠G，即可得出結論.

（2）連接AC，由圓周角定理證出AC是⊙O的直徑，關鍵是要根據“母子三角形”得出∠DCB=∠CAB，證出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，證明△ABC∽△GBA，得出對應邊成比例，即可得出結論.

圖8