案例對比合情推理的兩種形式

摘 要：所謂合情推理是通過已有的數學結論直觀推測某些其他結論的一種推理過程，主要通過類比思想和不完全歸納推理思想兩種形式體現。雖然合情推理不能像論證推理那樣得到絕對正確的結論，但它對于未知科學的產生有著極其重要的作用，比如我們大家所熟悉的四色猜想、哥德巴赫猜想都是合情推理產物，因為它是一種非常具有創造性的推理方式。本文通過一個具體的數學案例對比分析合情推理的兩種形式的區別。

關鍵詞：合情推理；類比思想；不完全歸納思想

一、介紹

合情推理是波利亞的“啟發法”中的一個推理模式，它是波利亞深入研究數學問題的解決過程得出的理論成果。波利亞對啟發法解釋道：“現代啟發法力求了解問題解決過程，特別是問題解決過程中典型有用的智力活動……在這種研究中，我們不應忽視任何一類問題，并且應當找出處理各類問題所共有的特征來；我們的目的應當是找出一般特征而與主題無關。”也就是說波利亞的啟發法是在尋找解決數學問題的相同點，這說明波利亞早在50年前就已經把問題和問題解決的主要特征搞清楚了。

關于合情推理，文獻[1]是這么介紹的。所謂合情推理，就是一種比較自然的、合乎情理的，似乎為真的推理，它是根據已有的數學事實和正確的數學結論，或以個人數學經驗（數學實驗或實踐）和數學直觀進行推測而得到某些結果的一種推理，常表現為憑直觀和聯想、直觀或直覺等非邏輯思維形式，通過觀察、實驗、歸納、類比，特殊和一般等方法直接獲得某種數學結論。

類比是最具有創造力的一種思維方式。它關注兩個對象在某些方面的相同或者相似，從而推測它們在其他方面也可能存在相同或相似之處。然后找出其相似或相同的性質或關系，并在此基礎上，推測這兩類對象在其他性質或關系上存在著的相似點或相同點。一千多年前魯班發明鋸子的故事中就蘊涵了類比的思想。相傳有一次他進深山砍樹木時，一不小心，腳下一滑，手被一種野草的葉子劃破了，滲出血來，他摘下葉片輕輕一摸，原來葉子兩邊長著鋒利的齒，他用這些密密的小齒在手背上輕輕一劃，居然割開了一道口子。他的手就是被這些小齒劃破的，他還看到在一棵野草上有條大蝗蟲，兩個大板牙上也排列著許多小齒，所以能很快地磨碎葉片。魯班就從這兩件事上得到了啟發。他發現葉子的邊緣和大蝗蟲的牙都是齒妝的，并且很容易劃開一些物體。他想，要是用這樣齒狀的工具，是不是也能很快地鋸斷樹木了嗎！于是，他經過多次試驗，終于發明了鋒利的鋸子，大大提高了工效。

歸納推理是指由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理，簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。比如我們知道直角三角形的內角和是180度，推出所有三角形的內角和都是180度，就是一種歸納推理。同時這是一種不完全歸納推理。歸納推理分為不完全歸納和完全歸納。那什么是完全歸納呢？例如：直角三角形內角和是180度；銳角三角形內角和是180度；鈍角三角形內角和是180度；直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形內角和都是180度。這個例子從直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形內角和分別都是180度這些個別性知識，推出了一切三角形內角和都是180度就是一種完全歸納。完全歸納是一種邏輯推理，得到的結論一定正確，而不完全歸納是一種合情推理得到的結論不一定正確，我們這里所說的歸納推理思想，更多是指不完全推理。

二、案例分析

案例：四個平面最多將空間分成幾個部分？

類比思想分析：很容易我們就能想到四個平面分空間最多的情況就是四個平面圍成一個四面體的情形，但具體分成了多少個空間？很難想象。這個時候我們可以類比三條直線最多將平面分成幾個部分，顯然是這三條直線圍成一個三角形的情形。這個我們很容易數出來是7個。如果仔細分析，我們可以看到這7部分由三種情形構成：①三角形的內部1個部分，②與三角形共點的有3個部分，③與三角形共線的有3個部分。這個時候我們可以類比推測四個平面分空間的問題。它可以分成四種情形：①四面體的內部1個部分，②與四面體共點的4個部分，③與四面體共線的6個部分，④與四面體共面的4個部分。一共是1+4+6+4=15個部分。

不完全歸納推理分析：我們剛才通過類比給出一共分成了15個部分。我們可以由不完全歸納得到一個新的結果。一個平面分空間最多2個部分，兩個平面分空間最多4個部分，三個平面分空間最多8個部分。因此推理n個平面分空間最多2n-1個部分，從而就有了四個平面分空間最多可以分成16個部分。

三、總結

類比和不完全歸納是合情推理的兩個主要部分，它們得到的結論都不一定正確，但都是極具創造力的思維。我們用邏輯推理證明，看究竟哪種結果正確，或者都不正確。我們都知道三條直線最多將平面分成了7個部分。三條直線分平面最多的情形是在兩條直線分平面最多的基礎上新增一條直線。并且讓這條直線與原來的兩條直線都相交且不過它們的交點。從而在新增直線上會產生兩個交點，它將新增直線分成了3個部分，而每個部分將它所穿過的平面一分為二。因此三條直線分平面最多的情況就是在兩條直線分平面最多的基礎上多出3個部分，最多分成了4+3=7個部分。這個時候可以通過類比思想嘗試給出命題證明。 四個平面分空間最多的情形，是在三個平面分空間最多的基礎上新增一個平面。并且讓這個平面與原來的三個平面都相交且不過它們的交點。從而在新增平面上會產生三條交線，它將新增平面分成了7個部分，而每個部分將它所穿過的空間一分為二。因此四個平面分空間最多的情況就是在三個平面分空間最多的基礎上多出7個部分，最多分成了8+7=15個部分。

從案例分析我們可以看出，類比思想在對一個問題進行分析時，主要是通過類比一個與它相識的、更容易得到結論的問題，從而來得到結論。而歸納推理在對一個問題分析時，主要是同個這個問題本身的一個特殊情況，來得到一般結論。分析問題的方法不同，結果也不盡相同。雖然它們得到的結論時對時錯，但都是極富創造力的思想。波利亞曾經說過，我們要既教證明，也教猜想。這里的教猜想就是要豐富學生們的合情推理能力。

參考文獻：

[1]袁作興.領悟數學[M].長沙：中南大學出版社，2014.

作者簡介：曾德炎（1989—），男，漢族，湖北荊州人，碩士，助教，主要研究方向：應用數學。