高考函數導數壓軸題分析及應對策略

王安拓 張華

摘 要：在當前的高考壓軸題當中函數導數是其主要的考點之一，近些年在各個地區的高考題當中不斷創新，并且在這當中，從歷屆高考數學實際的得分情況來看函數以及導數的得分情況不是很高，大部分考生的得分往往都比較低，通過近些年的考試總結分析，在這當中主要有兩個方面的問題，第一，解題的思路不是很清楚；第二，對于函數以及導數題目在實際的解答當中對于其方法的掌握不是很清楚，雖然對方法平時掌握很多，但是在實際的問題當中往往不知如何應用，因此本文主要就選取近些年若干道壓軸題，對高考函數導數壓軸題分析及應對策略進行分析和探討。

關鍵詞：高考函數；導數；壓軸題；應對策略

一、運用轉化與化歸的方式解決導數與函數問題

對于等價轉化思想，其主要就是對于一些未知的問題有效的轉變為當前已經有的可以處理問題的范圍之內的一種解題思想，采用合理的轉化，將一些比較復雜以及不規范的問題合理的轉變為比較熟悉的問題。通過歷屆高考試題可以發現，等價轉化思想應用的非常多。其轉化方式主要有以下幾個方面：①等價轉化；②將空間圖形轉變為平面圖形；③實現整體和局部之間的有效轉變；④一般和特殊之間的轉變；⑤非等價轉變；⑥代換以及換元等方式的有效應用；⑦正反之間的轉變；⑧數形之間的轉變；⑨相等和不等之間的轉化；⑩常量和變量之間的轉化；?對數學問題和實際的問題之間的有效轉變。

例1已知函數f（x）=2x3-3x。若過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍。

解：曲線y=f（x）和點P（1，t）的直線相切點為（x0，y0），則y0=2x03-3x0，即切線的斜率為k=6x02-3，所以該方程主要是y-y0=（6x02-3）（x-x0）。將點P（1，t）代入，得t-y0=（6x02-3）（1-x0），整理得4x03-6x02+t+3=0。這樣其就有效的換變使得這個方程有三個不相同的解題方式。設g（x）=4x3-6x2+t+3，則“過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”等價于“函數g（x）有3個不同零點”。

因為g'（x）=12x2-12x=12x（x-1），當x變化時，g（x）與g'（x）的變化情況如下：

所以，g（0）=t+3是g（x）的極大值，g（1）=t+1是g（x）的極小值。

當g（0）>0且g（1）<0，即-30，由于g（x）在區間（-∞，0），（0，1），（1，+∞）上單調，因此g（x）分別在區間（-1，0），（0，1）和（1，2）上各有1個零點，即g（x）分別在區間（-∞，0），（0，1），[1，+∞）上各有1個零點。

由此可以知道，在過點P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切時，t的取值范圍是（-3，-1）。

在對于這類問題進行實際的研究和處理當中，應用科學合理的方式，能夠使得相應的問題從相關的狀態當中轉變為另外的u昂太，即在完成轉化之后實現其他情形的相關問題能夠獲得合理的處理，采用這種方式對于問題的處理非常良好，并且也是一種科學合理的思想解題方式。在轉變當中其通常特點主要就是多樣性以及層次性和重復性等，同時，在這當中，按照相應的解題原則實現函數的解答。對于上文中的題目轉化，能夠使得切線自身的條數有效的轉變為函數的零點數量，從而為函數題的處理奠定基礎。

二、運用分類與整合思想解決導數與函數問題

對于分類和整合思想的應用也是非常主要的一種數學解題思想方式，在問題相對應的對象很難實現統一處理時，在這當中，通常就需要對對象有效的分類處理，并且對于相關的類別實現研究，從而在此基礎上獲得這一類的結果，最終將各個結果有效的綜合起來，使得整體問題能夠實現解答。從近些年高考試題當中可以看出，對于分類以及整合思想在考察中主要有以下幾個方面：①對分類意識加強考察，在遇到相應的分類問題時，需要確保對分類的目的以及問題合理的獲得；②采用何種方式實現分類，也就是對分類科學的實現，對分類標準需要確保其相同；③在完成分類之后對題目怎樣開展，加強討論，逐次開展，不能跳級；④如何整合。

例2已知函數f（x）=x3+mx2+nx-2的圖像過點（-1，-6），且函數g（x）=f'（x）+6x的圖像關于y軸對稱。

求m、n的值及函數y=f（x）的單調區間；

若a>0，求函數y=f（x）在區間（a-1，a+1）內的極值。

錯解：一些學生認為極值點相應的應該在區間（a-1，a+1）內，這樣就會出現解題錯誤。因此對于這一類問題，通常，相對于動區間的問題很多學生往往接觸不到，對于極值點的確定通常都需要有效的探討。

正解：運用分類與整合思想由上式得：m=-3，n=0，f（x）=x3+3x2-2，故f'（x）=3x（x-2），令f'（x）=0得x=0或x=2。當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

由此可得：當0

當a=1，f（x）在（a-1，a+1）內無極值；

當1

當a≥3時，f（x）在（a-1，a+1）內無極值。

綜上得：當0

在這當中，因為區間（a-1，a+1）是動區間，f（x）的極值是否在區間（a-1，a+1）不能確定，所以相對于a∈R很難獲得f（x）的極值，這就需要對a實施分類，這樣才能夠對于f（x）的極值點是否在區間（a-1，a+1）內有效確定，以此來對題目實現解答，在這當中，對于分類的標準主要就是0和2是否屬于區間（a-1，a+1）。

三、結語

總而言之，在當前的高中數學當中導數以及應用是非常重要的內容，是學生在大學階段學習高等數學的基礎。在現階段高考試卷當中其通常主要就是以壓軸題的方式所存在的，所以一般其信息量以及思維方式和運算量都很大，這就需要采用比較高的數學分析以及處理問題方式，因此在實際的問題處理中，一般就需要采用多個方式共同結合來處理，在這當中，對其只要應用科學合理就能夠獲得很高的效果。

參考文獻：

[1]孫昕.導數壓軸題中的分類討論攻略[J].中學生理科應試，2017，（Z1）：1-4.

[2]趙珂譽，劉成龍.導數定義法求高考壓軸題中一類0/0型函數極限[J].理科考試研究，2017.

作者簡介：王安拓，山東省德州市第一中學。