雙腔室空氣彈簧橡膠膜片剛度的研究

張澤華, 尹文生

(1.清華大學(xué) IC裝備實(shí)驗(yàn)室，北京 100084； 2.清華大學(xué) 摩擦學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

振動(dòng)是影響精密儀器性能的重要因素，因此隔振技術(shù)是精密制造、航空航天和IC裝備等行業(yè)中的重要技術(shù)[1-2]。隔振系統(tǒng)一般分為主動(dòng)、被動(dòng)兩種，隔振元件在主、被動(dòng)隔振系統(tǒng)中都是核心工作部件，其中金屬?gòu)椈?、空氣彈簧、橡膠棒等[3]是應(yīng)用比較廣泛的隔振元件。空氣彈簧相比于其他隔振元件具有負(fù)載能力大、剛度可調(diào)等優(yōu)良特性[4]，長(zhǎng)期被應(yīng)用在汽車、精密隔振等領(lǐng)域。為了優(yōu)化其隔振性能，眾多學(xué)者從不同方面對(duì)空氣彈簧理論模型的構(gòu)建進(jìn)行了研究。

空氣彈簧的垂向剛度主要取決于腔室內(nèi)氣體剛度和橡膠膜片剛度。早期剛度模型的建立，主要采用對(duì)腔室內(nèi)氣體建立理論模型，再用實(shí)驗(yàn)結(jié)果修正橡膠膜片剛度的方法。如Shearer等[5]最早提出的空氣彈簧的理論模型。此后，Erin等[6]認(rèn)為腔室內(nèi)氣壓不變，并假設(shè)空氣彈簧在平衡位置附近的振動(dòng)是線性的，從而將非線性的空氣彈簧等效為線性模型，進(jìn)而得到了空氣彈簧的地基輸入與負(fù)載響應(yīng)的傳遞函數(shù)。Lee等[7]假設(shè)腔室內(nèi)氣體為理想氣體，滿足絕熱過(guò)程，結(jié)合工程熱力學(xué)和剛體動(dòng)力學(xué)，給出了空氣彈簧包含垂向剛度與阻尼的復(fù)合非線性模型。

另一方面，對(duì)于橡膠材料的研究經(jīng)歷了數(shù)十年的發(fā)展，出現(xiàn)了很多不同的本構(gòu)模型，其中典型的模型有Mooney-Rivlin模型、Yeoh模型等。Mooney-Rivlin模型[8]是Mooney將物質(zhì)相變理論和大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果相結(jié)合得出的一種不可壓縮、各向同性的超彈性材料有限變形理論，可以較好地?cái)M合橡膠材料的應(yīng)變能，但不適用于大應(yīng)變時(shí)會(huì)硬化的橡膠材料。而Yeoh模型[9]通過(guò)在應(yīng)變能函數(shù)中添加高階項(xiàng)的方法，使得在大應(yīng)變下計(jì)算出的應(yīng)變能函數(shù)能較好地吻合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

近年來(lái)隨著對(duì)材料要求的不斷提高，復(fù)合橡膠材料的使用越來(lái)越普遍。通常在橡膠材料中添加具有高強(qiáng)度的有機(jī)高分子材料作為簾線層，使得復(fù)合橡膠材料具有更優(yōu)良的特性。針對(duì)復(fù)合材料， 國(guó)內(nèi)外有許多研究者建立了多種理論預(yù)測(cè)模型及實(shí)驗(yàn)研究方法，如Mori-Tanaka方法[10]，Hashin等[11]的上下限法，以及細(xì)觀的剪切滯后模型[12]和Eshelby[13]的等效夾雜理論等，推動(dòng)了復(fù)合材料力學(xué)性能的研究進(jìn)程。

本文針對(duì)雙腔室空氣彈簧建模中缺少精確的橡膠膜片剛度模型的問(wèn)題，提出一種橡膠膜片剛度的理論建模方法。將橡膠膜片劃分成多個(gè)部分，首先利用復(fù)合材料力學(xué)理論對(duì)多個(gè)規(guī)則形狀建模，得到每個(gè)部分的彈性模量和剛度，再基于橡膠膜片各部分的剛度關(guān)系推導(dǎo)出膜片整體剛度模型，最后通過(guò)搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)理論模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1 雙腔室空氣彈簧整體剛度的分析

1.1 氣體力學(xué)模型分析

精密隔振中常用的空氣彈簧是雙腔室空氣彈簧，如圖1所示。其特有的節(jié)流孔結(jié)構(gòu)可以利用空氣在孔中的摩擦耗散掉能量，從而獲得相對(duì)較大的阻尼。

圖1 雙腔室空氣彈簧的結(jié)構(gòu)

整個(gè)空氣彈簧主要由充氣之后的氣體腔室和橡膠薄膜自身產(chǎn)生剛度。關(guān)于充氣氣體在腔室中產(chǎn)生的剛度，Erin曾經(jīng)做過(guò)比較深入的研究，并且計(jì)算出只考慮空氣垂向剛度時(shí)，雙腔室空氣彈簧地面輸入和頂部負(fù)載輸出響應(yīng)的傳遞函數(shù)滿足

(1)

式中：m為空氣彈簧上端負(fù)載質(zhì)量；Pa為空氣彈簧腔室內(nèi)的氣壓；Ap為空氣彈簧的有效面積；Vt，Vb分別為空氣彈簧上、下腔室的體積；Cr為節(jié)流孔中氣體的流阻常數(shù)；n為多變指數(shù)。

并且Erin進(jìn)一步地針對(duì)雙腔室空氣彈簧進(jìn)行計(jì)算得到了系統(tǒng)由氣體產(chǎn)生的固有頻率fa和由氣體產(chǎn)生的垂向剛度的關(guān)系

(2)

1.2 橡膠膜力學(xué)模型分析

為了保證腔室氣體產(chǎn)生足夠的剛度，同時(shí)能維持負(fù)載在垂直方向振動(dòng)而不產(chǎn)生水平方向上的位移，雙腔室空氣彈簧上腔室的橡膠膜片被設(shè)計(jì)成拱形，如圖2所示。

圖2 橡膠膜片

中間凹陷下去的部分主要用來(lái)承擔(dān)負(fù)載壓力，因此在垂直方向上提供剛度的主要是兩側(cè)的環(huán)形立壁和頂端的環(huán)狀拱形，據(jù)此將橡膠膜片分解成三部分，如圖3所示。

圖3 橡膠膜片截面分解

計(jì)算橡膠膜片的垂向剛度，采用先分解后組合的總體思路。分別求出1,2,3部分的剛度K1，K2，K3，之后可以通過(guò)剛度模型的串并聯(lián)關(guān)系，如圖4所示。

圖4 剛度串并聯(lián)關(guān)系

橡膠膜片的垂向總剛度滿足

(3)

空氣彈簧腔室內(nèi)的氣體在第1、3部分立壁處不產(chǎn)生向上的剛度，氣體的剛度作用在第2部分上，在本文中使用的空氣彈簧正常工作時(shí)，空氣在其第2部分能產(chǎn)生約160 N的垂向力，遠(yuǎn)大于薄膜在第2部分微小形變時(shí)在垂向上能產(chǎn)生的力。 所以認(rèn)為第2部分被剛性連接。

橡膠膜片垂向剛度近似滿足

Kr=K1+K3

(4)

2 各向異性橡膠膜片剛度的推導(dǎo)

本文中用到的雙腔室空氣彈簧是主要應(yīng)用于精密儀器隔振臺(tái)中的空氣彈簧，其基本體積參數(shù)如表1所示。

表1 空氣彈簧膜片體積參數(shù)

首先將橡膠膜片的最外層即第3部分環(huán)狀立壁單獨(dú)計(jì)算。

為了得到環(huán)形立壁在垂直方向上的數(shù)值解，采用有限元的計(jì)算思想，研究環(huán)形立壁上每個(gè)微元的力學(xué)特性，利用微元切向的應(yīng)變約束得到彈性模量的表達(dá)式，最后通過(guò)積分得到立壁的總體剛度。立壁的總截面積是A3，立壁受到第2部分傳遞的合力是F3，如圖5所示。

圖5 環(huán)狀立壁

從立壁中截取一部分微元來(lái)研究材料的剛度，如圖6所示。

圖6 外側(cè)立壁微元

微元受到的力為dF3；截面積dA3；高度L3；微元相對(duì)立壁圓心的張角是dα。

在雙腔室空氣彈簧中，為了增強(qiáng)橡膠膜片的剛度，增長(zhǎng)使用壽命和提高膜片性能，我們采用了加入簾線層的各向異性復(fù)合橡膠材料。下面對(duì)單層簾線層的各向異性橡膠材料做剛度理論值的推導(dǎo)。

假設(shè)簾線層與水平方向的夾角為θ，如圖7所示。

圖7 微元簾線層夾角

分別令1，2方向?yàn)楹熅€層主方向，x，y方向?yàn)榭臻g坐標(biāo)系中的水平、豎直方向，兩個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系，如圖8所示。

圖8 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換示意圖

θ為從x軸轉(zhuǎn)向1軸的角度，以逆時(shí)針為正。用1-2(主方向)上的坐標(biāo)中的應(yīng)力分量表示x-y坐標(biāo)中應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)換方程如下

(5)

令

(6)

式中：σx,σy,σxy分別為x,y方向的正應(yīng)力和剪應(yīng)力；σ1,σ2,σ12分別為簾線層主方向1, 2的正應(yīng)力和剪應(yīng)力；T為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；則由式(5)可以得到兩坐標(biāo)系下應(yīng)力分量的關(guān)系

(7)

也即

(8)

同樣地，對(duì)于微元在1-2坐標(biāo)系和x-y坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量的關(guān)系，我們可以類似地得出應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式

(9)

(10)

式中：εx,εy,γxy分別是x,y方向的應(yīng)變和剪切角；ε1,ε2,γ12分別為簾線層主方向1, 2方向的應(yīng)變和剪切角。

我們?cè)儆脩?yīng)力表示應(yīng)變，在各向異性材料的主方向上，材料滿足如下關(guān)系

σ

(11)

式中：S為柔度矩陣，其中各項(xiàng)滿足

式中：E1，E2，G12為材料主方向的楊氏模量和剪切模量；ν12,ν21為兩方向的泊松比。同樣我們也可以用剛度矩陣Q表示主方向上應(yīng)力應(yīng)變的關(guān)系如下

(12)

下一步考慮坐標(biāo)轉(zhuǎn)換之后，受力方向與復(fù)合材料主方向夾角為θ時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系。

由式(8)～式(12)可以得出偏軸應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系

(13)

進(jìn)一步，我們可以反向推導(dǎo)出來(lái)應(yīng)變-應(yīng)力的關(guān)系如式(14)所示

(14)

即

(15)

式中：Ex，Ey，Gxy為x,y方向的楊氏模量和剪切模量；νxy,νyx為兩方向的泊松比。η為交叉彈性系數(shù)，定義如下

我踩著馬蘭家院墻外的柴垛向里面看去。壞了壞了，真是出大事了。馬蘭的院子里站了好幾個(gè)人，都在那圍著李老黑看。李老黑這會(huì)正光著上半身跪在地上，就像那晚我在李金枝床上一樣，渾身篩糠，腦袋使勁向下勾著，平日里那股威風(fēng)勁不知道跑哪去了。有個(gè)人還在訓(xùn)李老黑說(shuō)，我們是搶劫，你狗日的就是強(qiáng)奸！隨手揍了李老黑一個(gè)響亮的耳刮子。李老黑說(shuō)，還沒(méi)辦成呢，你們就來(lái)了。那人又給了李老黑一耳刮子，狗日的還敢還嘴，沒(méi)成就是強(qiáng)奸未遂，那也是犯法！

從圖1可知，橡膠膜片的外層被金屬外殼約束，我們認(rèn)為橡膠膜片在徑向和切向的應(yīng)變?yōu)?。因此在滿足

εx=0，γxy=0

的條件下，將式(15)展開可以得到

(16)

上述方程組有3個(gè)方程和4個(gè)未知數(shù)。據(jù)此可以整理得出垂直方向上應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系如下

(17)

根據(jù)楊氏模量E的定義，我們可以得到外層直立壁在垂直方向上的楊氏模量

(18)

由此我們可以得到橡膠膜片第3部分在豎直方向上的剛度表達(dá)式

(19)

式中：A3為外側(cè)立壁的總截面積，L3為外側(cè)立壁的高度。

同樣的道理我們可以得到內(nèi)側(cè)立壁的剛度K1

(20)

式中：E11為內(nèi)層直立壁的楊氏模量，計(jì)算方法與E33類似。綜合式(4)、式(19)、式(20)我們可以得到雙腔室空氣彈簧各向異性橡膠膜片的剛度表達(dá)式

(21)

3 數(shù)學(xué)仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)設(shè)備簡(jiǎn)介

針對(duì)前幾部分對(duì)空氣彈簧橡膠膜片剛度的推導(dǎo)，我們用實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。為此搭建了針對(duì)單個(gè)空氣彈簧的可變負(fù)載實(shí)驗(yàn)臺(tái)，如圖9所示，在可變負(fù)載的四個(gè)面分別用四個(gè)氣浮墊來(lái)約束彈簧在水平方向上的位移和扭轉(zhuǎn)。

圖9 單個(gè)空氣彈簧隔振性能試驗(yàn)臺(tái)

試驗(yàn)過(guò)程中，我們用激振器在試驗(yàn)臺(tái)底板施加隨機(jī)信號(hào)激勵(lì)，同時(shí)采集空氣彈簧底部信號(hào)和經(jīng)過(guò)空氣彈簧隔振后上部負(fù)載的信號(hào)。得到空氣彈簧在該負(fù)載下的傳遞函數(shù)曲線，從而確定試驗(yàn)中空氣彈簧的剛度，與解析理論值進(jìn)行比較。

3.2 試驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果的比較

試驗(yàn)中用到的空氣彈簧設(shè)計(jì)負(fù)載<35 kg，超出負(fù)載時(shí)空氣彈簧可能會(huì)由于內(nèi)部充氣氣壓過(guò)大而出現(xiàn)剛度過(guò)大的現(xiàn)象，從而影響隔振性能。橡膠膜片和空氣彈簧的具體尺寸，如表2所示。

表2 空氣彈簧參數(shù)

通過(guò)試驗(yàn)我們得出空氣彈簧在負(fù)載m=10 kg，內(nèi)壓Pa=0.126 3 MPa的情況下，其傳遞函數(shù)曲線，如圖10所示。

圖10 負(fù)載10 kg空氣彈簧傳遞率曲線

可以看到隔振系統(tǒng)的固有頻率f=7.36 Hz，空氣彈簧的垂向剛度

K=mω2=4mπ2f2=2.138 5×104N/m

將橡膠膜片的參數(shù)代入式(1)，我們根據(jù)Erin只考慮空氣彈簧腔室內(nèi)氣體的算法，可以得到傳遞函數(shù)，如圖11所示。

圖11 Erin模型傳遞率曲線

由圖11可知，只考慮氣體剛度的固有頻率是fa=1.19 Hz。進(jìn)一步可以確定空氣彈簧內(nèi)的氣體在垂直方向產(chǎn)生的剛度

.559×103N/m

同時(shí)可以由已知參數(shù)和式(21)計(jì)算出橡膠膜片產(chǎn)生的剛度

Kr=3.16×104N/m

結(jié)合空氣產(chǎn)生的垂向剛度，理論上空氣彈簧垂直方向上的總剛度應(yīng)該有

Ktotal=Ka+Kr=3.215 9×104N/m

我們令空氣彈簧整體所有剛度為K，令所有阻尼總和為C，將整個(gè)空氣彈簧看成二階振動(dòng)模型，傳遞函數(shù)滿足

(22)

用該函數(shù)擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)可得空氣彈簧總體阻尼C=56.4 N·s/m。由于本文只關(guān)注空氣彈簧的剛度，阻尼大小不影響剛度值和固有頻率，只對(duì)幅值大小和帶寬有影響，所以我們利用試驗(yàn)得到的阻尼C和計(jì)算得到的剛度Ktotal，用二階傳遞函數(shù)式(22)畫出空氣彈簧傳遞率曲線，如圖12所示。

圖12 負(fù)載10 kg空氣彈簧傳遞率曲線計(jì)算結(jié)果

同時(shí)分別將未考慮橡膠膜片剛度、考慮橡膠膜片剛度和試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制在一張圖上。如圖13，f為試驗(yàn)獲得的固有頻率，fa為只考慮空氣垂向剛度下所得的固有頻率，ftotal為考慮橡膠膜片垂向剛度后的固有頻率。

圖13 10 kg負(fù)載下試驗(yàn)結(jié)果和模型計(jì)算值比較

從圖10、圖11、圖12和圖13的對(duì)比中可知，通過(guò)Erin只考慮空氣剛度推導(dǎo)出的垂向剛度表達(dá)式和實(shí)際中測(cè)試得出的結(jié)果相差較遠(yuǎn)，在使用了本文提出的橡膠薄膜剛度計(jì)算方法后，與試驗(yàn)結(jié)果的符合程度明顯提高，固有頻率的誤差縮小到了22.83%。

改變負(fù)載質(zhì)量，分別在負(fù)載質(zhì)量m=20 kg，腔室內(nèi)氣壓Pa=0.191 3 MPa；m=30 kg，腔室內(nèi)氣壓Pa=0.231 3 MPa的工況下重復(fù)試驗(yàn)，將所得傳遞函數(shù)畫在同一圖上，如圖14和15所示。

從圖14和圖15可知，在負(fù)載20 kg，30 kg的情況下，理論計(jì)算與試驗(yàn)得到的固有頻率的相對(duì)誤差都<10%，由此可知，本文提出的計(jì)算方法在該空氣彈簧的負(fù)載范圍內(nèi)具有普適性。

圖14 20 kg負(fù)載下試驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算值比較

圖15 30 kg負(fù)載下試驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算值比較

4 結(jié) 論

(1) 本文建立了相對(duì)精確的雙腔室空氣彈簧的剛度模型，在建模的過(guò)程中，區(qū)別于以往工作只考慮氣體動(dòng)力學(xué)、熱力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的方法，著重考慮了橡膠膜片的剛度模型。

(2) 在對(duì)橡膠膜片的建模中，考慮到了實(shí)際運(yùn)用材料的各向異性，由推導(dǎo)公式可以看出橡膠簾線層材料、角度等因素都會(huì)對(duì)橡膠膜片的剛度產(chǎn)生影響。

(3) 搭建試驗(yàn)臺(tái)測(cè)試單個(gè)雙腔室空氣彈簧的隔振性能，獲得傳遞率曲線，與理論計(jì)算結(jié)果比較可以看出，試驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算值十分接近。所得到的空氣彈簧剛度模型對(duì)雙腔室空氣彈簧的設(shè)計(jì)有很好的指導(dǎo)和參考意義。

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