圓弧齒線圓柱齒輪嚙合接觸沖擊研究

馬登秋， 魏永峭， 葉振環， 侯 力， 羅 嵐

(1.遵義師范學院 工學院，貴州 遵義 563006；2.蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050；3.四川大學 制造科學與工程學院，成都 610065)

20世紀，日本學者為了解決直齒輪承載能力的不足，將圓弧齒線應用到圓柱齒輪上，首次提出圓弧齒線圓柱齒輪的初始概念[1]。隨后，諸多學者針對圓弧齒線圓柱齒輪開展研究，并取得相關研究成果。主要研究內容包含嚙合原理、加工方法、接觸性能以及實際應用等方面。Tseng等[2-4]對嚙合原理進行研究，推導了齒面方程，并在此基礎上建立了3D模型。此外，馬振群等[5]研究弧齒線圓弧齒輪的失配嚙合傳動理論，分析了該齒輪的真實齒面接觸問題。宋愛平等[6-7]對該齒輪加工方法開展研究，分別提出了平行連桿裝置銑削加工和大刀盤銑削加工兩種加工方法，指出平行連桿裝置加工所得齒輪齒廓在整個齒寬上均為漸開線齒廓，大刀盤銑削加工所得齒輪在中截面為漸開線，其他截面為變雙曲線的包絡線。吳偉偉等[8]對齒輪的接觸性能開展研究，主要涉及接觸強度、彎曲強度以及安裝誤差、主要設計參數對接觸性能的影響。關于該齒輪的應用，最為典型的是林子光[9]將齒輪泵的直齒輪替換為圓弧齒線圓柱齒輪，解決了齒輪泵困油的問題。齒輪的諸多研究成果對齒輪應用有著積極的作用。但目前該齒輪接觸特性分析基本是靜態分析，是齒輪嚙合過程中的某一個位置，不具有連續性。然而，嚙合過程是一個極度復雜的動態問題，靜態分析不能有效體現該齒輪力學特性，特別是嚙合接觸沖擊，有必要進行嚙合接觸沖擊研究，以期減小齒輪傳動系統中的振動與噪聲。

關于齒輪沖擊，學者們都注重兩個方面[10]:①由于輪齒變形和加工誤差引起的嚙入嚙出沖擊，②由于齒側間隙引起的沖擊。事實上，齒輪在工作時，會產生嚙合接觸沖擊，該沖擊產生是由于在嚙合過程中主從動輪瞬時法向速度不同而引起。此嚙合接觸沖擊對齒輪嚙合的穩定性影響極大，但目前研究論文較少，關于圓弧齒線圓柱齒輪的嚙合接觸沖擊甚至沒有。但應用在其他齒輪沖擊研究中的方法可以借鑒，相關的文獻綜述如下。

長期以來，國內外學者主要通過解析法與有限元法研究齒輪在沖擊作用下的動態接觸特性。通過解析法探討齒輪的沖擊問題:田放[11]通過建立有效周節差與沖擊參量間的關系，以沖擊時的能量轉換關系，推導出嚙入沖擊沖擊合力的計算公式。周長江等[12]將齒輪主要誤差項合成為系統等效誤差后，再與輪齒變形沿嚙合線二次合成，進而準確求解出線外嚙入沖擊點幾何位置和沖擊力。Munro等[13]研究線外嚙合與傳遞誤差的關系推導出了定量的計算公式。盛云等[14]建立沖擊模型研究了傳動比和模數對嚙合沖擊力的影響。另外，有限元方法也被大量應用在齒輪沖擊研究中。Bajer等[15]利用剛體接觸有限元法，研究了齒輪系統的動態接觸沖擊問題。唐進元等[16]利用顯示動態有限元研究直齒輪嚙合接觸沖擊問題和準雙曲面齒輪動態嚙合性能。吳勇軍等[17]給出了一種有限元方法，并利用該方法對低速和高速工況下的動態嚙合特性進行研究。總之，有限元方法為齒輪動態接觸的研究提供了便利，效率高，研究結果的可靠性和精度高，廣泛應用在齒輪動態特性研究中[18-19]，為圓弧齒線圓柱齒輪嚙合接觸沖擊研究提供了方法。

圓弧齒線圓柱齒輪嚙合過程中，由于主從動齒輪在接觸點處法線方向速度不同而引起了嚙合接觸沖擊，本文主要以此為研究內容，給出可以解決沖擊碰撞問題的有限元分析方法，建立嚙合接觸沖擊顯示動態有限元模型，研究沖擊速度、沖擊位置與沖擊應力、沖擊合力以及沖擊時間的關系。研究結果為圓弧齒線圓柱齒輪的降噪設計提供理論基礎。

1 嚙合接觸沖擊理論

兩個彈性體Ω1和Ω2接觸時，如圖1所示。從開始時刻tA到結束時刻tE的運動控制方程為

(1)

圖1 彈性體接觸

由式(1)可知，當兩彈性接觸體的速度相同或者相差較小時，系統速度不變或者改變很小。但當兩接觸體之間以一定的速度差發生接觸時，系統速度發生突變，接觸的時間又極短，接觸體間產生很大的接觸力，此為兩彈性體接觸時產生的接觸沖擊。

圖2可視為圓弧齒線圓柱齒輪傳動時的物理模型，齒輪接觸沖擊其實可以看成為兩個彈性接觸體接觸時產生的接觸沖擊。

圖2 齒輪傳動的物理模型

根據漸開線齒輪的特性，在正確嚙合傳動時，齒輪接觸點只在切向存在速度差，在法線方向上接觸點的速度差Δv=0，傳動平穩，即不會出現脫嚙合的現象。但是，在實際工作中，存在各方面的因素使得傳動系統工況時刻改變。從而導致輪齒之間在法向上產生一個相對速度差，輪齒之間的接觸形式便可以看作為彈性體間的沖擊碰撞，由此產生沖擊為嚙合接觸沖擊。

在此沖擊過程中，主動輪以一定速度撞擊從動輪，主動輪的轉速不斷減小，沖擊合力和主動輪角位移則不斷增大。當主動輪轉速減速到零時，由于受到從動輪的反作用力，主動輪以一定的速度回彈。在回彈過程中主動輪的速度不停地增大，若不考慮能量的損失，理論上可以增大到沖擊前的瞬時速度，但沖擊合力和主動輪角位移則不斷減小，直到為零，此過程為嚙合接觸沖擊的一個周期。沖擊合力、沖擊轉速和主動輪角位移變化趨勢，如圖3所示。其中沖擊合力和主動輪角位移的變化趨勢近似為拋物線，文獻[20]在研究齒輪傳動三維間隙非線性沖擊問題時同樣得出了沖擊合力的時變曲線圖呈拋物線周期性變化，與本文不謀而合。

圖3 沖擊合力、沖擊轉速和主動輪角位移理論變化趨勢

綜上所述，嚙合接觸沖擊有別于因齒輪受載變形、安裝誤差和側隙引起的齒輪嚙入、嚙出沖擊和在節點附近由于滑動摩擦方向突變而引起的節點沖擊，即有必要開展相關研究，特別是對于圓弧齒線圓柱齒輪。

2 齒輪副嚙合沖擊有限元分析方法

2.1 齒輪副系統控制方程建立

圖4 圓弧齒線圓柱齒輪副動態接觸模型

建立上述關系后，根據虛位原理，采用增量形式表示的主從動齒輪運動方程為

(2)

式中：

ug=t+Δtug-tug；up=t+Δtup-tup

運動方程式(2)可以改寫成

(3)

式中：

建立系統運動方程后，需確定圓弧齒線圓柱齒輪副嚙合運動過程中的接觸力向量t+ΔtFc。根據文獻[20]，由罰函數可知，嚙合過程中，單元節點等效接觸力為

(4)

2.2 齒輪副系統控制方程求解

將接觸力向量t+ΔtFc表達式(4)代入齒輪副系統運動控制方程式(3)就可以求解出相關力學參數。求解時采用中心差分法，迭代前后狀態的運動參數滿足

(5)

將式(6)代入式(4)中可以得到遞推求解公式

t+Δtu=(M+0.5ΔtC)-1×

(6)

(7)

聯立式(3)～式(7)，反復逐步迭代，就能求取圓弧齒線圓柱齒輪整個嚙合過程中的各個力學變量。

由于中心差分法是條件收斂算法，碰撞周期離散時，時間增量需要滿足以下條件：

Δt≤Δtcr=Tn/π

(8)

式中：Δtcr為臨界時間步長；Tn最小固有振動周期。

基于以上算法，可以通過數值求解，但其求解結果受到離散精度的影響。本文為了獲得足夠的計算精度，采用商用軟件ANSYS/ LS DYNA進行計算。唐進元等利用該軟件研究直齒輪嚙合接觸沖擊的問題，所得沖擊力與周長江等通過解析法得到最大沖擊力具有一致性。可見該軟件計算結果具有高可信度。

3 嚙合接觸沖擊求解結果與分析

3.1 嚙合齒輪副有限元模型

為了精確研究圓弧齒線圓柱齒輪的嚙合接觸沖擊，需要建立精確的數字樣機模型。目前，該齒輪的建模方法有幾種[21-22]，但都不夠精確。本文根據圓弧齒線圓柱齒輪的齒面方程，利用MATLAB建立數學模型獲取齒面點云，可以建立精確的三維模型。該齒輪齒面方程為

(9)

式中:R1為被加工齒坯的節圓半徑；RT為名義刀盤半徑；θ為加工過程中刀具從齒坯中截面到端面的轉角(°)，稱為尺廓位置角，順時針為正；φ1為齒坯轉角，順時針為正；α為刀具壓力角(°)；u為刀具曲面上點沿錐曲面母線距離參考點位移(mm)。

基于圓弧齒線圓柱齒輪齒面方程，可在MATLAB中編寫程序生成點云。并將點云導入UG中生成齒輪齒面，通過輔助命令，完成齒輪副的精確建模。本文選擇齒輪基本參數如下：齒數z1=19，z2=31，模數m=8，齒寬為b=80 mm，齒線半徑RT=500 mm，圖5所示為主動輪的齒面點云和三維精確模型。為了得到精確的結果，避免相鄰輪齒之間的影響，從動輪只保留一個輪齒，并調整三維模型的約束關系，建立齒輪齒根附近、分度圓附近和齒頂附近嚙合接觸時的裝配模型。將模型導入有限元軟件中，進行材料參數設置，劃分網格，建立邊界條件(主要涉及約束關系、局部坐標系、載荷施加以及求解條件的設置)等，最終建立有限元分析模型，如圖6所示。在建模時，從動輪所有自由度完全約束，主動輪僅保留軸向旋轉自由度，仿真時給主動輪施加速度的改變量Δv(分別為：10 rad/s、13 rad/s、16 rad/s、20 rad/s)，并設置齒面接觸滑動摩擦系數0.1，完成嚙合沖擊仿真。

(a)分度圓

(b)齒頂

(c)齒根

3.2 嚙合接觸沖擊碰撞運動形式驗證

圖7為某位置發生嚙合接觸沖擊時主動輪轉速、沖擊合力、角位移的變化趨勢圖。沖擊合力與角位移變化趨勢近似為拋物線。主動輪轉速變化波動較大，而且在回程時速度并沒有加速到初始速度，因為嚙合接觸沖擊仿真是柔體與柔體的碰撞，存在能量損失，但是總體上與理論分析相一致。因此，該方法仿真進行圓弧齒線圓柱齒輪的嚙合接觸沖擊研究可靠。

(a)主動輪轉速

(b)沖擊合力

(c)主動輪角位移

3.3 齒輪副嚙合接觸沖擊應力分析

3.3.1 沖擊轉速對沖擊應力的影響

圖8所示為圓弧齒線圓柱齒輪各個沖擊位置(分度圓附近、齒頂附近和齒根附近嚙合接觸沖擊)以不同沖擊速度發生嚙合接觸沖擊時，最大沖擊應力點位置的沖擊應力變化趨勢。可知，最大沖擊應力隨著沖擊速度增大而增大，而且沖擊速度越大最大沖擊應力的增幅越大、最大沖擊應力的波動越大。其中，最大沖擊應力增幅變化最大的是齒頂附近嚙合接觸沖擊，最小的是分度圓附近嚙合接觸沖擊；最大沖擊應力波動最大的是齒頂附近嚙合接觸沖擊，最小的是齒根附近嚙合接觸沖擊。綜上所述，沖擊速度對嚙合接觸沖擊有著較大影響，要盡量避免沖擊的發生，保證齒輪系統的平穩運行。

(a)分度圓附近嚙合接觸沖擊

(b)齒頂附近嚙合接觸沖擊

(c)齒根附近嚙合接觸沖擊

3.3.2 沖擊位置對沖擊應力的影響

在齒輪傳動中，由于齒面接觸點綜合曲率會隨著接觸點位置的改變而改變，這將導致在不同接觸位置發生嚙合接觸沖擊時，產生的沖擊應力有所不同。此外，由于齒輪輪緣的剛度比較大，一般可以將齒輪輪齒看作為一定寬度的懸臂梁。所以接觸點在不同的位置，齒根所受的彎矩也不一樣，進而齒輪彎曲應力不一樣。通常，在發生沖擊時，產生的沖擊應力相對于正常嚙合時的接觸應力較大。所以，有必要開展不同位置沖擊時沖擊應力的研究。圖9～圖12所示為不同沖擊速度下各沖擊位置最大沖擊應力時變圖。可知，在分度圓附近、齒頂附近和齒根附近等三個嚙合接觸沖擊位置中，在齒頂附近沖擊時最大沖擊應力最大，分度圓附近沖擊和齒根附近沖擊最大沖擊應力相接近；在分度圓附近沖擊時，最大沖擊應力的波動幅度最大，齒頂附近沖擊次之，齒根附近沖擊最小。但三者的最大沖擊應力波動幅度都會隨著沖擊速度的增大而增大。此即是沖擊位置對沖擊應力的影響。

(a)分度圓附近沖擊最大應力

(b)齒頂附近沖擊最大應力

(c)齒根附近沖擊最大應力

(a)分度圓附近沖擊最大應力

(b)齒頂附近沖擊最大應力

(c)齒根附近沖擊最大應力

(a)分度圓附近沖擊最大應力

(b)齒頂附近沖擊最大應力

(c)齒根附近沖擊最大應力

(a)分度圓附近沖擊最大應力

(b)齒頂附近沖擊最大應力

(c)齒根附近沖擊最大應力

3.4 齒輪副嚙合接觸沖擊合力分析

齒輪傳動中，由于齒面發生彈性變形導致接觸區域為一定面積的小單元，該小單元上分布著接觸壓力，學者往往致力于沖擊應力的研究，認為探討沖擊應力的規律更有意義。事實上，齒輪沖擊過程中的沖擊力(嚙合力)也值得研究，例如研究軸向、徑向沖擊力，有利于系統設計時軸承的合理選用。因此，以下將圍繞圓弧齒線圓柱齒輪副發生嚙合接觸沖擊時的沖擊力開展相關研究，為該齒輪的應用提供相應依據。

圖13～圖15為各位置在不同沖擊轉速下發生嚙合接觸沖擊時沖擊合力的時變圖，提取出最大沖擊合力，如表1所示。并繪制變化趨勢圖，如圖16所示。由圖可知，無論是齒頂附近沖擊、齒根附近沖擊還是分度圓附近沖擊，都是沖擊速度越大，沖擊合力也就越大，而且沖擊合力的增大隨著沖擊速度的增大呈近似的線性增長，這點與文獻[10]的研究成果不謀而合，但由于在有限元建模時是限制了單齒模型內圈的全部自由度，進而導致沖擊合力數值較大，這一點與文獻[23]的結論相迎合。

表1 各沖擊位置不同沖擊速度下的最大沖擊合力

對于不同位置發生沖擊對沖擊合力的影響，根據圖16所示。相同沖擊速度時，分度圓附近嚙合沖擊合力最大，齒根附近沖擊合力次之，齒頂附近沖擊合力最小。此外，根據圖13～圖15，齒根附近沖擊時沖擊合力的波動幅度比齒頂和分度圓附近沖擊的沖擊合力波動幅度大。

(a)沖擊速度10 rad/s

(b)沖擊速度13 rad/s

(c)沖擊速度16 rad/s

(d)沖擊速度20 rad/s

(a)沖擊速度10 rad/s

(b)沖擊速度13 rad/s

(c)沖擊速度16 rad/s

(d)沖擊速度20 rad/s

(a)沖擊速度10 rad/s

(b)沖擊速度13 rad/s

(c)沖擊速度16 rad/s

(d)沖擊速度20 rad/s

圖16 各沖擊位置不同沖擊速度下的最大沖擊合力

3.5 齒輪副嚙合接觸沖擊時間分析

本文在研究嚙合接觸沖擊時定義接觸沖擊時間為接觸力(沖擊力)持續的時間。即當齒輪副之間接觸力大于0時，視為沖擊接觸，該過程的時長，視為沖擊時間。圖17揭示了沖擊速度對沖擊時間的影響。由圖17可知：沖擊速度越大，沖擊時間越短，其與文獻[12]探討線外嚙合沖擊和文獻[10]探討直齒輪嚙合接觸沖擊時得出的相關成果一致。此外，不同位置發生沖擊對沖擊時間的影響規律,如圖18所示。結果表明：沖擊時間在齒頂附近達到最大，分度圓附近次之，齒根附近最小，即從齒頂到齒根逐漸減小。

圖17 沖擊速度對沖擊時間的影響

圖18 沖擊位置對沖擊時間的影響

4 結 論

本文以圓弧齒線圓柱齒輪嚙合過程中的嚙合接觸沖擊為研究內容，給出可以解決沖擊碰撞問題的有限元分析方法，通過圓弧齒線圓柱齒輪齒面數學模型建立精確三維數字樣機，進而建立嚙合接觸沖擊顯示動態有限元模型，研究沖擊速度、沖擊位置與沖擊應力、沖擊合力以及沖擊時間的關系。主要結論如下：

(1)沖擊速度和沖擊位置對沖擊應力的影響：最大沖擊應力隨著沖擊速度增大而增大，而且沖擊速度越大，最大沖擊應力的增幅越大、波動越大；在分度圓附近、齒頂附近和齒根附近等三個嚙合接觸沖擊位置中，在齒頂附近沖擊時最大沖擊應力最大，分度圓附近和齒根附近沖擊最大沖擊應力相接近；在分度圓附近沖擊時，最大沖擊應力的波動幅度最大，齒頂附近沖擊波動幅度次之，在齒根附近沖擊時波動幅度最小。

(2)沖擊速度和沖擊位置對沖擊合力的影響：沖擊速度越大，沖擊合力則越大，兩者間呈近似線性增長關系。相同沖擊速度時，分度圓附近嚙合沖擊合力最大，齒根附近沖擊合力次之，齒頂附近沖擊合力最小。

(3)沖擊速度和沖擊位置對沖擊時間的影響為：沖擊速度越大，沖擊時間越短；沖擊時間在齒頂附近達到最大，分度圓附近次之，齒根附近最小，從齒頂到齒根逐漸減小。

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