時滯振動控制系統部分極點配置問題的多步法

徐佳佳， 劉 皞

(南京航空航天大學 理學院， 南京 211106)

考慮線性時滯振動控制系統

(t-τ)

(1)

式中：A∈Rn×n為狀態矩陣；B∈Rn×m為列滿秩控制矩陣；τ∈R為狀態反饋測量與控制之間的時滯；x(t)∈Rn為狀態變量；u(t-τ)∈Rm為控制變量。當m=1時，稱式(1)為線性時滯單輸入振動控制系統，而當m>1時，稱式(1)為線性時滯多輸入振動控制系統。本文用矩陣對(A,B)表示式(1)。

由于振動控制系統的狀態反饋測量與控制之間總存在時滯現象[1-2]，所以需要考慮帶有小時滯的振動控制問題。

一種系統振動控制的方法即狀態反饋控制，令

u(t-τ)=-FΤx(t-τ)

(2)

式中：F∈Rn×m，將式(2)代入式(1)，得

(t-τ)

(3)

利用分離變量，令

x(t)=xeλt

(4)

式中：λ∈C，得

Qτ(λ)x=0

(5)

式中：Qτ(λ)=λI-(A-BFΤe-λτ)。

如果τ=0，則式(5)簡化為如下一階特征值問題

Qc(λ)x=0

(6)

式中：Qc(λ)=λI-(A-BFΤ)。

線性時滯振動控制系統極點配置問題就是尋求一個狀態反饋矩陣F∈Rn×m，使得式(5)含有事先給定的特征值。在實際工程計算中，開環系統僅僅有一少部分特征值是不“想要”的，因此我們只需對少部分不“想要”的特征值進行配置，保持其它特征對不變[3]。又因為系統的狀態反饋測量與控制之間存在時滯現象。這就產生了以下線性時滯振動控制系統部分極點配置問題。

Qτ(λ)=λI-(A-BFΤe-λτ)

(7)

目前關于線性系統部分極點配置問題的研究，傳統求解完全極點配置問題的數值方法不再適用，如：QR法[4]、Schur分解法[5]；Ram等[6-8]提出了動柔度法，但這個方法需要閉環系統的動柔度矩陣，而且這個矩陣對測量噪聲是敏感的[9-10]；Datta等給出了參數化方法，不再利用動柔度矩陣，但需要求解Sylvester矩陣方程。此方法在求解過程中，如何選擇參數，使得算法可以進行下去，是個未知的問題[11]。

本文主要工作是提出一種多步法求解線性時滯多輸入振動控制系統部分極點配置問題， 這種方法給出了問題可解的條件很容易實現而且不需要利用動柔度矩陣或求解Sylvester方程。

在本文中，有如下假設：

3) rank(A-μiI)=n；

以下記號將被使用

Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，其對角元是狀態矩陣A的特征值；

Λ1=diag(λ1,λ2,…,λp)，其對角元是要改變的特征值；

Λ2=diag(λp+1,λp+2,…,λn)，其對角元是保持不變的特征值；

Λc1=diag(μ1,μ2,…,μp)，其對角元是事先給定的要配置的特征值；

Y1=[y1,y2,…,yp]，其每一列是A相應的左特征向量；

X=[x1,x2,…,xp,xp+1,…,xn]，其每一列是A相應的右特征向量；

X1=[x1,x2,…,xp]；X2=[xp+1,xp+2,…,xn]。

1 單輸入振動控制系統

考慮線性時滯單輸入振動控制系統(即m=1)

F=f∈Rn,B=b∈Rn,u(t-τ)∈R

首先需要考慮線性時滯振動控制系統部分極點配置問題解的存在唯一性。

引理1(解的存在唯一性)

2) 線性時滯單輸入振動控制系統部分極點配置問題存在唯一解的充要條件是矩陣對(A,b)是完全可控的單輸入振動控制系統；在多輸入振動控制系統或不完全可控的單輸入振動控制系統的情況下，只要系統存在一解，則系統存在無窮多個解。

由引理1給出可控的特征向量準則。

引理2(可控的特征向量準則)

若矩陣對(A,b)對所有滿足yΗA=λyΗ，且y≠0的y，有yΗb≠0，則矩陣對(A,b)關于A的特征值λ是可控的；反之也成立。

下面給出線性時滯振動控制系統部分極點配置問題的解的表達式。

β∈Rn

(8)

X2Λ2-AX2+bfΤX2e-τΛ2=0

(9)

X2Λ2-AX2+bfΤX2e-τΛ2=X2Λ2-AX2+

(10)

Λc1=diag(μ1,μ2,…,μp)，Xc1=[xc1,xc2,…,xcp]

式中：xcj(j=1,2,…,p)為滿足(A-μjI)xcj=bγj的列向量。由于μj不是A的特征值，則Xc1是唯一確定的。

下面選取β，使得

Xc1Λc1-AXc1+bfΤXc1e-τΛc1=0

(11)

將式(8)代入式(11)，得

(12)

(13)

則

不妨取γ=(γ1,γ2,…,γp)=(1,1,…,1)∈R1×p，則

從而可得以下定理：

定理3(線性時滯單輸入振動控制系統部分極點配置問題的解)

Xc1=[xc1,xc2,…,xcp]

Λc1=diag(μ1,μ2,…,μp)

和

根據定理3可得算法1。

算法1(線性時滯單輸入振動控制系統部分極點配置問題的算法)

1. forj=1,2,…,pdo;

3. 計算xcj:(A-μjI)xcj=b；

4. end for

5. 令Y1=[y1,y2,…,yp]，

Xc1=[xc1,xc2,…,xcp]，

Λc1=diag(μ1,μ2,…,μp)；

7. 計算β:βΤH=(1,1,…,1)；

2 多輸入振動控制系統

這一部分，提出解決線性時滯多輸入振動控制系統部分極點配置問題的多步法。記式(3)的等價形式為

(t-τ)

(14)

式中：bi和fi分別為B和F的第i列。對應的特征多項式為

(15)

定義

(16)

式中：kji∈C。記ηjm=μj，j=1,2,…,p。設

(17)

因此，線性時滯多輸入振動控制系統部分極點配置的多步法問題如下：

線性時滯多輸入振動控制系統部分極點配置的多步法問題給定A，B，Λ1，Λc1，設ηji和Ai分別為式(16)和式(17)定義的形式。對于i=2,…,m，我們可以找到單輸入振動控制系統的狀態反饋向量fi，使得

(18)

定義

βi，i=1,2,…,m

(19)

定理4(線性時滯多輸入振動控制系統部分極點配置問題的解)

Λc1i=diag(η1i,η2i,…,ηpi)，Xc1i=[xc1i,xc2i,…,xcpi]

和

(20)

即定理4的第一部分得證。

(21)

將式(19)代入式(21)，得

(22)

注選擇參數kji的準則:選擇kji使得ηji不是開環系統Ai的特征值，則ηjiI-Ai為非奇異的。另一種方法，選擇kji=λj，這個需要判斷ηjiI-Ai是否為非奇異的。

根據定理4可得算法2。

算法2(線性時滯多輸入振動控制系統部分極點配置問題的算法——多步法)

輸入:n×n的實狀態矩陣A；

n×m的實控制向量B；

時滯量τ>0；

輸出:狀態反饋向量F，滿足

Qτ(λ)=λI-(A-BFΤe-λτ)有所配置

1. fori=1,2,…,mdo

2. forj=1,2,…,pdo

ηjiI-Ai為非奇異的；

5. 計算xcji:(Ai-ηjiI)xcji=bi；

6. end for

7. 令Y1i=[y1i,y2i,…,ypi]，

Xc1i=[xc1i,xc2i,…,xcpi]，

Λc1i=diag(η1i,η2i,…,ηpi)；

11. end for

12.F=[f1,f2,…,fm]。

3 數值試驗

在這一部分，就算法1和算法2分別給出數值例子來說明算法1和算法2的有效性。

.427 0×10-11

例2考慮彈簧質量系統，如圖1所示。可以導出多輸入振動控制系統部分極點配置問題的模型

圖1 彈簧質量系統

取m1=m2=1 kg,k1=k2=1 N/m，則系數矩陣

同時

.280 2×10-16

注針對多輸入控制系統，參考文獻[3]中的算法4.2在求解過程中，如何選擇參數Γ，使得矩陣方程ΦZ1=Γ有解是一個未知的問題。事實上，此方法確實容易受到參數Γ的影響。而本文提出的算法可以給出Hi非奇異的條件，從而可以保證算法可以進行下去。

4 結 論

本文中提出了求解線性時滯多輸入振動控制系統部分極點配置問題的多步法，這種方法很容易編程實現而且不需要利用動柔度矩陣或求解Sylvester方程。最后，數值實驗的結果表明多步法是有效的。

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