基于多色集合理論遞階系統的網絡化制造資源優化配置

劉曉陽 劉恩福 方憶湘 劉振宇 靳江艷

河北科技大學機械工程學院，石家莊,050018

0 引言

隨著網絡技術及信息技術的不斷發展，為了應對知識經濟和制造全球化的挑戰,快速響應市場需求和提高企業競爭力，網絡化制造成為制造企業發展的必然趨勢[1]，而追求成本、時間與質量的最優制造資源配置是必需解決的關鍵技術[2]。目前針對該技術的研究總體上分為兩大類：主觀賦權評價法和客觀賦權評價法[3]。主觀賦權評價法由專家根據經驗進行主觀判斷并采取定性的方法得到權數，如層次分析法、遺傳算法等。文獻[4-5]通過模糊層次分析法建立資源選擇數學模型實現定性問題定量化，并進行多層次、多目標的優化選擇；文獻[6]構建了產品定制資源優化配置的雙層規劃數學模型，采用一種嵌入雙層迭代規則的混合遺傳算法對產品定制資源進行優化配置。客觀賦權評價法權數的確定依據各項指標的變異系數或指標之間的相關關系，如灰色關聯度法、TOPSIS法等。文獻[7]采用基于改進優劣解距離的動態多屬性決策方法對Pareto最優解所代表的互為非支配的制造云服務(MCS)組合方案進行評價排序，篩選出最優的MCS組合方案。

多色集合理論(theory of polychromatic sets，TPS)[8]是近年來先進制造技術領域中提出的重要概念和理論之一，它在系統建模、復雜層次結構和關系描述、問題的形式化表示以及高效的計算機處理等方面具有優勢，愈來愈得到產品設計與制造領域相關研究人員的重視。

本文將TPS引入到制造資源優化配置過程中，通過建立TPS遞階系統，分層組織和管理數據，并將數據以布爾矩陣的形式存儲，方便計算機進行表示、處理、編程并減少存儲空間；通過TPS的形式化推理和邏輯運算，實現制造資源給定目標或多目標評估的優化配置。

1 多色集合的模糊數學模型

1.1 多色集合

多色集合信息模型是由多色集合元素、個人顏色、個人著色、統一顏色和統一著色及其相關關系組成，以布爾矩陣形式進行信息存儲的數學模型。本文采用的多色集合理論數學表達式為

PS={A,F(a),[A×F(a)]}

(1)

[A×F(a)]=‖cij‖A,F(a)

(2)

式(2)中，元素ai的個人著色F(ai)由第i行元素cij=1的個人顏色確定。

在使用多色集合時，通常用圍道的概念來替換術語顏色，圍道即為性質、屬性、參數、特征、指標等技術概念的抽象和概括。

1.2 多色圖

在多色集合中，多色圖是其圖示化的重要工具，多色圖由三種成分組成：

PG={F(G),PSA,PSC}

(3)

式中，F(G)為多色圖整體的統一著色；PSA為節點的多色集合；PSC為邊的多色集合。

1.3 多色集合的模糊數學模型

1.3.1模糊圍道關系

傳統多色集合理論的布爾矩陣是一個二元布爾矩陣，元素值只有0(沒有關系)和1(有關系)，是一種簡單的關系描述矩陣[9]。而在制造資源配置過程中，制造任務與制造資源圍道之間的關系存在不確定性：

(1)制造資源參數值存在不確定性,這將導致制造任務與制造資源匹配關系的不確定性。制造資源指標參數可能是一個準確值，也可能是一個區間值，如制造資源的加工精度、加工范圍等，當制造資源指標參數為區間值時，制造任務與制造資源圍道之間可能會完全匹配、不匹配或部分匹配，如果是部分匹配，有可能滿足匹配要求，也可能沒達到規定指標不滿足匹配要求，因此，制造任務與制造資源之間存在著非確定性的匹配關系。

(2)資源配置集合中元素(圍道)組成存在不確定性。

1.3.2模糊信息表達

為了滿足制造資源配置建模以及資源配置過程的需求，對傳統的多色集合理論作以下改進。

(1)針對制造資源參數值的不確定性導致制造任務與制造資源之間的映射關系存在不確定性，建立cij∈[0,1]的模糊布爾矩陣。

(2)針對多色集合中元素間及圍道間的關系及聯系的不確定性，建立模糊集合和普通集合元素間及圍道間的對應關系：

(4)

(5)

2 TPS遞階系統

制造資源配置是從零件信息模型開始的，由工藝人員對零件圖紙和零件制造工藝進行分析，將零件的生產過程分解為若干個制造階段；利用離散的制造資源，通過任務單元與制造資源一定的屬性映射，獲得滿足任務單元制造能力要求的制造資源，并以時間、成本以及質量等定量指標作為優化目標，進一步對制造資源進行多目標的優化，組合一條最優的加工路線。

定義1任務單元根據零件加工工藝信息形成的、以典型幾何特征及加工要求為元素的加工單元集合，它是特定加工特征及加工要求的宏觀描述[2]，用t表示，其屬性可以用9維的特征向量表示：

t=(t_pf,t_f,t_ma,t_r,t_d;
t_of,t_mach,t_pre,t_pro)

(6)

式(6)分為兩部分：①零件信息部分,即t_pf表示零件類別，t_f表示制造特征類型，t_ma表示材料類別，t_r表示毛坯類別，t_d表示尺寸范圍；②主要的工藝信息部分,即t_of表示組成加工單元類型，t_mach表示加工方法，t_pre表示加工精度類型、t_pro表示生產類別。

本文借助多色集合的形式化表達和邏輯推理建立TPS遞階系統，如圖1所示，該系統分為遞階關系層和遞階推理層。遞階關系層負責組織和處理信息，描述制造任務、配置資源與評價指標之間及其屬性之間的邏輯關系，滿足遞階推理的需求，利用TPS對信息之間的邏輯關系進行形式化表達，并以布爾矩陣的形式進行存儲；遞階推理層進行數據計算和優化，按照零件工藝流程對制造資源進行多目標優化，達到制造資源優化配置的要求。

圖1 TPS遞階系統結構Fig.1 The structure of TPS hierarchical system

3 遞階關系層

遞階關系層采用多視圖的表達方法，即層次向視圖、屬性向視圖和關系向視圖。層次向視圖的各層屬性從屬性向視圖中提取，而屬性向視圖中屬性的關聯關系從關系向視圖中提取；屬性向視圖中的屬性信息要通過層次向視圖和關系向視圖中的具體內容來承載；關系向視圖的生成可以根據層次向視圖各層次屬性關聯匹配而得到。圖1中，遞階關系層中各向視圖之間相互聯系，使制造資源配置過程在一個模型中加以綜合運算，以支持制造資源配置各環節的順利進行。

3.1 任務的多色圖表達

運用圖論的思想，任務單元可以抽象為圖的節點，但是，傳統圖論工具不可能既描繪圖節點和邊的組成，又描繪圖的節點和邊所具有的不同性質[9]。本文利用多色圖的概念建立制造任務PG的多色圖

PG={PST,PS(T×T)}

(7)

3.1.1多色集合PST

多色集合PST描述多色圖所有的節點、節點屬性及節點與屬性之間的關聯關系，形式化表達為

PST={T,F(T),[T×F(T)]}

(8)

式(8)中，T表示任務單元集合；ti為制造任務中的第i個任務單元，任務單元ti∈T；F(ti)為任務單元ti對應的個人著色，表示任務單元的加工指標信息屬性，其形式化表達為

(9)

3.1.2多色集合PS(T×T)

多色集合PS(T×T)描述任務單元在按照工藝流程完成過程中彼此之間存在一定的聯系和信息依賴關系，其形式化表達為

PS(T×T)={[T×T],[(T×T)×F(T)]}

(10)

式中，圍道矩陣[T×T]為任務單元的自相關圍道矩陣，描述任務單元間信息傳遞的路徑、方向；[(T×T)×F(T)]表示任務單元間的連接形式。

自相關圍道矩陣[T×T]表示任務單元集合T與其自身的笛卡兒積，其形式化表達為

[T×T]=‖τij‖T,T

(11)

其中,τij表示任務單元間信息依賴程度的邏輯值，當任務單元間有確定的連接關系時，τij使用布爾數值0(沒有關系)和1(有關系)表示，否則τij∈(0,1)，即定量表示任務單元ti依賴于任務單元tj信息輸入的程度。

圍道矩陣[(T×T)×F(T)]是任務單元的自相關矩陣，定義多色集合的元素為任務單元ti和tj的兩兩組合，定義多色集合的圍道Fk(ti,tj)為任務單元ti和tj之間可能的連接關系，即連接弧、與分、與合、或分和或合，連接關系及對應符號如表1所示。

表1 連接關系及對應符號

任務單元可表示零件加工過程中多個不同且不連續的加工階段，因此，通過任務單元之間存在一定的信息依賴關系可將各任務單元連接起來，連接形式如表2所示,歸納以下3類：

(1)順序形式。任務單元之間有先后順序的約束，即上游任務單元要先于下游任務單元完成。

(2)并列形式。任務單元之間能夠同時或以任意次序獨立執行，相互間無信息交換，互不影響。

(3)耦合形式。任務單元之間存在雙向的信息交換，即任務單元ti需要任務單元tj的輸出信息作為輸入，同時任務單元tj需要任務單元ti的輸出信息作為輸入。耦合連接形式可分為耦合形式①和耦合形式②(迭代形式)。

表2 任務單元連接形式及其形式化映射

3.2 映射關系的形式化表達

3.2.1評價指標體系的構建

通過對資源配置過程進行深入分析，將問題分解成4個層級，即目標層O、指標層A、B和方案層R(圖2)。目標層O是最高層，為綜合評價指標，最下層為配置方案層R，指標層A為制造資源的容錯性指標，指標層B為優化指標層，圖中存在關系的上下層因素之間用直線相連。

在配置方案層R，為了將分散在不同地方的制

圖2 資源方案評估層次結構模型Fig.2 The hierarchical model of resource scheme evaluation

造資源進行邏輯上統一管理，形式上統一表達為

PSR={R,F(R),[R×F(R)]}

(12)

其中，R={r1,r2,…,rk,…,rm}，rk為制造資源中第k個制造單元；m表示制造單元的數目；F(rk)為rk的個人著色，即描述rk的制造能力、設備與工裝信息以及狀態的屬性，形式化表達為

(13)

(14)

制造單元rk的個人著色F(rk)的并集為所有制造單元的個人著色F(R)。

3.2.2容錯性

在資源配置的指標中，添加容錯性指標。資源配置的容錯即當配置過程中系統的某一部分發生失效時，通過失效監控進行廢除或隔離，并將完好的資源介入系統，實現系統不停斷的工作[10]。

通過在評價指標中增加網絡通信狀態、資源服務質量、資源服務狀態、數據間的一致性、任務狀態等指標，在資源匹配之前，進行預配置資源的容錯性檢查，保證資源配置的有效性和配置過程的連續性。本文利用多色集合的形式化表達對任務單元和制造單元的關鍵指標信息進行定量化表示，解決數據間的一致性問題，因此，數據間的一致性問題在綜合評價指標中沒有體現。

3.2.3綜合權重計算

本文采用兼顧主觀性和客觀性的粗集-層次分析法計算權重。粗集理論是一種研究不完整數據和不確定知識的表達、學習及歸納的數學方法[11]。基于粗集理論的權重確定方法是一種依賴于客觀事實的決策方法。

(1) 決策表。S=(U,R)為一知識表達系統，U是一非空有限集，稱為論域；R是U上的一個二元等價關系，R∈U×U，也稱為U上的屬性集。 設R=C∪D(C∩D=?),C和D是兩個屬性子集，分別稱為條件屬性和決策屬性。具有條件屬性和決策屬性的知識表達系統可表達為決策表T=(U,R,C,D)。

(2) 區分矩陣。區分矩陣是一個普遍采用的知識約簡方法。系統S=(U,R)，其中R=C∪D，r(x)是x在屬性r上的值，區分矩陣M有n×n的維度，其中n表示基本對象的數目，而其單元定義為所有可識別基本集合{x}i與{x}j屬性的集合，該集合中元素值計算公式為

(15)

當決策屬性不同且條件屬性也不完全相同時，元素值為互不相同的屬性組合；當決策屬性相同時，元素值為?；當決策屬性不同而條件屬性完全相同時，元素值為-1，該情況表明數據有誤或提供條件屬性不足或某些屬性為決策冗余屬性。

根據區分矩陣可以構建區分函數f(R)：

f(R)=∧(∨cij)

(16)

若cij屬性集合為空，則指定其為1。可辨識矩陣的定義表明：矩陣M中屬性組合數為1的元素項的集合為粗集決策表的核。

(3) 屬性的重要性：在區分矩陣M=[cij]n×n中，某個屬性在區分矩陣M中出現的次數越多，以及所在的項越短，該屬性越重要。相應的屬性重要性計算公式為

(17)

式中，tij為cij中包含的屬性的個數。

綜合權重的計算公式為

wi=aw1i+(1-a)w2i

(18)

式中，w1i為通過粗集理論所計算的指標i的權重；w2i為通過層次分析法[5]所計算的指標i的權重；a為線性組合權重中的權重系數。

4 遞階推理層

通過遞階推理方法將制造任務與制造資源進行逐級模糊匹配，剔除不滿足配置要求的制造資源，保證配置資源的可行性和提高匹配效率。

4.1 任務分解

如何控制子制造任務粒度大小，同時遵循“弱耦合”、“工序集中”等分解原則，是制造任務分解的難點問題。本文采用“分解-聚類”的方法降低任務分解難度的同時，保證任務分解的合理性，分解過程如下：

(1)分解。遵循工序分散原則，按照加工工藝流程，將制造任務分解為以特征為核心的加工單元組成。

(2)聚類。遵循加工方法相似的原則，將加工方法相同但出于不同加工階段的加工單元安排在同一個任務單元內，使得每一種任務資源只需要一種核心資源。

4.2 制造資源匹配

為了提高匹配效率，制造資源預配置過程采用多目標決策的兩級資源匹配。

(1)一級匹配。將任務單元的確定屬性(如主要特征類別、材料類別等)與制造單元的同名屬性進行自動匹配，對制造資源進行初步篩選，縮小搜索空間和提高匹配效率。匹配過程中，遍歷所有制造單元每個圍道，判斷其是否能夠完成任務單元ti：

ηij=F(ti)?∧F(rj)

(19)

式中，F(ti)?為所實現的任務單元ti圍道的集合，即目標圍道集合，這里假設已經獲取；F(rj)為制造單元rj的圍道;ηij為一級匹配系數。

判斷制造單元rj能夠完成任務單元ti的條件為

(20)

(2)二級匹配。由于任務單元與制造單元部分圍道間關系具有不確定性，故在尺寸精度、表面粗糙度等方面需采取同名屬性模糊匹配。當任務單元圍道位于制造單元圍道所達到的上極限值時，需要較好的加工技能才能保證任務單元圍道，因此，定義制造單元選擇的合理性為0.8；當任務單元圍道低于制造單元圍道所達到的下極限值時，任務單元圍道容易滿足，但是經濟性會差一些，制造單元被選擇的合理性小于1；當任務單元圍道位于制造單元的經濟精度范圍內時，制造單元被選擇的合理性在[0.8,1.0]之間。

在一級匹配的基礎上，根據上述原則，采用二級匹配系數μk(ti,rj)描述任務單元ti與制造單元rj圍道間的模糊匹配關系，其表達式為

(21)

式中，fk(ti)為任務單元圍道的第k個值，fk(ti)∈F(ti);Δ+(fk(rj))、Δ-(fk(rj))分別為制造單元圍道的第k個上極限值和下極限值。

定義2匹配度制造單元自身固有能力對于任務單元制造能力要求的適合程度。

本文通過引入函數φ(τ)計算匹配度，其中，τ為任務單元和制造單元的圍道空間點之間的距離。制造單元ti與制造資源rj之間的距離τ通過映射規則F(ti,rj)比較圍道F(ti)、F(rj)的組成來確定，而圍道F(ti)與F(rj)以布爾矩陣形式存儲，主要以二進制編碼的形式表達，因此，把修正過的海明距離作為兩者距離τF(ti),F(rj)，簡寫為τij，τij等于圍道F(ti)與F(rj)二級匹配系數的連乘積，即

(22)

式中，L為匹配圍道數目。

匹配度函數

φ(τij)=ηijτij

(23)

4.3 資源優化配置

通過設定時間、質量以及成本等優化指標和權重，對制造單元進一步優化選擇，設R={r1,r2,…,rn},R為滿足某制造任務需求的由N(N≥1)個制造單元組成的一種組合序列，優化配置目標是找到一個最優的制造單元組合序列R*，在滿足質量要求和匹配要求的前提下，盡量縮短工期和降低成本。因此，給定目標和多目標優化函數：

(24)

式中，w1、w2、w3、w4、w5、w6為各個詳細評價指標的權重；fc為制造單元的加工成本；ci為制造單元內在的加工成本；ci,i+1為相鄰制造單元間的運輸成本；ft為制造單元所需加工時間；ti為制造單元所承諾的加工時間；ti,i+1為相鄰制造單元間的運輸時間；fq為制造單元的平均加工質量；qi為制造單元加工零件的合格率，即為制造單元所承諾的加工質量；fφ為配置制造單元的匹配度。

制造資源多目標優化的數學模型為

(25)

5 應用實例

某企業接到變速箱體的訂單，批量為50件，加工時間經過計算估計為50d，總的加工成本不超過4萬，其工藝流程如圖3所示，需要多臺加工機床(包括傳統的機床和數控機床)完成。考慮企業的制造能力和經濟效益等，訂單需要和其他企業協同完成。

5.1 制造任務分解及其形式化表達

根據變速箱體的工藝流程，由工藝人員分解成31個加工單元，并進行聚類和整合,最終分解為7個任務單元。

任務單元的完成過程如圖4a所示，根據任務分解結果建立圍道矩陣[(T×F(T)]，如圖4b所示，任務單元的自相關圍道矩陣[T×T]如圖4c所示，建立圍道矩陣[(T×T)×F(T)]，進一步確定任務單元之間的連接形式，以順序連接和弱耦合形式為主，如圖4d所示。圖4將任務單元的關鍵指標信息定量化表示，保證了匹配對象數據間的一致性，避免因為數據類型不一致而導致匹配失效。

5.2 匹配度計算

(1)按照任務單元的執行過程，對 “制造特征”、“加工方法”、“負荷狀態”等因素進行資源預配置的一級匹配，篩選掉ηij=0的制造單元。滿足一級匹配的制造單元用r1，r2，…，r10表示，這些制造單元所承諾的加工成本C*、加工時間T*、加工質量Q*如表3所示，制造單元間的運輸時間/運輸成本如表4所示。

5.3 權重計算

(1)基于粗集的權重w1i的計算。選擇匹配度、加工時間、運輸時間、加工成本、運輸成本、合格

圖3 某變速箱體工藝流程Fig.3 Process flow of gearbox

圖4 制造任務的形式化表達Fig 4 The formal expression of manufacturing task

率為權重計算的評價指標。確定基于粗集所定的權重系數在最后線性組合權重中的權系數a=0.6。經過一級匹配后，確定10個匹配方案，并且具有以下特征：

a.所有預配置資源都滿足給定的匹配度要求，即φ≥0.8。定義：φ≥0.9，表示匹配度高；0.8≤φ<0.9，表示匹配度低;如果有預配置資源對應多個匹配度，求均值。

b.定義合格率：Q*≥0.9，表示合格率高；Q*<0.9，表示合格率低，如果有預配置資源對應多個合格率，求均值。

c.決策屬性D的高低受條件屬性的影響，如果超過兩項及以上的條件屬性為低，那么決策屬性為低，否則，決策屬性為高。

表3 匹配制造單元所承諾的加工成本C*、加工時間T*、加工質量Q*

表4 匹配制造單元之間運輸時間/運輸成本

圖5 模糊圍道矩陣Fig.5 Fuzzy contour matrix

d.除上述評價指標外，其他指標值越大，條件屬性越低，指標值越小，條件屬性越高；條件屬性的高或低須由工藝人員一致認可。確定條件屬性的屬性值是： 0表示低，1 表示高。 決策屬性的屬性值0表示低，1表示高。建立決策表(表5),構建區分矩陣M(圖6)。

表5 決策表

圖6 區分矩陣Fig.6 Discernible matrix

按照式(17)，各指標屬性重要性計算如下：f(B1)=5.35；f(B2)=5.15；f(B3)=2.77；f(B4)=3.12；f(B5)=3.52；f(B6)=5.1。

將各個屬性的重要度進行歸一化處理，得到客觀權重如下：w11=0.214；w12=0.206；w13=0.111；w14=0.125；w15=0.141；w16=0.203。

(2)基于層次分析法的權重w2i的計算。根據制造任務要求，建立判斷矩陣：

B1B2B3B4B5B6

最大特征值λmax=6.169 2，一致性指標CI=6.169 2，相容度CR=0.027 3<0.1。計算歸一化權重w21～w26為：w21=0.080 6；w22=0.340 4；w23=0.037 6；w24=0.340 4；w25=0.037 6；w26=0.163 4。

(3)綜合權重的計算。按照式(18)計算得到組合權重值分別為：w1=0.161；w2=0.259；w3=0.082；w4=0.211； w5= 0.10；w6=0.187。

5.4 資源優化配置

依據權重計算和匹配度計算的結果，根據式(24)以及表3和表4，對制造任務執行過程中的配置資源進行多目標的優化選擇，優化配置結果如圖7所示。

圖7 某變速箱箱體資源優化配置結果Fig.7 The result of the gearbox manufacturingresources optimization deployment

整個配置過程中，實現了制造任務的形式化表達，并綜合考慮時間、成本、質量以及制造資源的制造能力(匹配度)等關鍵指標完成資源配置，其中，任務完成總成本是32 650.0元，總時間是45.4天，合格率不低于0.908，最優目標函數值為25 953.2，各項指標都滿足任務要求，尤其是成本遠低于指定指標，獲取最優的制造單元組合序列R*={r2, r4, r5, r6, r7, r9}。

6 結語

基于TPS遞階系統的網絡化制造資源優化配置算法已應用在某煤礦機變速箱箱體的制造資源配置過程中，結果表明該算法實現效率高、結果合理，具有良好的應用價值，同時，此方法為資源優化配置提供了一種新的思路。

本文仍存在不足，如欠缺對制造資源狀態的建模研究。今后研究將多色集合理論形式化推理與軟計算方法相結合，考慮任務執行過程的并行性；完善評價指標，深入研究制造資源的容錯性、可靠性等問題，提高資源配置的成功率，優化配置過程。

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