基于最小二乘支持向量機的壓電作動器遲滯非線性建模及參數辨識

錢 承 胡紅生

嘉興學院機電工程學院，嘉興，314001

0 引言

壓電作動器以壓電智能材料為主要材料，具有結構緊湊、作動力大、剛性高、位移分辨率高、頻率響應快、控制驅動簡單等優點，目前壓電微位移器件已得到廣泛的研究和應用[1-3]。但壓電材料同時也存在著固有缺陷，如壓電陶瓷材料的遲滯特性、輸入輸出的非線性特性、蠕變特性等[4-5]。這些固有特性的存在使得壓電作動器在實際應用中重復性和控制精度降低，實時瞬態響應也相應變慢，這會使得壓電作動器在工業應用中的推廣具有一定難度。特別是壓電材料的遲滯特性，該特性使得控制變得十分困難。

目前國內外學者已對壓電材料的遲滯特性開展了廣泛研究，取得了一定的成果并進行了相關的應用，主要涉及壓電材料遲滯模型的理論研究或采用智能算法來建立壓電非線性仿真模型以指導應用。尤其在遲滯模型方面，截至目前已形成了多種常用模型，分別為Preisach模型[6-7]、Maxwell模型[8]、Dahl模型[9]、Bouc-Wen模型[10-11]等,其中，Preisach模型及其改進形式已被廣泛應用。文獻[12]基于徑向基神經網絡法來構建遲滯非線性模型，并進行了補償控制，得到了很好的跟蹤控制性能。文獻[13]提出了基于模糊控制系統的建模方法，并通過所建立的逆模型進行前饋遲滯補償控制，在頻率50 Hz和100 Hz下明顯減小了遲滯特性，且該建模方法簡單,可應用于實時在線建模。文獻[14]為取得壓電作動器的跟蹤精度，在一階回轉曲線的基礎上采用了雙輸入的Preisach遲滯模型來預測耦合遲滯特性，通過實驗對比單輸入的Preisach遲滯模型的控制情況，結果表明雙輸入的Preisach遲滯模型具有更好的性能。文獻[15]將壓電作動器應用于顯微操縱器，采用Preisach遲滯理論建立壓電作動器的遲滯模型，并提出利用前饋非線性PID控制法結合Preisach遲滯補償法來控制定位精度，最終通過實驗驗證了該機構控制性能滿足設計要求。

對于Preisach遲滯理論的建模，其計算的難點為求取各個遲滯單元的加權系數。通過一系列的一階回轉曲線來求取遲滯單元加權系數的方法被證實為一種求解精度較高的方法，但該方法的缺點是需要通過實驗獲取大量的一階回轉曲線，要使所有的實驗均達到很高的精度，則具有一定的難度。針對上述問題，研究人員采用人工智能技術來計算遲滯單元加權系數[12,16-18]，通過測試一定量的一階回轉曲線，根據一階回轉曲線建立人工智能模型從而建立更詳細的遲滯模型，這將減少大量測試帶來的時間及誤差，但辨識精度、效率仍依賴于實驗樣本，且模型參數隨外部輸入信號變化的自適應性較差，擬合的數學曲線在實際工程應用中無法精確模擬壓電遲滯特性，故誤差難以控制。

最小二乘支持向量機(least squares support vector machines，LS-SVM)將傳統支持向量機(SVM)中的不等式約束改成等式約束，是SVM的一種改進形式。LS-SVM將二次規劃問題轉化為線性方程組求解問題，提高了求解速度及收斂精度[19-20]。考慮到LS-SVM的諸多優點，本文基于Preisach離散遲滯模型，在實驗的基礎上得到壓電作動器的一階回轉曲線，通過一階回轉曲線求取遲滯單元加權值并應用LS-SVM法建立所需的遲滯模型，引入遺傳算法對模型參數進行尋優得到最精確的模型，最后通過仿真對比分析，驗證了本文方法的可行性。

1 遲滯模型建立理論

1.1 Preisach遲滯模型理論

典型的Preisach遲滯模型[21-22]通過對遲滯因子的雙重積分來計算模型的輸出，其計算表達式如下：

f(t)=?α≤βμ(α,β)γα,β(u(t))dαdβ

(1)

式中，α、β分別為遲滯單元的下閾值和上閾值；μ(α,β)為遲滯單元的加權函數；u(t)為遲滯模型的輸入；γα, β(u(t))為遲滯單元的值。

遲滯單元計算原理如圖1所示。對于圖1所示的遲滯單元模型，也可將其表述在Preisach平面內，該平面由α、β為橫縱坐標且β≥α的三角形區域構成，如圖2所示。

圖1 遲滯單元計算原理Fig.1 Calculation principle of hysteresis unit

圖2 遲滯計算模型的α-β平面Fig.2 α-β plane of hysteresis calculated model

由圖2可以看出，在三角形區域內，加權函數μ(α,β)不為零。當輸入u(t)增大或減小時會激活不同區域的遲滯單元或使激活的單元變為非激活狀態，這就需要計算各個激活單元的加權函數μ(α,β)，然后根據這些加權函數求取最終的輸出。常用的方法為基于一階回轉曲線來確定加權函數，且一階回轉曲線越多，模型的準確度就越高。該方法建立的遲滯模型為有限個遲滯單元的并聯形式，因此其離散遲滯模型的表達式如下：

(2)

其中，μn為n×n的矩陣，矩陣元素為分割后的壓電遲滯單元加權量，可通過一階回轉曲線實驗獲取的數據得到；γi,j(t)為判斷矩陣，可判斷分割后的壓電遲滯單元是否激活，矩陣中元素是隨時間變化的。

相應的離散遲滯模型如圖3所示。

圖3 離散遲滯模型并聯圖Fig.3 Parallel figure of discrete hysteresis model

為此，本文的研究內容主要圍繞如何利用有限的一階回轉曲線快速有效地確定離散模型單個遲滯單元的加權量。

1.2 最小二乘支持向量機理論

支持向量機的核心理論是通過核函數定義的非線性變換將n維樣本空間(x1,y1),(x2,y2), …(xl,yl)∈Rn,yi∈{+1,-1}(i=1,2,…,n)映射到一個高維特征空間，在此高維空間中尋找輸入量與輸出量之間的一種非線性關系。假設非線性映射為φ(xi)(i=1,2,…,n)，將n維樣本數據(x1,y1),(x2,y2),…，(xl,yl) ∈Rn映射到高維特征空間，根據結構風險最小化原則，求解如下最優化問題：

(3)

式中，Re為經驗風險值；c為懲罰因子；εi為樣本誤差，也稱松弛變量；b為閾值；w為超平面的權值向量。

將式(3)的標準支持向量機最優化問題轉化成二次規劃問題，利用核函數取代高維空間中的點積運算，則可把式(3)轉化成LS-SVM最優化問題，優化目標損失函數為誤差εi的二次項,其關系表達式如下：

(4)

為了求解該優化問題，將約束條件改為等式約束，引入拉格朗日算子ai(i=1，2,…,n)，構造拉格朗日方程以求解此優化問題，即

(5)

要使目標函數取得最小值，則要使拉格朗日方程中的變量w、εi、b、ai的偏導數均為0，即

(6)

通過求解該二次規劃問題，可構造函數如下：

(7)

(8)

式中，K(x,xi)為核函數;σ為核參數。

基于該理論可以發現，LS-SVM法是處理非線性、小樣本的回歸預測計算方法。針對壓電遲滯模型建立的難點正好符合非線性、小樣本的特性，即可通過較少的一階回轉曲線來求解本文所需的遲滯單元加權系數。

2 壓電遲滯模型參數辨識

2.1 FORC曲線的獲取及初始加權函數的計算

為了將上述理論應用于壓電遲滯模型的參數辨識，必須通過實驗的方式獲取壓電作動器一定量的一階回轉曲線。壓電作動器選用的型號為P-843.20(PI公司)，其主要參數如下：開環輸出位移30 μm；閉環輸出位移30 μm；集成反饋傳感器為電阻應變片式傳感器(strain gauge sensor，SGS)；開環/閉環精度0.6/0.3 μm；靜態剛度27 N/μm；推力/抗拉能力800/300 N；電容3.0 μF。本文將壓電驅動電壓范圍平均分成五等分，以20 V為間隔作為一階回轉曲線的各回轉電壓值(即對20 V、40 V、60 V、80 V、100 V這5個電壓值進行回轉)，如此便將離散遲滯模型式(2)中的n設為5，則相應的遲滯單元有n(n+1)/2個，通過這些回轉曲線便能求出各個遲滯單元的加權量。

為使得到的一階回轉曲線數據準確可靠，實驗進行了10個循環測量，電壓加載步長為1 V，為使得到的數據是壓電作動器運行在穩定狀態下摒棄了前3次循環的數據，將后7個循環的數據進行平均計算，得到一階回轉曲線如圖4所示。

圖4 一階回轉曲線Fig.4 First order reversed curves

根據該一階回轉曲線計算本文所需的初始加權值μ6：

(9)

該初始加權值是將遲滯模型在α-β平面內劃分為15個遲滯單元計算所得，為了消除Preisach遲滯模型固有的遲滯特性，將該初始加權值分別除以相應遲滯單元的面積，作為該遲滯單元的平均加權值：

(10)

將式(1)轉換為平均加權值和遲滯單元面積的乘積形式，即

(11)

2.2 基于LS-SVM遲滯模型建立

將LS-SVM理論應用于遲滯模型，將上述劃分后相應遲滯區域的形心在α-β平面內的坐標作為模型的輸入，計算所得的平均加權系數則為模型的輸出進行訓練。對于訓練模型，選擇核函數為高斯徑向基核函數，而懲罰因子c和核參數σ的選取對訓練模型準確率具有較大的影響，因此必須在模型訓練的過程中進行尋優。本文采用遺傳算法對參數進行優化，其步驟如下：①選定訓練樣本和校驗樣本，設定懲罰因子c和核參數σ的區間(0,100)和(0,10)，從而產生LS-SVM參數初始群體；②設定交叉概率為0.6，變異概率為0.2，群體規模為30，進化代數為300；③進行訓練得出優化后的懲罰因子c和核參數σ。

選定遺傳算法的適應度函數：

(12)

式中，yi為期望輸出;f(xi)為實際輸出;k為一很小的正數，其作用是防止分母為零的情況出現，此處取值為10-3。

為了最優化模型，選定評價指標，定義誤差函數為

(13)

初始交叉概率和初始變異概率分別由下式確定：

(14)

(15)

式中，f′為交叉兩個體較大的適應度函數值;f為個體對應的適應度函數大小;favg為樣本的平均適應度;fmax為樣本個體的最大適應度。

仿真建模和計算均采用MATLAB軟件。圖5所示為初始參數下模型輸出與實驗數據的誤差，可以看出，評價指標函數的值較大，不能滿足模型計算要求。圖6所示為引入遺傳算法后經過200步迭代后的誤差，可以看出，評價指標函數值大幅度減小。圖7為在模型迭代穩定后評價指標函數圖，可以看出，優化前后評價指標函數的值大幅度減小。

圖5 初始參數樣本誤差Fig.5 Error under initial parameters

圖6 迭代200步后樣本誤差Fig.6 Error after 200 iterations

圖7 迭代穩定后樣本誤差Fig.7 Error after stable iterations

經過計算，最終確定了懲罰因子c=13.6和核參數σ=1.4。確定了遲滯訓練模型的參數，并建立了最終的計算預測模型。

將α-β平面劃分為更多遲滯單元的組成形式，并將式(2)中的n設為20，即根據第一步建立的模型求取210個平均加權系數，即可通過較少的一階回轉曲線求取α-β平面內較多的平均加權系數，并根據這些平均加權系數求取更精確的壓電作動器的輸出。

通過上述兩個步驟的計算，可得到平均加權系數的三維系數圖，見圖8。

圖8 平均加權系數計算值Fig.8 Calculated value of average weighted coefficients

通過平均加權系數矩陣和被激活的遲滯單元的激活面積，并利用式(11)即可求得當前壓電作動器的輸出值。

3 遲滯模型的驗證

為驗證遲滯模型的準確性，本文搭建了壓電作動器遲滯實驗平臺，其主要組成部分包括壓電作動器、壓電驅動模塊、傳感檢測模塊及計算機監測軟件，如圖9所示。其工作原理為：控制器通過驅動模塊輸出電壓驅動壓電作動器，再由傳感模塊對傳感器采集信號并進行檢測處理，處理結果通過控制總線提供給主控模塊進行計算、分析并將結果顯示于電腦顯示屏上，如圖10所示。

1.壓電驅動模塊 2.微動測量臺架 3.離線傳感模塊4.參數調整及顯示模塊 5.計算機 6.光學隔振平臺 7.壓電作動器圖9 壓電遲滯實驗平臺Fig.9 Experimental platform of piezoelectric hysteresis

圖10 實驗平臺工作原理Fig.10 Principle of the experimental platform

為了獲得壓電作動器的遲滯特性，控制器的控制模式采用開環控制。根據圖10的實驗平臺測試原理，系統利用采集的位移信號作為輸入，利用建立的遲滯模型進行計算以獲取輸出電壓，從而完成自動加載實驗。

仿真和實驗驗證分別以40 V、60 V、80 V、100 V為回轉電壓點獲取一階回轉曲線，測試電壓加載步長1 V，一階回轉曲線對比結果如圖11所示。并以每個回轉曲線的仿真結果輸出值與實驗結果輸出值的平均相對誤差作為評判的參考，結果見表1。

由圖11和表1可以看出，由本文建立的遲滯模型的仿真結果和實驗所得的一階回轉曲線吻合度較高、誤差較小，因此可得出本文所用的遲滯模型的建立方法為一種切實可行的方法。

4 結論

(1)詳細闡述了壓電作動器遲滯模型的建立理論，以實驗的方式獲得最小二乘支持向量機模型所需的一階回轉曲線。

(2)根據一階回轉曲線計算遲滯模型初始平均加權系數，并確定訓練模型的輸入輸出，導入最小二乘支持向量機模型進行訓練。將α-β平面劃分為更多遲滯單元的組成形式，確定預測計算的輸入值并將其導入訓練后的模型得到最終的遲滯單元的平均加權系數，從而得到壓電作動器的遲滯模型。

(3)通過仿真結果和實驗結果的對比，得出本文基于最小二乘支持向量機所建立的模型能精確描述壓電作動器的遲滯非線性特性，為一種有效的方法。本文方法加快了建模的速度，免去了需大量實驗來獲得一階回轉曲線從而計算加權系數的麻煩。

(a)電壓U=100 V

(b)電壓U=80 V

(c)電壓U=60 V

(d)電壓U=40 V圖11 仿真和實驗結果對比圖Fig.11 Contrast figure of simulation and experiment results

回轉電壓(V)最小相對誤差(%)最大相對誤差(%)1000.191.83800.231.52600.121.93401.562.01

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