多級載荷累積損傷下結構的動態可靠性分析

孫劍萍 湯兆平 羅意平

1.華東交通大學交通運輸與物流學院，南昌，3300132.中南大學交通運輸工程學院，長沙,410075

0 引言

結構的可靠性往往與時間密切相關，主要涉及強度退化、累積損傷等因素，近年來國內外學者紛紛從概率、模糊及非概率的角度揭示其演變過程。王新剛等[1]研究了變幅隨機載荷和強度退化下結構的動態可靠性問題。秦大同等[2]建立隨機風引起的系統外部載荷激勵作用下的風力發電機傳動系的動態可靠性模型。方永鋒等[3]運用Turkstra方法分析了4種隨機應力組合作用，以及結構強度不退化和退化下的動態可靠性。徐芳等[4]對外部隨機風載、內部齒輪時變嚙合剛度、軸承時變剛度及綜合傳遞誤差等耦合進行研究，并得出失效相關性和強度退化對可靠度的影響規律。HAJIALIZADEH等[5]研究了載荷的空間以及剩余強度變化下橋梁的動態可靠性評估。王磊等[6]將模糊變量進行等概率當量轉換，建立了模糊動態可靠性分析模型。高明君等[7]提出了一種模糊動態可靠性的建模方法。概率或模糊動態可靠性模型的求解主要基于Monte Carlo方法、靜態轉換和跨越率方法。張宇貽等[8]運用Monte Carlo方法計算了平穩二項動載和隨機恒載聯合作用下的時變可靠度。HU等[9]對時變可靠度問題進行時不變轉換和求解，提高了計算效率。MOURELATOS等[10]結合隨機振動理論、總概率定理及使用向上跨越和接合點向上跨越率積分方程進行振動梁的動態可靠性研究。

概率或模糊方法均需依賴大量的原始數據。工程實際中往往難以獲得參數的精確值，但其界限較易確定。近年來，區間方法成為處理有界不確定問題的有效途徑。姜潮等[11]針對概率與區間混合不確定問題，構造一種含區間變量的動態可靠性分析方法。魏宗平等[12]提出了隨載荷作用次數而變化的區間動態可靠性指標計算方法。方永鋒等[13]研究了階梯型、等幅交變型和任意時變型三種載荷作用下結構的區間動態可靠性。張德權等[14]基于PHI2提出了一種求解算法，可獲得設計周期內的可靠性區間。

考慮到可靠性隨載荷作用次數的影響，人們進行了進一步研究。方永鋒等[15]對多次區間載荷進行當量標準正態化處理，將區間隨機可靠性問題轉化為隨機可靠性問題求解。王正等[16]運用概率微分方程和全概率公式建立了隨機載荷反復作用下的動態可靠性模型，為準確評估可靠性提供了方法，但計算的是最大載荷下的可靠度。以上研究均未考慮不同級別的載荷作用次序而導致的非線性疲勞損傷對可靠性影響的差異，因此預測結果存在較大誤差[17]。

本文在現有動態可靠性理論的基礎上，研究不同級別載荷的不同作用次序而導致不同疲勞累積損傷的等效轉化問題，為多級載荷累積損傷下結構的動態可靠性分析提供模型和方法。

1 剩余強度的描述及其退化模型

當強度指標(如疲勞強度)在載荷作用的整個過程中不斷變化時，系統的可靠性建模應當考慮強度退化的影響。以疲勞失效問題為例，強度指標隨著載荷作用次數的增加而逐漸減小，即剩余強度不斷減小。通常，強度退化與載荷幅值、作用次數以及加載順序等因素有關。

材料的強度在實際工作中有一個隨時間或載荷作用次數的增加而下降的非線性過程，即強度退化過程。剩余強度不僅與結構服役的時刻t有關，還與加載的應力水平有關，即

r(t)=f(t,sp,R) 0≤t≤T

(1)

式中,T為服役周期(周期壽命)；r(t)為結構在t時刻的剩余強度，r(0)表示t=0時刻結構的強度即初始強度，r(T)表示結構服役周期T時刻的強度；sp為疲勞應力峰值；R為載荷的應力比。

載荷應力比R即為工作應力的最小值smin與最大值smax之比，其表達式如下：

(2)

載荷應力比R與服役周期T直接相關。當實際載荷的應力比變化時，根據Goodman疲勞極限圖將實際載荷轉化為實驗載荷，再用實驗s-N曲線進行疲勞壽命評估。載荷應力比R對材料的強度退化系數γ(γ>0)也產生直接影響，姚衛星[18]對相同材料在不同載荷應力比R下強度退化系數γ的變化情況進行了研究。顯然，載荷應力比R對剩余強度的影響可納入服役周期T及材料強度退化系數γ兩個參數中。

根據熱力學的觀點，損傷是不可逆的，對疲勞過程中強度的退化模型來說，剩余強度是單調遞減的函數。SCHAFF等[19]提出在常幅載荷作用下，剩余強度按冪指數規律變化，其關系表達式如下：

(3)

對于不同材料，其剩余強度退化規律不同，強度退化系數γ的取值就存在差異。當γ取不同值時，剩余強度曲線也不同，如圖1所示。由圖1可以看出，當γ=1時，式(3)退化成線性規律形式；當γ>1時，r(t)呈現開始階段退化較慢，后期迅速下降的特點；當γ→∞時，r(t)退化成折線式規律形式。對于金屬材料，從疲勞機理上看，在疲勞加載初期，元件在疲勞載荷作用下產生的缺陷如位錯、滑移、空洞等對元件強度的影響較小，剩余強度衰減得較慢，但在后期其缺陷如裂紋將使元件強度迅速減小，從而產生破壞現象,故金屬材料的強度退化系數γ>1。

圖1 剩余強度退化規律Fig.1 The law of residual strength degradation

2 多級載荷下疲勞損傷累積規律與剩余強度

累積損傷規律是疲勞研究中的關鍵問題之一。線性疲勞累積損傷理論認為，對于任一應力水平，不論在壽命的前期或后期，每次循環的疲勞損傷量應是相等的。但事實上，疲勞損傷不是線性的，要想較好地反映結構件的真實可靠性，需合理考慮非線性疲勞損傷累積規律。

有限壽命設計法主要基于疲勞累積損傷理論?？梢宰C明，式(3)必定滿足下列兩個邊界條件：

r(0)=σb

(4)

r(T)=sp

(5)

式中，σb為材料的靜拉伸強度。

(6)

可以驗證：

D(0)=0

(7)

(8)

可見上述定義符合損傷的一般意義,能夠反映損傷演化的非線性特性。

圖2中，OA和OBC分別為在應力峰值sp1和sp2作用下，材料發生的損傷量隨作用時間的變化曲線，其對應的服役周期分別為T1和T2。對于金屬材料，當sp1>sp2時，T1

(a)高-低載荷順序 (b)低-高載荷順序圖2 兩級載荷順序的疲勞損傷演化規律Fig.2 Fatigue damage evolution law of two levelloading sequence

由圖2可以看出，材料在sp1下作用時間t1和在sp2下作用時間T2-t2的疲勞損傷量相等。根據式(8)可得

(9)

可簡化為

(10)

(1)高-低順序加載時，有sp1>sp2，γ1<γ2,故

(11)

結合式(10)，則

(12)

故

(13)

(14)

假設結構承受兩級載荷，在一級應力sp1作用時間t1后，根據疲勞損傷量等效等值壽命原則，可換算成二級應力sp2的等效作用時間t21，推導如下：

因為

所以

(15)

顯然，結構受一級應力和二級應力作用之后，產生的損傷量等效于原結構在二級應力下連續作用時間t21+t2產生的總損傷量，即

(16)

則結構受一級應力和二級應力作用之后，轉化為二級應力下的剩余壽命為

(17)

在二級應力下作用時間t2后，根據疲勞損傷量等效等值壽命原則，可換算成三級應力的等效作用時間t32，推導如下：

因為

所以

(18)

同理，可推算出第i級應力spi的等效作用時間ti(i-1)為

(19)

i=1,2,…，n

式中，ti-1為第i-1級應力sp(i-1)的等效作用時間;t(i-1)(i-2)為第i-1級應力的等效作用時間;Ti-1為結構在應力sp(i-1)作用下的生命周期。

根據式(3)，可計算出第i級應力的等效作用時間下的剩余強度為

(20)

(21)

(22)

3 基于區間分析的動態非概率可靠性指標

在實際服役過程中，受結構自身的材料性能、使用時間、荷載效應以及所處環境等因素影響，強度r和應力s都是一個動態的過程，隨時間與結構參數變化，且強度和應力為區間變量，同時因強度和應力還隨著疲勞載荷作用的次數或時間而變化，故強度和應力的區間范圍也在不斷變化。強度r和應力s可表示為t與x的函數：

r=r(x,t)∈rI(x,t)=[rl(x,t),ru(x,t)]

(23)

s=s(x,t)∈sI(x,t)=[sl(x,t),su(x,t)]

(24)

式中,ru(x,t)、rl(x,t)、su(x,t)、sl(x,t)分別表示結構時變強度r(x,t)和時變應力s(x,t)的上下界。

圖3所示為考慮結構抗力與荷載效應的時變性，用區間模型來描述不確定性變量的結構時變非概率可靠性分析的輸入和輸出過程。

圖3 時變可靠性分析的輸入和輸出Fig.3 Input and output of time-dependent reliability analysis

當考慮結構荷載效應與抗力的時變性時，基于應力-強度干涉理論，以應力極限狀態表示的結構動態功能函數為

M=f(x,t)=g(r(x,t),s(x,t))=r(x,t)-s(x,t)

(25)

由區間非概率可靠性定義式，可推導得出在t時刻結構處于安全狀態即M>0的非概率可靠性指標為

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

式中，rc(x,t)、rr(x,t)分別為時變強度區間變量的中心和半徑；sc(x,t)、sr(x,t)分別為時變應力區間變量的中心和半徑。

當僅考慮強度隨作用時間衰減時，時變強度r(x,t)可以用r(t)代替,式(26)可簡化為

(31)

(32)

結構剩余強度的中心和半徑分別為

(33)

則非概率可靠性指標η為

(34)

M=sp-s(x,t)

(35)

在t時刻結構處于安全狀態即M>0的非概率可靠性指標η為可表示為

(36)

根據非概率可靠性指標的概念[21]，η的值越大，結構安全程度越高。當η>1時，結構安全可靠；當η<-1時，結構必然失效；當-1<η<1時，結構可能安全，也可能失效；當η為1和-1時，結構分別處于必定安全可靠和必定失效的臨界狀態。

4 多級載荷作用下結構動態非概率可靠性

預測模型

基于應力-強度干涉理論，以應力極限狀態表示的結構在ti時刻的動態功能函數為

M=g(r(x,t),s(x,t))=r(x,t)-s(t)=
r(ti(i-1)+ti)-spi

(37)

(38)

(39)

則非概率可靠性為

(40)

5 算例

算例研究材料為45鋼拉伸樣件在三級載荷作用下的疲勞拉伸動態可靠性。為便于對本文提出的多級載荷作用下結構動態非概率可靠性預測模型與方法進行對比分析與評估，選用文獻[18,22]中部分數據，對結構在一、二、三級載荷下的服役周期T1、T2、T3的區間寬度進行設置，根據“常見通用設備經濟壽命參考年限表”中經濟壽命上下界關系[23]，區間上界值約為下界值的125%。具體如下：r(0)=[791.92,875.28]MPa，先在第一級載荷應力區間[301.15,332.85]MPa下作用t1=640次循環，T1=[29 025,35 722]，γ1=4.092。再在第二級載荷應力區間[285,315]MPa下作用t2=1 000次循環，T2=[64 116,80 812]，γ2=4.121。最后在第三級載荷應力區間[264.1,291.9]MPa下作用t3=6 000,18 000,30 000,42 000,54 000,66 000次循環，直至達到安全臨界狀態，T3=[145 971,185 607]，γ3=4.186。

5.1 第一級載荷作用

根據式(6)，在第一級載荷應力區間[301.15,332.85]MPa下作用t1=640次循環，產生損傷量：

(41)

則在第一級載荷作用時間t1=640次循環后，剩余強度為

(42)

由式(27)～式(30)，計算可得rc(t1)=833.599 9、sc(x,t)=317，rr(t1)=41.680 0、sr(x,t)=15.85，根據式(26)，非概率可靠性指標為

η=8.979 7

(43)

5.2 第二級載荷作用

根據式(15)，將一級應力sp1作用時間t1等效換算成二級應力sp2的等效作用時間t21：

t21=[1 111.8,1 899.7]

(44)

本文計算的區間結果t21=[1 111.8,1 899.7]，該區間上下界的幾何平均數為1 453.3。而文獻[22]模型計算的t21=1 454次。顯然1 454∈[1 111.8,1 899.7]，且1 454與1 453.3非常接近，證明了本文區間模型的正確性。從區間寬度來看，參考統計學區間估計的計算，若對于樣本均值為1 454、標準差為100的樣本，要求置信度達到99.87%，則對應的區間估計值為[1 154,1 754]，與本文運算的區間[1 111.8,1 899.7]接近程度在可接受的范圍之內，表明本文運算的區間精確度可接受，在工程應用中有切實的指導價值。

顯然，結構受一級應力和二級應力作用之后，產生的損傷量等效于原結構在二級應力sp2下連續作用時間t21+t2產生的損傷量，即總時間為

(45)

(46)

即

(47)

結構受一級應力和二級應力作用之后，產生的總損傷量為

(48)

剩余強度為

(49)

(50)

5.3 第三級載荷作用

第三級載荷[264.1,291.9]MPa，T3=[145 971,185 607]，γ3=4.186。根據式(18)，可得三級應力等效作用時間t32：

(51)

本文計算的區間結果t32=[3 833.8,916 3.8]，該區間上下界的幾何平均數為5 927.24。而文獻[22]模型計算的t21=5 878次。顯然5 878∈[3 833.8,9 163.8]，且5 878與5 927.24非常接近，證明了本文區間模型的正確性。從區間寬度來看，參考統計學區間估計的計算，若對于樣本均值為5 878、標準差為570的樣本，要求置信度達到99.98%，則對應的區間估計值為[3 826,7 930]，與本文運算的區間[3 833.8,9 163.8]接近程度在可接受的范圍之內，表明本文運算的區間精確度可以接受，在工程應用中有切實的指導價值。

當t3=6 000時

(52)

(53)

(54)

結構受一、二級應力和三級應力作用之后，產生的總損傷量為

(55)

剩余強度為

(56)

(57)

同理，計算出t3=18 000，30 000，42 000，54 000，66 000次循環直至達到安全臨界狀態時，結構受一、二、三級應力作用之后的非概率可靠性指標。結構受多級載荷應力作用下指標的變化情況見表1。圖4所示為本文算法與文獻[22]算法的剩余強度值對比。

表1 結構受多級載荷作用下的非概率可靠性指標Tab.1 Non-probability reliability index of structure under multi-level loads

圖4 本文算法與文獻[22]算法計算的剩余強度對比Fig.4 Compare residual strength of algorithm in this paper with the literature [22]

由表1和圖4可以看出，本文算法與文獻[22]算法的結果接近，文獻[22]算法的結果均處于本文運算的區間內，證明了在進行多級載荷累積損傷下結構的剩余強度計算中，用區間數表達變量，經區間運算以獲得區間范圍，包含了計算結果所有可能的取值，這正是區間數學的特點之一。同時還可發現本文算法所得剩余強度均值略大于文獻[22]算法的結果，表明文獻[22]算法相對本文區間算法更偏于保守。

圖5 直接運算與等效轉化計算壽命比累積和對比Fig.5 Compare accumulation of the life proportion of direct operation with equivalent transformation

圖6 本文計算的非概率動態可靠性指標與文獻[22]計算的可靠度Fig.6 Compare non-probability dynamic reliability index in this paper with degree of reliability in the literature [22]

圖6所示為本文計算的非概率動態可靠性指標與文獻[22]計算的可靠度對比。由表1和圖6可知，本文計算的非概率動態可靠性指標與文獻[22]計算的可靠度，在第三級載荷作用下，均隨著作用時間的推移呈減小趨勢。由于兩者的度量尺度不同(文獻[22]是基于剩余強度滿足正態分布的假設，根據一次二階矩法計算出結構元件的疲勞可靠度)，無法直接比較,但仍然可以對兩個結果進行對比分析，了解不同度量尺度下對結構可靠度的判斷以及疲勞可靠度隨時間推移變化趨勢上的差異。本文計算的非概率動態可靠性指標反映出，在第三級載荷作用時間達到129 972次循環時，非概率可靠性指標η=1，疲勞試樣件處于安全臨界狀態；當載荷作用時間小于129 972次循環時，結構處于絕對安全狀態。由文獻[22]計算的可靠度結果可知，當第三級載荷作用時間小于90 000次循環時，結構的可靠度達到1.00，結構處于絕對安全狀態；而當載荷作用時間大于90 000次循環時，結構的可靠度持續減小，在載荷作用時間達到129 972次循環時，可靠度僅為0.85，這也印證了文獻[22]的算法對結構的可靠度判斷偏于保守。此外，本文及文獻[22]的結果均認為，當第三級載荷作用時間小于90 000次循環時，結構處于絕對安全狀態，而當載荷作用時間大于90 000次循環時，疲勞可靠度快速減小。兩者在對結構可靠度的判斷以及疲勞可靠度隨時間推移變化趨勢上具有一致性，說明用本文建立的多級載荷累積損傷下結構的動態可靠性模型與方法是行之有效的。

6 結論

(1)不同級別的載荷不同加載順序下對結構的剩余疲勞強度將產生影響。金屬材料在高-低加載時存在“過載效應”，最初施加的高載荷導致了材料的疲勞強度減小，加劇了后續施加低載荷造成的損傷，壽命比累積和將小于1；在低-高順序加載下，由于低應力的鍛煉作用，產生低載強化效果，壽命比累積和將大于1。可根據損傷等效等值壽命原則，在不同次序施加于結構的不同級別應力之間，對作用時間進行等效轉化，采用高-低加載順序時，等效轉化運算對剩余壽命的預測將更偏于保守，低-高順序加載則相反。

(2)利用區間理論，建立了動態非概率可靠性預測模型，解決了工程實際中樣本數據不足條件下多級載荷累積損傷作用的結構動態可靠性預測問題，對概率與模糊的動態可靠性模型與方法進行了有益的補充。

(3)在結構的剩余強度的預測中，本文采用區間數表達變量，經區間運算以獲得的剩余強度區間范圍，包含了文獻[22]的計算結果；同時本文運算得到的剩余強度均值略高于文獻[22]的計算結果。相比文獻[22]，本文的結果更偏于樂觀。

(4)由于度量尺度不同，無法直接比較本文計算的非概率動態可靠性指標與文獻[22]計算的可靠度，但本文算法認為，算例中，當載荷作用時間小于129 972次循環時，結構處于絕對安全狀態；而文獻[22]算法認為在載荷作用時間達到129 972次循環時，可靠度僅為0.85。本文算法對結構的可靠性判斷偏于樂觀。

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