以阿波羅尼斯圓為背景的立體幾何試題命制

張劍洪 楊蒼洲

(1.福建省泉州第六中學 362000;2.福建省泉州第五中學 362000)

楊蒼洲(1979.12- )，男，福建省泉州人，本科，理學學士，中學高級教師，從事中學數學教學、高考命題研究.

一、試題內容

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，E、F分別是BB1、DD1的中點，G為AE的中點且FG=3，則△EFG的面積的最大值為________.

二、考查目標

本題考查了立體幾何的相關概念，空間向量的計算，三角形面積的計算，考查學生的空間想象能力和運算求解能力，讓學生通過理解題意，準確地作出圖形，進行計算，實現考查學生的空間想象能力、應用意識，讓學生通過對三角形面積的計算，實現考查學生的運算求解能力和邏輯推理能力，同時考查學生將立體問題平面化處理的能力，體現了化歸與轉化思想的考查.

三、命制過程

本試題以“阿波羅尼斯圓”為背景進行設計，同時設計了線段長度與三角形面積之間的換算問題.“阿波羅尼斯圓”是滿足到兩定點的距離的比值是一個常數的點的軌跡問題，本題將這一關系隱藏在立體圖形中顯得不明顯，學生很可能會直接采用向量法進行求解，學生如果能將該問題從復雜的立體圖形抽取出來，就能有廣闊的思維空間，大大降低題目的難度和計算量.

四、解題思路

思路1 直接建立空間直角坐標系，通過坐標來計算FG，得到一個方程，再將三角形的面積用未知數來表示，最后利用基本不等式求出它的最大值.

思路2 將圖形從立體中抽取出來，轉化為在等腰△AEF中，△EFG的面積的最大值問題.接下來可以采用三角法，解幾法和平幾法等多種方法進行求解.

五、試題詳解

解法1 連結AC，BD，A1C1，B1D1，設AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1.

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，顯然OA，OB，OO1兩兩垂直.

所以a2+9b2+c2=36.

圖1

由已知條件可知：△AEF是等腰三角形，G為AE的中點，

解法2 (利用阿波羅尼斯圓)

圖2

以FG的中點O為原點，FG所在的直線為x軸建立平面直角坐標系(如圖2).

又AF=AE=2AG，設A(x,y),

又S△EFG=S△AFG，所以S△EFG的最大值也為3，

所以△EFG的面積的最大值為3.

圖3

解法3 如圖3,由已知條件可知：△AEF是等腰三角形，AE=AF,FG=3.

設AG=EG=x.

在△AFG中，由余弦定理得

所以△EFG的面積的最大值為 .

解法4 在等腰△AEF中，過A作AP⊥EF于點P，過G作GQ⊥EP于點Q.

設AP=2a(a>0),EF=4b(b>0),

又因為FG=3，

所以△EFG的面積的最大值為3.

圖4 圖5

解法5 在等腰AEF中，取AF的中點H，連結EH交FG于點O.

所以當sin∠EOF=1時，即∠EOF=90°時，S△EFO取到最大值2.

所以△EFG的面積的最大值為3.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準[M].北京:人民教育出版社, 2003(2-3)．

[2]楊蒼洲,崔紅光.探究2016年高考四川卷函數導數試題的命題方法[J].中學數學雜志,2016(11)．

[3]楊蒼洲,李仲青．2014年高考大綱卷壓軸試題命題手法探究[J].數學通訊(下半月),2016(1)．