含積分變限函數的求導方法

文傳軍,陳榮軍

(常州工學院數理與化工學院，江蘇 常州 213032)

0 引言

含積分變限的函數求導是“高等數學”教學中的一個重要知識點，是考研高數和高數競賽中的?？純热荨Ｔ诟鞣N《高等數學》或《微積分》教材中，主要針對簡單的公式型含積分變限函數求導問題進行討論，而對于被積函數中也存在求導變量的求導問題，卻少有涉及和討論，常規的處理該類問題的方法較為繁雜，學生學習時掌握起來較為困難，因此值得從事數學基礎課教師的關注和研究。

對于含積分變限的函數求導問題的研究文獻較少，主要集中在根據具體問題進行分類討論方面。王鳳媛[1]通過研究變限積分的構造，給出解決一類含有變限積分問題的方法。盧亞麗等[2]給出了5個變限積分函數導數定理,并結合實例詳細深入地研究了變限積分函數的求導方法。文獻[3]針對“高等數學”中變上限積分的求導,從教與學角度給出了該知識點的新的教學和學習的方法,使學生更好地掌握這部分知識,從而增強學生對導數概念的深刻認識。鈕宏霞[4]將變限積分求導公式推廣到高維空間中變邊界的超長方體和超球體上,得到簡潔優美的結果,并給出其應用。周少波等[5]針對學生難以掌握的變限定積分的最為一般的求導公式,給出了學生易于理解和接受的一元函數的證明,并用實例展現了這一公式在微積分及其后繼課程中的重要應用。姜翠美等[6]結合實例歸納總結不同類型變限積分的求導方法。文獻[7]針對變限積分函數求導教學的現狀,給出了5個變限積分函數導數定理,并依次對其求導方法進行了深入探究。文獻[8]給出了變限積分求導公式的另一種新的證明。呂紀榮等[9]闡述了變限積分函數的定義及其可導性和導數公式，根據導數的定義和定積分的性質,研究了被積函數中含有參變量的變限積分函數的相關性質。

本文對含積分變限的函數求導問題進行了研究，利用復合函數求導法則處理該類問題，分別對積分變限和被積函數中的變量求導，方法簡潔有效且形式統一，學生能夠快速地掌握并用于處理相關問題。

1 含積分變限函數的求導問題及傳統求導方法

1.1 含積分變限函數的求導問題

含積分變限的函數求導問題可歸納為如下三種基本形式：

1)公式型

2)乘積型

3)換元型

1.2 傳統的含積分變限函數的求導方法

1)公式型

對于公式型的變限函數求導，可直接利用公式(1)或者結合定積分相關性質進行計算求解。此類問題已在“高等數學”課程中重點講解，這里不再詳細展開。

(1)

2)乘積型

為了處理乘積型變限函數求導，需要通過拆項分解的方式進行展開化簡，即將求導變量x從被積函數中分解出來，使得被積函數中不存在變量x。

從例1的求解過程來看，傳統的求解方法還是比較麻煩的，因為如果將被積函數中的(x2-t2)替換為(x-t)n，則需要一項項展開，而且在(x-t)n的n次方抽象未定的情況下，其實是無法求解的。

3)換元型

為了處理換元型變限函數求導，需要通過換元的方式將變量x從被積函數中分解出來，并且使得被積函數不存在求導變量x。

解：設u=x2-t2，當t=0時，u=x2，當t=x時，u=0。且有

所以有

則

從例2的求解可知，處理換元型含積分限的函數求導，需要根據題目的具體情況進行特定的變量代換，沒有一種通用的求導方法，這給問題的求解帶來麻煩。

另外，對比三種類型的含積分限的函數求導過程，發現這三種類型的問題雖然在本質上是一種問題，但卻要分類型單獨處理，求導方法不具有通用性，這給學生的學習帶來麻煩，如果有一種方法可以通用，就可以減少學習的障礙和提升處理問題的效率。

2 通用的基于復合函數形式的含積分變限函數求導方法

為了能夠得到一種通用的含積分限的函數求導方法，將此類問題進行通項分析，并考慮以復合函數的形式進行計算。

2.1 基于復合函數形式的含積分變限函數求導方法

(2)

證明：利用導數定義進行證明

由定積分性質有

由積分中值定理有

其中ξ介于x,x+h之間

當利用定理1進行計算時，積分上限變量x和被積函數中的x被視作復合函數中的兩個變量，對x求導意味著分別對這兩處的x獨立分別求導。當對積分上限x求導時，即可應用積分變限求導法則，直接將積分上限x代入被積函數取代積分變量t，而對被積函數中的x求導時，則相當于被積函數F(x,t)求x的偏導運算。

2.2 對三種類型的含積分變限函數求導運算的形式統一

基于定理1，可以將三種類型的變限積分函數求導運算統一起來。

對于第一種類型公式型，應用定理1可得

對于第三種類型換元型，以例2為例，即有F(x,t)=t·f(x2-t2)，應用定理1

x·f(0)-x·f(x2-t2)︳x0=x·f(0)-x·f(0)+xf(x2)=xf(x2)

對比1.2和2.2可以發現，使用定理1可以簡潔高效地將三種含積分限的函數求導統一起來，該方法簡單明了且易于計算。

2.3 定理1在常見含積分變限函數求導問題中的應用

基于定理1處理一些常見的含積分變限的函數求導問題。

解：根據定理1及復合函數求導法則可得

f(x)定義域為，結合從而有解，如表1所示。

總之，無論c是Γ上的哪一種端點，Φ0(z)總以它為常點，因而Φ0(z)在D內全純.又因Φ1(z)，Χ(z)都連續到L上，且Χ(z)≠0，故Φ0(z)也必連續到L上.

表1 例3的單調區間

解：

方法1：傳統換元法求解

則當x≠0時，

而當x=0時，

u=ht，h[0,1]=[0,h]

方法2：利用定理1求解

相當于上限x取為常數，則在定理1中對上限的求導為0。

當x≠0時，由定理1可知，

當x=0時類似可得。

3 結論

本文對含積分變限的函數求導進行了研究，利用復合函數求導的方法，將積分變限和被積函數中的求導變量視作復合函數中的兩個變量分別求導，實現了多種類型含變限函數的求導方法的統一，便于學生有效學習和掌握，并達到靈活應用的目的。

[參考文獻]

[1]王鳳媛.導數在解決含有變限積分問題中的應用[J].山西財經大學學報, 2000，22(s1):178-191.

[2]盧亞麗, 李艷華, 李戰國,等.變限積分函數求導方法研究[J].河南教育學院學報(自然科學版), 2004,13(1):4-6.

[3]魯琦.高等數學中變上限積分求導淺析[J].考試周刊, 2008(21):38.

[4]鈕宏霞.變限積分求導公式在高維典型立體上的推廣[J].數學的實踐與認識, 2008, 38(20):234-238.

[5]周少波, 雷冬霞, 程生敏.變限積分的求導公式及其應用[J].學園·教育科研, 2012(19):51-52.

[6]姜翠美, 姜英, 王海霞.變限積分的求導方法[J].高等數學研究, 2013，16(6):23-24.

[7]于風宏.高等數學教學中變限積分函數的求導方法[J].數學學習與研究, 2014(19):75.

[8]郝芳.變限積分求導公式的另一種證明[J].文山學院學報, 2015，28(3):68-69.

[9]呂紀榮, 王士虎.關于變限積分函數求導問題的研究與應用[J].數學學習與研究, 2015(19):134-135.