倒數模型在純滯后控制系統中的應用探討

劉尚標

(本溪北方工業裝備有限責任公司，遼寧 本溪 117000)

0 引言

為了解決具有純滯后特性被控對象受控難的問題，Smith于1957年提出了史密斯預估模型，Garcia和Morari于1982年提出了內模控制算法。后有學者證實內模控制算法是史密斯預估模型的一種特殊表現形式[1]。但就控制效果而言，史密斯預估模型優于內模控制算法。史密斯預估模型和內模控制算法應用的前提，是建立被控對象的數學模型，且所建立的數學模型與被控對象一致性越高，其控制效果越好[2-5]。在工業現場，尤其對于較為復雜的被控對象，建立被控對象的數學模型非常困難。

為此，本文設計了一種簡便模型。其不依賴于現場工程師對被控對象求取數學模型，而是將被控對象直接納入該模型內，通過模型自身的轉換，得到被控對象傳遞函數的倒數。該模型本文稱之為倒數模型。利用常規PID控制倒數模型，間接實現對具有純滯后特性被控對象的控制。

1 模型可倒原因分析

被控對象數學模型不完全可倒的主要原因[6]如下。

①數學模型中含有非最小相位環節(即其零點在右半平面)，其倒數會形成不穩定環節。

②數學模型中含有純滯后環節，其倒數為純超前，無法實現物理純超前。

對于以上原因分析如下。

①含有非最小相位環節被控對象的倒數閉環負反饋系統能穩定運行。

②雖然無法實現純超前，但被控對象的倒數可避免純滯后環節影響。

③通過對被控對象倒數的調節，間接實現對被控對象的調節。

(1)

(2)

(3)

比較式(1)和式(3)可知，閉環極點相同，說明被控對象的倒數的閉環負反饋系統不改變系統的穩定性。由此可得如下結論：若被控對象的閉環負反饋系統穩定，則該被控對象的倒數閉環負反饋系統也穩定，而與該被控對象是否含有非最小相位環節無關。

2 建立倒數模型

倒數模型如圖1所示。

圖1 倒數模型框圖 Fig.1 Block diagram of the reciprocal model

圖1虛線框內所示傳遞函數為：

(4)

由此可知，圖1所示傳遞函數為：

(5)

由式(5)可知，圖1所示倒數模型可以實現被控對象的倒數關系轉換。該模型由內外兩個環節組成。

圖2 倒數模型與數學倒數階躍響應效果對比圖 Fig.2 The contrast of step response of the reciprocal model and the mathematical reciprocal

由圖2可知，被控對象的倒數模型階躍響應曲線與被控對象數學倒數的階躍響應曲線完全重合。由此進一步驗證了該倒數模型可以實現被控對象的數學倒數轉換。

3 建立倒數模型的閉環負反饋控制系統模型

倒數模型閉環負反饋控制系統框圖如圖3所示。

圖3 倒數模型閉環負反饋系統框圖 Fig.3 Block diagram of negative closed loop feedback system of the reciprocal model

由前述結論可知，若含有非最小相位環節被控對象的閉環負反饋系統可穩定運行，則該被控對象倒數的閉環負反饋系統亦可穩定運行。由此考慮為倒數模型引入閉環負反饋環節，來保證可能含有非最小相位環節的倒數模型可以穩定運行。同時考慮在閉環倒數模型的外環添加積分環節，實現對內環的預補償。最終通過對被控對象倒數的調節，來間接實現對被控對象的調節，以改善純滯后控制系統的控制品質。

由圖3可知，倒數模型的閉環負反饋控制模型的傳遞函數方程如下：

Y(s)={[R(s)-Y(s)]Gc(s)+Y(s)}×

(6)

假設外環積分環節完全實現了對內環的補償，則下式成立。

(7)

即：

(8)

首先分析系統輸入對系統輸出的影響。令N(s)=0，將式(8)代入式(6)，整理后得：

Y(s)[Gc(s)+Gc(s)kGp(s)]=

R(s)[Gc(s)+Gc(s)kGp(s)]

(9)

即：

Y(s)=R(s)

(10)

由式(10)可知，系統輸出完全根據系統輸入變化而變化。

分析外界擾動對系統輸出的影響。令R(s)=0，將式(6)整理如下：

(11)

將式(8)代入式(11)，得：

(12)

(13)

(14)

由式(14)可知，TiTa越小，擾動對輸出的影響越小，即系統的抗干擾能力越強。由此可知，模型參數整定時，應將Ta整定得足夠小，以提高系統的抗干擾能力。

總之，倒數模型外環積分環節的引入，不僅使得系統的輸出可以很理想地跟隨輸入的變化而變化，還可以抑制擾動對系統輸出的影響。倒數模型外環積分環節對改善系統控制品質起到至關重要的作用。仿真試驗驗證該結論是正確的。

圖4 含非最小相位環節被控對象階躍響應效果對比圖 Fig.4 The contrast of step response of the controlled object with nonminimum phase

由圖4可知，由于引入積分環節，倒數模型閉環負反饋系統的倒數模型與被控對象幅值不存在倒數關系，但其曲線趨勢仍保持倒數關系，只是相對倒數模型響應被控對象響應提前。

4 控制效果對比

圖5 仿真系統框圖 Fig.5 The system block diagram of simulation

倒數模型與史密斯預估模型階躍響應效果對比圖如圖6所示。

圖6 倒數模型與史密斯預估模型階躍響應效果對比圖 Fig.6 The contrast of step response of the reciprocal model and the Smith predictive model

由圖6可知，在倒數模型系統中，由于已經實現了對被控對象的預補償，故其響應曲線基本與階躍響應等同，只是受滯后時間影響，曲線整體后移而已。

僅改變圖5中倒數模型系統被控對象純滯后項時間常數的仿真效果對比圖如圖7所示。

圖7 改變純滯后項時間常數階躍響應效果對比圖 Fig.7 The contrast of step response of changing time constant of the pure time-delay

與史密斯預估模型階躍響應效果對比可知，倒數模型系統階躍響應平衡過渡時間更短，其階躍響應效果更為理想。由于史密斯預估模型受預估環節的限制，其無法適用于純滯后項時變系統[8-9]。而倒數模型設計的初衷就是想規避被控對象純滯后項對控制的影響，故其完全適用于純滯后項時變系統。

5 結束語

由以上分析可知，倒數模型的閉環負反饋系統適用于具有純滯后特性的被控對象，其控制效果要優于史密斯預估模型。該系統的優點在于控制結構簡單、參數設置方便，并且適用于純滯后項時變系統。由于其應用不必以得到被控對象數學模型作為前提條件，故其更利于在工業現場的推廣應用。其缺點在于受模型控制機理限制，倒數模型僅適用于非滯后項為大慣性自衡系統。

參考文獻:

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