淺談行列式的計算方法

摘 要：行列式的計算方法很多，高階的行列式的計算難度較大。為了讓學生更好的掌握行列式的計算，本文在此對其計算方法進行總結，通過實例，給出較全面的分析。

關鍵詞：行列式；對角線法則；三角形行列式；特殊行列式

在求解線性方程組和逆矩陣時，計算行列式是很有必要的。那么如何較好的計算行列式呢？筆者根據自己經驗，首先要觀察其結構，然后根據其結構選用相應的計算方法計算。

一、行列式的定義

我們現在來給出n階行列式的定義。我們這里總是取一固定的數域P為基礎，所談到的數（或元素）都是指這個數域P中的數。同時根據需求給出一些概念，比如三角形行列式、代數余子式等。

定義1：設有n2個數，排成n行n列的數表，位于不同行不同列的n個數的乘積，并冠以符號[-1t]得到形如[-1ta1j1a2j2….anjn]的項，其中j1，j2，…，jn為自然數1，2，…，n的一個排列，t為這個排列的逆序數。這樣的排列共有n！項，所有這樣的項的代數和[-1ta1j1a2j2….anjn]，稱為n階行列式。記作：

[D=a11a12…a1na21a22…a2n????an1an2…ann]。

定義2：將行列式中非零元連線，其形狀像個“爪”字的行列式，稱為爪型行列式。形如：[a11a12a13a14a21a2200a310a330a4100a44]。

定義3：將行列式中非零元的連線，其形狀像個“么”字的行列式，稱為么型行列式。形如[00a13a140a22a230a31a3200a41a42a43a44]。

定義4：n階行列式中去掉元素[aij]所在行與列后，由剩下的所有元素按原來的位置組成的行列式稱為元素[aij]的余子式，記為[Mij].而[Aij=-1i+jMij]稱為元素[aij]的代數余子式。

二、行列式的計算

1.對角線法則

行列式的計算千變萬化，一般來說，對于2階和3階行列式可以采用對角線法則進行計算。

例1：計算行列式[D3=2011-4-1-183]。

解：D3=2×（-4）×3+0×（-1）×（-1）+1×1×8-1×（-4）×（-1）-0×1×3-2×（-1）×8=-4。

2.n階行列式定義式遞歸法

對于4階及其以上的行列式，對角線法則不再適用。那么有什么其它的解決方法沒有呢？答案是肯定的，比如我們可以將行列式按第一行展開來計算。

例2：計算行列式[Dn=a110…0a21a22…0????an1an2…ann]。

解：

3.降階法

通過分析及上例我們不難發現，一般情況下，如果行列式的階數較大時，按這種遞歸方法來計算，計算量是很大的。但如果行列式的第一行有零元，那么我們就不用計算該零元相對應的代數余子式，這就在一定程度簡化了計算。既然如此，我們能不能盡量的簡化計算，換言之就是讓某一行出現盡可能多的零元呢？答案是肯定的。通常情況下，我們可以利用行列式的性質：將行列式某一行（列）的常數倍加到另外一行（列）上，行列式值不變，來將行列式中非零元轉化為零元。也就是說給出一個行列式，我們總可以將其某一行（列）化出盡可能多的零元，然后再利用行列式的性質將該行列式按該行展開，從而將高階的行列式轉化為低階的行列式來計算。該方法稱為降階法。

例3：計算行列式：[D4=1201135001561234]。

解：

4.化三角形法

結合例2，我們不難發現三角形行列式有一個重要的結論，就是其值等于主對角線上元素的乘積。那么給出一個行列式，我們可以利用行列式的性質將其化為三角形行列式，然后按照三角形行列式結構給出其解，這種方法稱為化三角形法。對于例3我們按照化三角形法求解：

三、特殊行列式的計算

1.爪型行列式的計算

通常情況下，我們用爪型行列式非零元所連的斜線上的元素將豎線或橫線上除了第一個元素外的元素轉化為零元，然后根據三角形行列式的結構給出其值。

例4：計算：[Dn=123…n220…0303…0?????n00…n]。

解：

2.么字行列式的計算

利用“么”字的一撇消去另一撇，就可以把行列式化為三角形行列式，下面我們結合例5來說明。

例5：計算[D4=0011021011001223]。

解：

參考文獻

[1]唐曉文，王昆侖，陳翠.線性代數[M].同濟大學出版社，2012.

[2]楊萬才.線性代數[M].科學出版社，2013.

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[4]王玉華.淺談行列式的計算[J].臨滄師范高等專科學校學報，2008，17（2）.

作者簡介

賈會芳（1989—），女，河南平頂山人，理學碩士，長期從事線性代數的教學工作，研究方向：非線性動力學。