邊界元法數值計算接地參數的研究

黃文力，李　響，王　龍

(鄭州航空工業管理學院 機電工程學院，河南 鄭州 450046)

0　引言

接地裝置是構成電力系統的重要一環，是維護電氣設備正常運行，保證人身安全的基礎保障，特別是隨著電力系統向超、特高壓和遠距離、大容量方向發展，對接地系統的要求更高，其地位愈加突出[1,2]。目前接地系統的設計準則主要是1998年實施的《交流電氣裝置的接地》，該標準給出了接地參數相關的一些解析計算公式。但是，隨著電力系統向超高壓、大容量的發展，依據該標準對接地參數的計算誤差較大，甚至存在不能適用的問題[3,4]。因此，關于復雜的土壤介質與接地網結構，出現了多種接地參數數值計算的方法以及相應的軟件包，其中最成熟的是Dawalibi開發的CDEGS軟件包[5,6]。

接地系統的數值計算方法通常分為區域型和邊界型兩大類。區域型數值解法把區域內連續介質中無限個場域剖分離散轉化為有限個場域的求解，如有限元、有限差分法等；而邊界型數值解法只需要對場源的邊界線(面)作剖分離散化處理，如邊界元法[7,8]。對于接地系統的數值計算，相比于有限元等數值解法，邊界元方法更加適用于電場的無限域求解，能夠在較小計算量的前提下保證接地參數的精度。本文利用邊界元法計算復雜接地網的接地參數，討論接地參數的變化對接地性能的影響，所得結果可以借鑒于復雜接地網的工程設計實踐。

1　邊界元法接地參數的數值計算

1.1　土壤介質模型

假設復雜結構的土壤介質如圖1所示，介質1、2、3的電阻率分別為ρ1、ρ2、ρ3，所有的介質皆是線性均勻、各向同性的，接地網埋在介質1中。對于此類土壤介質構成，容易轉化為豎直分層或水平分層的介質結構，只是相對更為復雜一些[9～13]。在此狀態下的接地參數，很難選擇相關的解析公式來求解，只有采取數值解法，然而對于任一種數值解法，很明顯都需要計算無限區域的場量值，都存在方法上的缺陷。不同的數值計算方法，除了方法上的誤差，此時需要著重比較它們的適用性，使得計算量較小，既而降低所開發軟件包的難度，也提高相關數值計算的準確性。

圖1　復雜結構土壤介質模型

1.2　邊界元法

采用邊界元法計算圖1所示復雜土壤介質結構的接地參數。考慮不同介質對空間電位場的影響，根據電磁場理論，由于假設各介質具備線性、均勻的空間特性，其對位場的影響可以用不同介質分界面上的面電流(電荷)來等效替代。因此，圖1所示空間位場的計算，需要考慮的邊界元包括接地網導體與各不同介質的分界面。

本模型空間電位場量滿足的拉氏方程：

2φ=0

(1)

相應的邊界條件，在接地導體表面：

φ=φ0

(2)

在不同媒質分界面，其中n為分界面的法方向

(3)

邊界元法的基本思想：把任意形狀的接地體剖分成無數的單元小段(邊界元)，考慮接地體的邊界條件(等電位或不等電位)，把微分或積分方程離散化為線性方程組來求解，求出每一小段單元上的流散電流，然后利用疊加原理，電場中任一點的電位等于這許多小單元流散電流共同作用的疊加[7～14]。在圖1中，除了位于介質1中接地網表面的邊界元，在計算空間任一點的電位時，也要考慮不同介質分界面處等效電流(電荷)在剖分時所對應的邊界元。其中，接地網所剖分的單元小段也即邊界元數目是有限的，而各個介質分界面所剖分的邊界單元數量是無限的，根據相關理論與模擬實驗數據，剖分的最后一個節點到接地網中心點距離為接地網直徑的8～10倍時，接地參數數值計算結果的精度能夠滿足工程應用的要求[15]。

1.2.1接地導體的離散化

設接地導體剖分為N1個單元小段，考慮接地導體電流元對任一點電位的影響，則所有單元小段電流在接地導體上任一點所產生的電位為

(4)

其中，δj為導體第j單元小段上流散的電流密度；Sj為導體第j小段的表面積；ri，j為導體上第j小段與第i小段之間的距離。

1.2.2分界面的離散化

設某一分界面剖分為N2個三角形單元小面積，則三角形單元電流(電荷)對接地導體上任一點電位的貢獻也可用式(4)計算。而且由于分界面等效束縛電流(電荷)的存在，其電場強度的法向分量并不連續，滿足式(3)。為了求解出接地導體表面與分界面處等效的單元電流密度，還需要依據公式(3)來分析分界面等效電流所滿足的邊界條件。

設靜電場中不同的兩種介質，其分界面S上分布著電荷密度σ，P是分界面上的任一點，M是分界面上除P之外的任意點，點A、B分別位于通過P點的分界面法線方向的延長線上，如圖2所示。則位函數φA對法線np的方向導數表示為

(5)

圖2　兩種不同介質分界面示意圖

由式(5)可得

(6)

(7)

式(6)(7)中右邊第一項是由P點處的面電荷產生的電場，第二項表示P點以外的面電荷在P點產生的電場強度的法向分量，兩者相等用En表示。正是由于表面束縛電荷的存在，在分界面兩側無限接近的兩點上，其電場強度的法向分量并不連續。

把式(6)(7)代入介質分界面的邊界條件(3)，可得：

(8)

式中En已如前述是由除了該點電荷密度以外其它所有的電荷密度在該點產生的場強。分界面處電位連續的條件自動滿足。

根據靜電比擬原理，在兩種不同介質ρ1和ρ2的分界面，等效電流元滿足公式(9)

(9)

式(9)左邊第二項表示P點之外的所有電流密度(包括接地體表面的電流密度和媒介分界面上的等效電流密度)在P點產生的電場強度的法向分量，其中cos(nP，rNP)表示從源點N到場點P的連線與場點P處法線nP之間的夾角。

對式(9)進行離散化處理。設分界面剖分為N2個小三角形單元，考慮其等效電流元對分界面上任一小單元i處電場強度的影響，可得：

(i=1,2,3,…，N2)

(10)

1.2.3綜合接地導體和分界面的離散化

考慮接地網流散電流對分界面電場強度和不同介質分界面等效電流對接地導體電位的影響，綜合式(4)與式(10)可得矩陣方程組：

(11)

式(11)中k表示接地體剖分單元的總數目，它們的編號依次為1，2，…，k；對應的電流密度分別為δ1，δ2，…，δk；k+1，k+2，…，n表示介質分界面剖分單元的編號，對應的等效電流密度為δk+1，δk+2，…，δn。φ0表示接地網的電位，若有多個接地網，則其對應的電位值應有所不同。系數矩陣中各元素的量綱并不完全相同，從P11到Pkn各元素對應所有剖分單元電流在接地網匹配點上產生的電位，而從Pk+1，1到Pnn各元素對應所有剖分單元電流在介質分界面上匹配點處產生的電場強度法向分量的值。

2　接地參數分析

設接地網是等電位的，且φ0為1 V，依據式(11)求出接地導體各個剖分小單元的面電流密度δj以后，則接地網總的流散電流IS為：

(12)

式中：Sj表示接地導體各個小單元的表面積。 相應地，接地電阻R為：

R=U/IS=1/IS

(13)

在求得接地電阻以后，根據入地電流的大小，進而可以得到地表面的接觸電壓與跨步電勢[7]。

基于上述分析，利用VC編制了接地數值計算程序GPM，討論了接地參數對接地特性的影響。

2.1　驗證程序的正確性

2.1.1與均勻介質的結果比較

把圖1外推為只有一種介質，也即不存在不同介質的分界面，計算時只對接地網剖分處理。表1列出GPM與Dawalibi所編制的MALT程序計算的結果。接地網由4×4根均壓帶組成，埋深0.5 m，導體直徑0.02 m，介質電阻率100 Ω·m，入地電流10 kA，Vj表示接觸電壓[16]。可以看出，兩者的計算結果非常接近，表明了GPM程序計算的正確性，而GPM的結果稍偏大，是由于數值計算的過程中對于接地導體剖分數目相對偏小的緣故。

表1　與MALT程序接地數值計算結果比較

2.1.2與水平雙層介質的結果比較

設圖1中只存在介質1和3，其中接地網面積為100×100 m2，導體直徑為0.01 m，埋深0.7 m，上層介質厚度2 m，電阻率100 Ω·m，下層介質電阻率10 Ω·m。表2列出了水平雙層介質時的接地電阻，其中n1×n2表示接地網均壓帶的根數[12]。

表2　與水平雙層介質時接地電阻的比較

2.2　接地參數討論

設在介質1底部布置一個面積500×500 m2的水平接地網，接地導體的直徑0.02 m，均壓帶根數11×11。介質1寬1 500 m，厚150 m，電阻率55 Ω·m，介質2電阻率240 Ω·m，介質3電阻率 2 000 Ω·m，入地電流10 kA。

2.2.1介質1厚度變化

表3列出介質1厚度變化時接地網接地電阻的改變，其中h表示介質1的厚度值，R表示相應的接地電阻值。可以看出，接地網的接地電阻隨著介質1厚度的減小而增加。本算例接地網下邊鄰近電阻率遠大于介質1的介質3，上邊鄰近空氣，其面積又比較大，當接地網所處的介質1厚度越小，入地電流越不容易向上、下區域擴散，只能被迫向接地網的邊緣流散，所體現出來的接地電阻值越大。

表3　介質1不同厚度時的接地電阻

2.2.2接地網接地導體數目變化

表4列出接地網接地導體數目變化時相應的接地電阻，其中n1×n2表示接地導體數目。可以看出，隨著地網導體數目的增多，接地電阻相對減小，然而在導體數增加到一定數目時，接地電阻有反方向增大的趨勢。這是因為，一開始均壓帶數目的增加，使得接地電流更易流散，接地電阻呈減小的趨勢，在一定面積內當均壓帶數目增加到一定值時，接地導體之間的相互屏蔽作用占主導地位，使得接地導體數目增加，接地電流反而不易流散，接地電阻隨即增大。

表4　不同接地導體數目的接地電阻值

2.2.3地表電位分布

圖3 a為地表亦即介質1上表面，以接地網四個角的其中一個角位置坐標(0，0)始，沿對角線至坐標(1 000，1 000)止的區域內的等位線分布圖；圖3b為同一區域內沿對角線(0，0)至(1 000，1 000)的電位變化。由圖3a和3b可知，地表電位最高點在接地網的中心點即坐標(250，250)處，也即是理論上的地表接觸電勢最危險的位置；等電位線從接地網中心向四周發散，其最密集處在地網的邊緣位置，此處也應該是地表上跨步電壓最大的地方。圖3a與3b清晰表明，接地網導體均勻布置時，地表電位分布并不均勻，這對于電氣設備和人身的安全都是不利的，因而研究接地導體的優化布置從而均勻化地表的電位分布非常有意義[17]。

(a)　地表區域(0，0)到(1000，1000)的等位線分布

(b)　地表沿對角線(0，0)到(1000，1000)的電位分布圖3　地表電位分布

3　結論

本文基于邊界元法分析了復雜土壤介質情況下接地電阻的數值計算，介紹了基于接地網導體與不同介質分界面上剖分單元的邊界元方法，開發了接地參數數值計算的軟件包GPM，并且討論了不同接地參數變化時對接地性能的影響。分析表明：

(1)把不同介質對接地性能的影響用不同介質分界面上的束縛電流來等效替代是可行的，能夠有效降低其它數值解法的計算量，甚至解決其它數值解法不能應用于復雜土壤介質的難題。

(2)接地性能與接地導體的數量緊密相關。接地導體數量多，相應的散流面積大，對改善接地參數是有利的；然而隨著導體數目增加，相互之間距離減小，電流流散的相互抑制作用將被強化，對接地性能又是不利的。因此，對于具體接地系統中特定的導體布局，總是存在相應最優的導體數量值，這也表明了接地數值計算對于接地工程的實踐意義。

(3)接地網均勻布置時，地表的電位非均勻分布，相應的接觸電壓和跨步電勢相差較大，因此，在有限的面積內，研究接地導體的優化布置將是降低接地電阻，減小接觸電勢和跨步電壓的有效措施，具有突出的實用價值。

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