雙復合泊松風險模型下的投資問題

袁野 鄧飛其

摘 要 在經典風險模型基礎上，研究了保險公司保費收入和索賠均服從復合泊松過程的雙復合泊松風險模型，針對最優投資策略和求解破產時刻懲罰金期望折現函數的問題，利用重期望公式和馬氏性得到期望折現函數滿足的帶邊界條件的二階積分微分方程，通過高效的Sinc數值方法求出折現函數的近似數值解，從而由圖像分析破產概率變化的趨勢.

關鍵詞 雙復合泊松過程;重期望公式;馬氏性;積分微分方程;Sinc數值方法

中圖分類號 O211.6 ?文獻標識碼 A

Abstract Based on the classical risk model，we studied ?the double compound Poisson risk model in which the insurance company′s premium follows a compound Poisson process and the claims also follow a compound Poisson process.Consider the optinal investment and the expected discount penalty function，by using the heavy expectation formula and Markov property， we obtained ?the second order integro-differential equation with boundary conditions，a numerical Sinc method was proposed to derive a approximate numerical solution，then we can analyze the ruin probability by the figure of approximate numerical solution.

Key words double compound Poisson process;heavy expectation formula;Markov property;integro-differential equation; Sinc numerical method

1 引 言

在經典風險模型中，假設索賠服從復合泊松過程，考慮在破產時刻給予懲罰，Gerber 和 Shiu（1998）[1]討論了懲罰金的期望值，發現該期望值依賴于破產時刻和破產時刻的赤字大小，并得到了破產時刻與赤字大小的聯合概率密度函數.Albrecher和Thonhauser（2008）[2]研究了復合泊松風險模型下的最優分紅策略.Gerber和Landry（1998）[3]在經典風險模型中引入一個獨立的擴散過程，通過重期望公式得到懲罰金期望函數滿足的積分微分方程，利用Lundberg方程得到期望函數滿足一個更新方程，并得到其概率解釋.本文假設保險公司盈余過程服從雙泊復合松過程，從而得到懲罰金期望函數滿足的積分微分方程，由于這種二階積分微分方程不存在解析解，從而研究其數值解[4]具有重要的意義.

2 市場模型

考慮經典的風險模型，保險公司的盈余由下列過程給出：

8 結 論

建立了服從復合泊松分布的盈余過程模型，首先考慮在終端時刻處的期望效用函數，利用動態規劃原理得到值函數滿足的HJB方程，得到最優投資策略的顯性表達式，在投資比例確定的情況下，考慮破產時懲罰金的期望折現函數，得到期望折現函數所滿足的積分微分方程，利用高效的Sinc數值方法，得到懲罰金期望折現函數的近似數值解，由圖像分析得到相應參數對破產概率和懲罰金期望折現函數變化趨勢的影響.該盈余過程模型還可以繼續改進，使其更符合實際情況，可以研究更有效的數值方法來得到懲罰金期望折現函數的近似數值解.

參考文獻

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