橢圓和雙曲線的焦點弦長

摘 要：教學過程中，我們強調了拋物線的焦點弦的相關性質，特別指出其焦點弦長.通過探究得到了橢圓及雙曲線的焦點弦長.

關鍵詞：橢圓；雙曲線；焦點弦

本文只討論了斜率存在的情況，對于斜率不存在，代表通徑 ，在此不再復述.

定理1 過橢圓焦點的直線斜率為k，交橢圓于A，B兩點，則AB= （a>b>0）

證明 令A（x1，y1），B（x2，y2），當橢圓焦點在x軸，設橢圓方程E： + =1（a>b>0），則其左焦點F1（-c，0），故直線lAB：y=k（x+c）.將直線lAB代入E整理有（b2+a2k2）x2+2a2ck2x+a2k2c2-a2b2=0

所以x1+x2=- ，x1·x2=

即AB= = =

當橢圓焦點在y軸，設橢圓方程E： + =1（a>b>0），則上焦點F1（0，c），故直線lAB：x=k（y-c）將直線lAB代入E同理可知AB= .

定理2 過雙曲線焦點的直線斜率為k，交雙曲線于A，B兩點，則AB=

證明 令A（x1，y1），B（x2，y2），當雙曲線焦點在x軸，設雙曲線方程E： - =1，則左焦點F1（-c，0），故直線lAB：y=k（x+c）.將直線lAB代入E整理有（b2-a2k2）x2-2a2ck2x-a2k2c2-a2b2=0

所以x1+x2=- ，x1·x2=

即AB= = =

當雙曲線焦點在y軸，設雙曲線方程E： - =1，則上焦點F1（0，c），故直線lAB：x=k（y-c）將直線lAB代入E同理可知AB= .

例 過雙曲線 - =1的右焦點F2，傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，F1為左焦點.求AB.

解：由定理2知，a2=3，b2=6，k2= ，則AB= =

參考文獻：

[1]李慶兵，曾崢，蘇友馬.圓錐曲線的又一個共同性質[J].上海中學數學，2011（5）.

[2]楊生華.關于圓錐曲線一個有趣性質的研究[J].理科愛好者，2014（45）.

[3]楊生華，舒巧云.一個與橢圓有關的定值問題的研究[J].中學數學研究，2016（11）.

[4]林新建.圓錐曲線一個有趣的三圓性質[J].中學數學研究，2008（12）.

編輯 謝尾合