高中數學概率題解題技巧及錯誤總結

楊祺帆

（鞏義市第二高級中學 河南鞏義 451200）

概率統計在生活中的應用是非常廣泛的例如對于一些不確定事物的分析和預測、對于一些確定性事物的結果統計，幾乎用到概率方面的知識。在高中階段的數學概率知識學習過程中，學生要善于利用自己的錯題進行技巧總結和方法分析，為進一步提高自己實際應用能力打好基礎。[1]

一、概念的錯誤界定

在解決概率的問題時，學生常常會因為題目的概念解讀錯誤而做錯題目，這也是概率解題過程中常常出現的錯誤類型。例如，學生常常將“非等可能”與“等可能”搞混。有這樣一道題目：同時拋擲兩枚色子，求所得的點數總和為6的概率。學生很可能被點數總和為6這一語言所誤導，因為拋擲兩枚色子的情況下出現的點數2、3、4…12等一共11種事件類型，而所得點數總和為六的情況只占11種類型中的一種基本事件，他們認為概率p等于1/11。但事實上基本事件的類型不止有11種，例，點數之和為2的只有（1,1）情況，但是點數之和為六的卻有（1，5）、（2,4）、（3,3）、（4,2）、（5,1）共五種形式，因此，實際上基本事件的類型一共有6x6等于36種形式，并且這36種事件的發生概率是相，兩色子點數總和為六的概率為P等于5/36。再比如，學生常常將對立事件與互斥事件的概念搞混。已知有紅色，黑色，白色和藍色四種顏色的紙牌，隨機分給甲乙丙丁四位學生，每位學生只能得到一張紙牌，請問事件1甲分得紅牌的事件與事件2乙分得紅牌的事件是對立事件還是互斥事件呢？很多學生認為答案是對立事這是因為。這是因為他們沒有將對立事件和互斥事件的概念明確，實際上，2事件一旦對立，則必定是互斥事件，但是互斥事件卻未必是對立事件，并且互斥的概念適用于多個事件，但是對立的概只適用于兩個事件。兩個世界互斥，則說明兩個事件不能同時發生，可以只發生其中的一個，但可以兩者都不發生，但兩事件對立，則表示它們有且僅有一個事件會發生。在這道題目中，甲分得紅牌和乙分得紅牌，可以兩者發生一個也可以一個都不發生，因此他們兩的事件因是互斥但不對立的。[2]

二、順序的錯誤界定

有序事件和無序事件也是高中數學階段概率題目常常出現的一種問題類型。例如這樣一道題目已，其中存在3件次品，將這10件產品一件一件不放回地進行抽取，抽取4件，求抽取的2件樣品中恰好有1次次品的概率。學生會認為第一次抽取的方法有10種，第二次有9種，第三次有8種第四次有7種，因此一共有10×9×8×7個基本事件。設從4件樣品中恰好取出1件次品的事件，因此事件A一共有種取法，最終答案為P=1/48.分析這一道題目，需要用到排列的概念，即考慮到抽取的順序，但是在上述的計算過程中卻只用了組合的方法，沒有考慮到抽取的順序。這就是因為學生沒有了解到在什么情景下需要使用組合的方式在什么情景下需要使用排列的方式。在這一題目中有兩種解題的思路，一種是采取排列的方式，另外一種是采取組合的方法。用排列的方法解決問題既，任意取出四個含有個基本事件，其中又包含了個基本事件，因此，最終得到的答案為P(A)等于而采用組合的方法，學生可以將不放回的抽取4件轉化為一次性抽取4件，因此，整個事件有個基本事件，而A中又包含個基本事件，因此，最終得到的答案為P(A)等于由此可見，學生在解決排列組合問題的時候，必須要分清排列和組合之間的區別，這兩者的區別就是是否按照順序排列。排列是從n個不同的元素中取幾個不重復的元素，是按照順序進行排列的。而組合則是從n個不同的元素中去幾個不重復的元素組成一個子集，但不考慮子集中各個元素的順序，只要掌握了這一點，學生就能夠順利的解決排列問題和組合問題。

三、錯誤的辨認界定

在概率題目中常常會出現可辨認的球，不可辨認的球，相同顏色的球，不同顏色的球等等，這些信息其實都是混淆學生的概念的，不論顏色和大小，學生只需要根據這些球是否可以辨認進行題目的解答。例如，已知有n個大小和形狀都相同的球放入到m個編號不同的盒子中,求事件A:某指定的n個盒子中恰好有一個球的概率。這一題目是概率題中難度較高的，很多學生會認為這種可能的結果數為其中包含有n！種結果，因此不可否認的是，學生的這種解題思路是正確的，但是解法確實不全面的，因為題目并沒有告知求事，可辨認的還是不可辨認的。如果這些小球是不可辨認的，那么答案則是正確的；如果小球事可辨認的，那么答案則是錯誤的。為了便于學生的理解，可以采用圖示的方法，用正方形表示盒子，用圓表示求，將盒子按照號碼排列起來，如圖所示。

這樣的m個盒子有n+1個隔斷，然后將n個球任意的放入m個盒子中，每一個盒子不用限制球的數量，可以按照任意的順序排列，可以去別的所有可能出現的結果為也就是說交n個不可辯的球放入指定的m個盒子中使得每一個盒子剛好只有一個球的方法，只有一種，因此事件A只包含一個結果，最終的答案為

由此可見，在高中數學的概念習題，解題過程中，學生的易錯點普遍在于概念的區分，因此，作為高中生，在學習的過程中要注重對于基本概念的理解，分析自己錯題產生的原因，實現變廢為寶，在錯題中總結經驗。