結合分區和改進ICP的三維顱骨自動配準算法

史重陽,劉曉寧,羅星海,胡曉靜,耿國華

(西北大學 信息科學與技術學院,西安 710127) E-mail:xnliu@nwu.edu.cn

1 引 言

顱面復原是對未知顱骨根據統計先驗知識恢復其生前面貌的一種技術[1].為此需要建立科學、有效的參考顱骨與所有樣本顱骨形狀關系的統計計算模型,即顱骨形態學統計.為了對顱骨形態進行統計分析,在建立顱骨數據庫時,需要對所有樣本顱骨點云數據與參考顱骨進行配準,將它們統一到一個坐標系下,從而對顱骨形態進一步分析.此外,面對一個未知顱骨,基于配準的顱骨復原方法也需要從顱骨數據庫中檢索出最相似的顱骨.因此,顱骨配準是顱面復原的一個關鍵步驟.

由于獲取的顱骨是三維的,因此三維顱骨配準屬于三維模型配準的具體應用.目前,常用的三維配準算法是由Besl等提出的迭代最近點(Iterated Closest Point,ICP)算法,該方法本質是基于最小二乘法的最優配準方法,運用Euclidean距離計算得到與特征點最近的匹配點,估算最優的變換矩陣參數,直到滿足正確配準的收斂精度要求[2].但是該算法對初始位置和匹配點對的要求比較高,容易形成局部迭代收斂,造成迭代收斂速度低.為此,國內外學者對此算法進行了改進.文獻[3]提出了一種基于點到平面的改進ICP算法,改進了ICP算法中點對點歐氏距離的評價函數.文獻[4]提出了對點云對應點賦予權重,剔除權重大于閾值的匹配點對,通過對目標函數引入M-估計(M-estimation),剔除異常點,有效的確定了初始位置和匹配點對.liu等提出了基于遺傳(Genetic Algorithm,GA)算法和ICP的配準算法[5],GA是一種全局的搜索算法,很好的解決了ICP容易形成局部迭代的問題,但是GA算法時間復雜度較大.KO等提出基于曲面幾何特征性質的配準算法[6],與迭代配準算法相比,該算法的配準時耗明顯降低.文獻[7]提出采用幾何哈希方法找出使得最多數量的點對法矢一致的變換,運用該變換對散亂點云作初始配準,再運用ICP算法進行精確配準.文獻[8]提出了一種基于曲率特征的配準算法,該方法根據曲率相似度約束進行配準.文獻[9,10]提出一種基于有界旋轉角的配準算法,該方法在ICP算法的基礎上通過設置旋轉角度的邊界來改進算法,從而提高了配準的準確度.

也有很多學者對三維顱骨配準進行了研究.Du等提出了一種基于ICP和薄板樣條函數(Thin-plate Spline,TPS)的三維顱骨配準算法[11],該方法引入積分不變量的多尺度約束,選定最佳匹配點,然后采用ICP實現初始配準,利用TPS實現精確配準.該方法提高了配準的準確度,但是ICP和TPS都是迭代算法,因此增加了配準的時間復雜度.He等提出了以TPS算法實現顱骨的初始配準,然后根據歐氏距離與局部幾何特征的加權距離實現顱骨的精確配準的自動配準算法[12].M.Berar等提出了一種新的3D網格彈性配準方法[13],該方法是基于多分辨率,對定義頂點的兩個網格實現對稱距離最小化.該方法有效的提高了配準的準確度,但是對于多頂點的網格模型,實現對稱距離最小化,使得計算量過大,從而增加了配準的時耗.Yusuf Sahillioglu等提出了一種基于三維立體形狀體積的配準算法[14],該方法根據顱骨四面體網格模型,獲取數據的體積性質進行配準.與網格模型相比,能更好的捕獲數據的體積性質,利用體積性質進行配準,對于畸形的顱骨具有一定的魯棒性.但是該方法在網格劃分的過程中,會丟失一些數據,從而降低配準的準確度.

綜上所述,目前顱骨配準具有配準效率不高,配準準確度低,對缺損或者畸形顱骨沒有一定的魯棒性等問題.本文針對配準效率和準確度不高等問題,提出一種在區域劃分的基礎上,引入動態估計(Destimation)的ICP配準算法.該算法避免的點云數據量過大而導致的計算量過大的問題,為精確配準階段提供了良好的初始值,根據引入的Destimation有效剔除了誤匹配點對,降低了匹配點對的數量,有效提高了配準的準確度以及效率,使得迭代收斂性更快.

2 RANSAC算法

隨機抽樣一致(Random Sample Consensus,RANSAC)算法思想是從一組包含局外點的觀測數據集中,通過迭代的方法計算出數據的數學模型參數,產生最大一致性數據集.該算法的基本假設是樣本中包含正確數據(inliers,可以被模型描述的數據),也包含異常數據(outliers,偏離正常范圍很遠,無法自適應數學模型的數據),即數據集中含有噪聲.這些異常數據產生的原因是錯誤的測量、假設或計算等.本文數據集中的異常數據是在初始配準中尋找匹配點對時產生的誤匹配點對.該算法通過反復選擇樣本數據中的一組隨機子集來達成目標[15].

RANSAC基本思想描述如下:

1)存在一個最小抽樣集,其個數為n(n為初始化模型參數所需的最小樣本數)和一個樣本集N,其中|N|>n,從N中隨機抽取n個樣本,構成N的子集S,用來初始化模型W.

2)余集SC=NS中與模型W的誤差小于某一設定閾值ε的樣本集合和集合S構成集合S′.S′是內點集,它們構成S的一致集.

3)若內點集的個數大于樣本集N的個數,則得到正確的模型參數,并根據內點集S′,采用最小二乘等方法重新設計新的模型W′.重新隨機抽取新的樣本子集S,否則返回步驟1)進行迭代.

4)在完成一定的抽樣次數后,若未找到一致集,則算法失敗,否則選取抽樣后得到的最大一致集判斷內外點,算法結束.

3 顱骨區域劃分

根據基于Euclidean距離的Voronoi圖對待匹配點集P和參考點集Q進行區域劃分.首先對顱骨數據進行隨機均勻采樣,得到采樣點集{v1,v2,v3,…,vn}和{u1,u2,u3,…,um}.然后以采樣點為初始聚類點,得到每個采樣點的劃分區域.如公式(1)所示:

(1)

其中,vi屬于P,uj屬于Q;n表示待匹配點集P得到的采樣點集元素的個數,即P的區域數目;m表示參考點集Q得到的采樣點集元素的個數,即Q的區域數目.區域的數目由顱骨的五官和點云數目決定,在實際應用中通常設置為1～9.當顱骨點云數目比較多時,區域數目需要設置大一些.當區域數目取1時,算法退化為全局配準算法.

4 顱骨自動配準算法

經典ICP算法對兩個輸入顱骨數據的初始相對位置要求較高,若兩個數據相對位置較大則易陷入局部最優,得到錯誤的配準結果.算法時間復雜度較大,為O(NpNq),其中Np和Nq分別是待匹配點集和參考點集的點云個數.該算法中使用Euclidean距離作為唯一約束,約束條件單一,配準準確度不高.

本文提出的算法在初始配準中,運用區域劃分思想,有效縮小配準規模,極大緩解了時間復雜度大的問題,為精確配準階段提供了有效的初始值,本文借助的RANSAC算法,對噪聲具有較高的魯棒性,提高了配準的準確度[16].在精確配準中,采用kd樹(kd-tree)算法加快搜索速度,引入Destimation來剔除誤匹配點對,有效提高了配準的準確度,降低了配準的時耗.

4.1 初始配準

4.1.1 區域配準

兩個區域的配準是兩個更小規模的點云數據的配準.首先計算區域Vk和區域Ut的質心,如公式(2)所示:

(2)

然后,根據Euclidean距離相似度和K近鄰(k-Nearest Neighbor,KNN)算法,對每一個區域Vk,在待匹配區域Ut中搜索與Vk的質心之間Euclidean距離最近的K個相似區域Ua(a=1,2,3,…,K),如公式(3)所示:

‖o(pk)-o(qt)‖≤ξ1

(3)

其中,ξ1為大于0的實數.

(4)

(5)

其中,ξ2為大于0的實數.

(6)

圖1(a)、(b)中左圖為顱骨掃描數據集中待匹配點集的鼻子和下顎區域,圖1(a)、(b)中右圖表示鼻子和下顎區域與參考點集相似區域的配準結果,區域配準的匹配程度對應φ的取值.可以看出,對于2個部分重疊區域進行配準能夠有效的得到精確的配準結果.

4.1.2 求解全局剛體變換

(7)

(8)

圖1 區域配準結果示意圖Fig.1 Result of Region registration

E(ω)=ωTAω
‖ω‖2=1,ω≥0

(9)

為了得到全局剛體變換矩陣T,首先假設將T分解為一個旋轉矩陣R和一個平移矩陣t,然后將線性變換矩陣T′分解為一個旋轉矩陣R′和平移矩陣t′.令t=t′,根據四元素法求得旋轉矩陣R.最后,用T對P和Q完成初始配準.

4.2 引入動態估計的ICP算法

在點云數據配準的研究中,經典ICP算法是最基礎、最廣泛使用的配準算法[19,20].該算法針對點集中的每個點,在目標點集中全局搜索與其Euclidean距離最近的匹配點,然后估計變換矩陣參數,反復迭代,直到迭代的目標函數值小于等于預設的閾值為止.

在經典ICP算法中,利用Euclidean距離計算每個點的最近點,容易出現誤匹配點對,并且匹配點對數量大,這是配準準確度低和配準時耗高的瓶頸所在.如果提前刪除誤配的匹配點對,在迭代過程中將顯著的減少算法的計算量,有效提高配準的準確度,降低了配準的時間復雜度.

在統計學中,均差和標準差是判定樣本的有效性和無偏性的標準,因此本文提出Destimation思想,匹配點對之間距離在一定范圍內與均差越近似,正確率就越大,由此標準來有效剔除誤配或錯配的匹配點對.計算均差μd和標準差δd如公式(10)所示:

(10)

其中,di表示匹配點對之間的距離‖pi-qj‖,Np表示根據kd-tree算法求得的匹配點對數.

根據(10)式計算Destimation,如公式(11)所示:

(11)

其中,λ為動態參數,為大于0的實數.

根據(11)對每個匹配點對設置一個動態估計Destimation.根據給定閾值ξ3,如果匹配點對的Destimation<ξ3,則刪除該匹配點對,ξ3為大于0的實數.

本文采用均方根誤差RMSE作為配準誤差[21].此度量方法直觀、嚴謹,有效的彌補了經典ICP誤差函數的缺陷.如公式(12)所示:

(12)

其中Np表示待匹配點集P的元素個數,即匹配點對數.pi為待匹配點集P中的點,qj為參考點集Q中與pi相匹配的匹配點.

4.3 三維顱骨配準算法

本文將顱骨配準算法分兩階段進行:

1)初始配準.給定待匹配點集P和參考點集Q,初始配準步驟如下:

Step5.根據E(ω)求得最優變換矩陣的線性組合T′,易得平移矩陣t,由四素法求得旋轉矩陣R,繼而得到剛性變換矩陣T,完成初始配準.

2)精確配準.輸入初始配準的結果,初始化迭代次數η=0.步驟如下:

Step2.由公式(11)得到Destimation,刪除Dη(i)中Destimation<ξ3的匹配點對.

Step3.根據四元素法計算得到旋轉矩陣R和平移向量T.

Step4.根據R,T更新Dη(i),即Pη+1=RηPη+Tη,Dη+1(i)=qj,由公式(12)得到誤差函數RMSEη.

Step5.計算2次迭代之間的估計誤差,如果|RMSEη+1-RMSEη|≤χ,就終止迭代;否則返回步驟(1)進行迭代.

5 實驗結果與分析

本文實驗采用的是西北大學可視化研究所采集的顱面樣本數據.為了驗證本文算法對屬性相似顱骨的配準準確度以及效率,本文用文獻[22]提到的方法,在顱骨數據庫中檢索到38套屬性相近的顱骨組成測試數據集.算法中基本參數設置如下:ξ1=0.05,ξ2=0.02,ξ3=0.01.

實驗采用的PC配置為3.50GHz、內存為8GB,操作系統為Windows 7.在Matlab R2014a平臺上實現了結合顱骨分區的初始配準算法和改進的ICP算法.

5.1 初始配準結果分析

本文對基于區域的自動配準、基于曲率圖的配準和本文算法三種算法進行初始配準對比實驗. 其中2組不同點云數據實驗結果如圖2和圖3所示. 圖2為第一組顱骨點云配準結果,圖2(a)左側為參考顱骨(13201個點),右側為待匹配顱骨(11282個點).圖3為第二組顱骨點云配準結果,圖3(a)左側為參考顱骨(102905個點),右側為待匹配顱骨(92837個點).實驗分析可知,本文算法與其他兩種算法相比,本文初始配準獲得的初始結果比較好.

圖2 第一組數據初始配準結果Fig.2 Initial registration results of the first set of data

圖3 第二組數據初始配準結果Fig.3 Initial registration results of the second set of data

將本文中所提的RMSE作為配準準確度的評判標準.表1為圖2初始配準結果的配準時耗及準確度分析,由表1和表2可知,基于區域的自配準算法和基于曲率圖配準算法得到的初始配準誤差比較大,第一組數據RMSE分別為0.3564mm和0.4372mm,第二組數據誤差分別為0.3950mm和0.4028mm.而本文算法的到的初始配準結果比較好,第一組和第二組RMSE僅為0.1942mm和0.2184mm.基于區域的自動配準算法初始配準階段,需要將每一個區域與剩余所有區域進行初始配準;基于曲率圖的配準算法初始配準階段,在應用曲率相似度求解匹配點對的基礎上,再計算每個點的曲率圖;而本文算法初始配準階段應用Euclidean距離相似度和KNN算法求解相似區域與匹配點對,只需要將一個區域與相似的幾個區域進行配準即可.因此,本文算法與其他兩種算法相比,有效的降低了初始配準階段的時間復雜度.

表1 第一組數據初始配準算法對比
Table 1 Comparison of the first set of data registration algorithm

算法 配準時耗/sRMSE/mm本文初始配準算法13.3050.1942基于區域初始配準36.8270.3564基于曲率圖初始配準53.2930.4372

表2 第二組數據初始配準算法對比
Table 2 Comparison of the second set of data registration algorithm

算法 配準時耗/sRMSE/mm本文初始配準算法31.9380.2184基于區域初始配準69.5710.3950基于曲率圖初始配準74.9050.4028

5.2 精確配準結果分析

在初始配準算法的基礎上,對基于區域中的稀疏ICP算法、基于曲率圖中的經典ICP算法和本文算法的配準準確度和配準時耗,做了對比實驗,實驗結果如圖4-圖5所示.

圖4 第一組數據精確配準結果對比Fig.4 Comparison of accurate registration results from the first set of data

由圖4(a)和圖5(a)分析可知,基于曲率圖中的經典ICP算法,可以大幅度提高配準的準確度,但是該算法的配準結果出現了局部最優的現象.由圖4(b)和圖5(b)顯示,基于區域中的稀疏ICP算法的精確配準,大部分區域有效的提高了配準的準確度,但是部分區域(下顎、臉頰)出現了誤配或錯配的現象.

圖4(c)顯示,在Destimation不同取值的情況下,當λ=3時,配準的準確度平均達到了89.83%;當λ=2時,配準的準確度平均達到了82.71%,額頭和臉頰部分出現錯配;當λ=1時,配準的準確度平均達到了73.63%,但是基于區域中的稀疏ICP與本文算法相比,配準效果更好,由圖可知,眼睛和下顎部分出現錯配以及誤配.由圖4(c)可知,在λ=3時,本文算法與基于區域中的稀疏ICP和基于曲率圖中的經典ICP算法相比,配準的準確度平均提高了15.26%和19.13%.圖5(c)顯示,在Destimation不同取值的情況下,當λ=3時,配準的準確度平均達到了91.70%;當λ=2時,配準的準確度平均達到了80.95%,下顎區域出現錯配;當λ=1時,配準的準確度平均達到了72.43%,右眼及下顎部分出現錯配以及誤配.由圖可知,在λ=3時,本文算法與基于區域中的稀疏ICP和基于曲率圖中的經典ICP算法相比,配準的準確度平均提高了16.82%和20.01%.由此說明本文提出的算法是有效可行的,在Destimation不同取值情況下,靈活有效的提高了配準的準確度,降低了配準時間復雜度.

圖5 第二組數據精確配準結果對比Fig.5 Comparison of accurate registration results from the second set of data

表3和表4分別為圖4和圖5的配準時耗和配準的RMSE,由表3和表4可知,基于曲率圖中的經典ICP的配準算法耗時較大,配準的RMSE分別為0.0829mm和0.0764mm.基于區域中的稀疏ICP,配準時耗與本文算法相比,配準時耗比較大,配準準確度比本文算法λ=1時好,但當λ=2和λ=3時,本文算法比基于區域中的稀疏ICP好.因此可知,與前兩種算法相比,本文配準效率整體得到了進一步提高,本文提出的算法有效的提高配準的準確度.

為了驗證本文算法的有效性和可行性,在初始配準的基礎上,對基于曲率圖中的經典ICP算法、基于區域中的稀疏ICP和本文改進ICP算法(λ=3)三種算法,在不同迭代次數下進行了誤差統計分析.實驗結果如圖6所示.

表3 第一組精確配準算法對比
Table 3 Comparison of the first set of data Accurate registration algorithms

算法RMSE/mm配準時耗/s基于曲率圖經典ICP0.0829135.574基于區域稀疏ICP0.0453105.570λ=30.0237本文算法λ=20.042671.968λ=10.0489

表4 第二組精確配準算法對比
Table 4 Comparison of the second set of data Accurate registration algorithms

算法RMSE/mm配準時耗/s基于曲率圖經典ICP0.0764173.293基于區域稀疏ICP0.0372146.827λ=30.0261本文算法λ=20.0354λ=10.0493109.736

由圖6看出,當iteration>35時,本文算法的RMSE趨于穩定,而基于區域中的稀疏ICP算法和基于曲率圖中的經典ICP算法,當iteration≥45時才趨于穩定.因此,本文改進的ICP算法與稀疏ICP算法和基于曲率圖中的經典ICP算法相比,收斂速度更快,配準的時間復雜度大大減小.當iteration=45時,本文改進的ICP算法的配準誤差比基于區域中的稀疏ICP算法提高了很多,與基于曲率圖中的經典ICP算法相比,配準的準確度大大提高.說明本文用提出的Destimation來剔除誤匹配點對的方法有效可行.本文算法不僅有效降低了配準的時間復雜度,還提高了配準的準確度.

圖6 不同迭代次數下的RMSE分析Fig.6 RMSE analysis of different iteration times

為了更加直觀的對比這三種方法,表5顯示,在38套屬性相近的顱骨測試數據集上,分別采用基于區域配準算法、基于曲率圖的配準算法和本文算法進行配準,并根據實驗結果,統計三種算法的平均配準誤差以及平均配準時耗.

分析圖4-圖5和表5可知,基于曲率圖的的配準算法尋找匹配點對的過程比較簡單,此方法主要是計算曲率,根據每個點的曲率值構造曲率圖,并根據曲率圖尋找匹配點,即需要計算顱骨模型中的所有點的曲率構造曲率圖以及待匹配顱骨中點到參考顱骨中所有點的曲率圖的加權距離,然后取距離最短的m個點作為潛在匹配點,這個計算過程十分費時,大大增加了算法的時間復雜度,又由于幾何約束條件太少,導致此方法配準的準確度降低,該方法精確配準部分應用經典ICP算法,即采用基于Euclidean距離的最近點對應方法尋找匹配點,而且對匹配點對沒有進行篩選,容易出現錯配現象,導致配準準確度大大降低.采用基于區域的自動配準算法,該方法首先需要將顱骨樣本進行區域劃分,然后對待匹配顱骨

表5 不同配準算法的平均誤差
Table 5 Average error of different registration algorithms

算法平均RMSE/mm平均時耗/s基于曲率圖0.0619116.071基于區域0.0398142.619λ=30.0196本文算法λ=20.0366109.736λ=10.0417

中的區域與參考顱骨中所有區域進行配準,這個過程計算復雜,使得配準的時間復雜度大大增加,精確配準階段采用稀疏ICP算法,該算法采用稀疏誘導范式代替經典ICP算法中的二范式,雖然使得匹配點對的準確度增加,但是依舊沒有進行誤匹配點對的篩選,而且還需要計算待匹配顱骨中的點到參考顱骨中所有點的稀疏誘導范式,這個計算過程,大大增加了配準的時間復雜度,降低了配準的準確度.本文算法采用Euclidean距離相似度等幾何特征作為約束條件,根據KNN算法以區域質心作為配準單位減少待匹配顱骨中區域與參考顱骨區域配準的區域數目,減少了計算量,大大提高配準效率,精確配準階段,采用kd-tree算法,有效的縮小了待匹配顱骨在參考顱骨中尋找匹配點的范圍,并且提出Destimation對匹配點對進行篩選,有效剔除了誤匹配點對,減少了計算量,降低了配準的時間復雜度,提高了配準的準確度.實驗表明,分別采用這三種方法進顱骨配準,本文算法的配準時耗是基于曲率圖配準算法的20%,是基于區域配準算法的16%,配準配準的準確度是其他兩種方法的2倍之余.

6 總 結

本文提出了結合分區和改進ICP的顱骨自動配準算法.首先在初始配準階段,進行顱骨分區,有效避免了特征點的標定以及曲率等幾何特征的計算,并運用基于質心的區域匹配得到相似的區域對,運用RANSAC算法得到最優變換矩陣.然后進行精確配準,初始配準為此階段提供了良好的初始值,避免了算法陷入局部最優,運用kd-tree算法尋找匹配點,并提出Destimation來剔除誤配的匹配點對.實驗表明,本文算法能有效緩解顱骨配準過程中出現的效率低和準確度不高的問題,滿足顱面復原中的顱骨形態統計要求.

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