解析函數的兩個充要條件之間的關系

于倩 沈明瑒 陶元紅

摘要：解析函數是復分析的主要研究內容，它在數論、流體力學、電磁學等方面有著廣泛的應用。本文通過梳理解析函數的五個充分必要條件，剖析了其中利用二元實變函數的性質判定復變函數解析的充要條件，展示了解析函數與二元實函數之間的密切聯系，并強調了解析函數的無窮可微性是這兩個充分必要條件之間等價的重要聯系。

關鍵詞：解析函數；二元函數；充要條件；無窮可微性

復變函數是實變函數在復數域上的推廣，其主要核心是解析函數。解析函數除了擁有與實變函數相同的一些性質以外還具備一些獨有的良好性質如無窮可微性，滿足方程以及能展成泰勒級數等。復分析主要通過微分、積分和級數的方法研究解析函數。因此為了更好地研究學習解析函數，本文首先梳理判定函數解析的五個充要條件。

一、判定函數解析的五個充要條件

定義1如果復變函數在區域內可微，則稱是區域內的解析函數，或稱在區域內解析。

若設在區域內有定義的解析函數為 ，則有如下五個判定函數解析的充分必要條件：

充要條件1二元函數在區域內可微，在內滿足方程。

充要條件2函數在區域內連續，且對內任一周線只要及其內部全部含于內且。

充要條件3對任意，只要圓含于，則在內能展成的冪級數。

充要條件4二元函數在區域內連續，且在內滿足方程。

充要條件5在區域內是的共軛調和函數。

由如上的等價條件，不難看出其中的充要條件1，4，5均是利用二元實函數來描述的，也就是說利用二元實函數滿足的性質就完全可以判定復變函數的解析性。由于充要條件是一種等價關系，所以上述五個充要條件是彼此等價的。

但是，充要條件4從形式上顯然是要強于充要條件1的，而且在數學分析中，多元實變函數偏導連續僅僅是該函數可微的充分不必要條件，這就讓我們不得不好奇它們之間的等價性是有什么性質來保證的。為此，我們不妨將這兩個充要條件分別描述成如下兩個完整的定理。

定理1函數在區域內解析的充分必要條件是二元實函數在區域內可微且在內滿足方程：

，.

定理2函數在區域內解析的充分必要條件是二元實函數在區域內連續，在內滿足方程。

二、兩個充分必要條件的證明與等價

在給出三個定理的具體證明之前，首先回顧一下解析函數具有著與實變函數完全不同的獨有的良好性質：無窮可微性，即解析函數的導數仍為解析函數，從而它的任意階階導數仍為解析函數。

定理1的證明：（充分性）由及的可微性有對于內任意一點，

其中及是的高階無窮小。由方程，設，，

即，其中，

故，，在區域內可導。

（必要性）在區域內解析則對于內任一點有，

（）

令，，，上式為：

，，及可微，且有，

定理2證明：（充分性）二元函數在區域內連續，即在區域內可微。故由定義1可知函數在區域內解析。

（必要性）由解析函數的無窮可微性，必在內連續，即在內連續。若在內任一點可微，則有

又設，，其中

，

，

（1）變為，在區域內解析極限存在，令，有

（2）

，有

（3）

比較（2）和（3）可得，。

關于這兩個定理的等價性分析：

定理1定理2：

由于解析函數具有無窮可微性，所以其任意階導數都存在并且連續，即二元函數的具有無窮階連續偏導，因此定理1定理2。

定理1定理2：

由數學分析可知二元函數在區域內連續則在區域內可微，故定理2可推導出定理1。

三、結論

雖然定理1和定理2在復分析的范圍內是等價的，但是在數學分析的基礎上，由于多元實變函數偏導連續是函數可微的充分不必要條件，定理1推導不出定理2。定理2具備的條件更嚴格。但在復變函數論中，復變函數解析就具有無窮可微性，因此便存在任意階連續偏導，所以定理1和定理2之間等價。

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