基于后測的《可能性》教學分析與改進

摘要：教學設計的改進得益于對學生后測水平情況的分析。改進后的教學活動體現了以下三個特點：第一是合理設計實驗活動，為學生奠定正確的直覺；第二是注重學生間的交流，關注各組實驗數據的比較和分析；第三是讓學生親近數據，體會數據的價值。在進行教學設計時，要從發展學生數據分析觀念的角度出發，讓學生親身經歷數學活動的全過程，在收集、觀察、整理、分析、思考和交流中，積累數學活動經驗，增強對數學思想的理解，豐富學習過程的體驗。

關鍵詞：后測教學改進隨機性

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標”）中提到數據分析觀念時指出：“通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律。”許多學者也將隨機性看作統計學最重要的特征。在統計與概率這一領域中，數據的隨機性現象有很多，蘇教版小學數學四年級上冊安排了《可能性》一課，通過摸球游戲認識隨機性。這一課在一個班（以下稱為“甲班”）教學后，筆者進行了教學后測，并在分析后測的基礎上對教學設計進行了調整，在另一個班（以下稱為“乙班”）再次教學并進行了后測后，筆者對兩個班的教學實效進行了對比分析。

一、甲班教學片段

（教師出示一個透明的塑料袋，里面裝有6個黃球和1個白球。）

師同學們，這個袋子中裝有6個黃球和1個白球，如果從中任意摸出一個球，可能是什么顏色的球？摸到什么顏色的球的可能性大一些？

（學生略加思考后交流。）

生可能摸到黃球，也可能摸到白球。

生摸到黃球的可能性大，因為黃球的個數多。

師是不是這樣呢？可以用什么辦法驗證？

生可以做實驗來驗證一下。

（學生都表示同意。）

師實驗是個好辦法！下面就請同學們分小組進行實驗，記錄實驗結果，驗證一下大家的想法。

（各小組做實驗，教師巡視指導。）

師請大家匯報一下你們的實驗結果。

生我們小組一共做了20次實驗，摸到黃球14次，摸到白球6次。

生我們小組摸到黃球的次數比摸到白球的次數多很多。

生我們小組驗證了摸到黃球的可能性大。

生我們小組也做了20次實驗，摸到黃球9次，摸到白球11次。

師是嗎？你們可能沒有搖勻。

二、甲班學生后測

這樣的教學是否有效？筆者即時對學生進行了后測。

（一）后測題目

后測安排了三道試題：

袋子中裝了黃、白兩種顏色的球，一共有10個，它們除顏色外都一樣。每次摸出1個球，摸球之前把球搖勻，摸球之后將球放回袋中。

（1）任意摸出1個球，會摸出什么顏色的球？

（2）6個小組，每組都拿著和上面同樣的袋子進行摸球游戲。每組摸10次，結果如下：

第一組摸出7次黃球，3次白球；

第二組摸出9次黃球，1次白球；

第三組摸出4次黃球，6次白球；

第四組摸出6次黃球，4次白球；

第五組摸出7次黃球，3次白球；

第六組摸出8次黃球，2次白球。

第三組同學摸球的情況和其他組都不一樣，他們摸出的黃球比白球少。對此你是怎么想的？把你的想法寫下來。

（3）根據以上數據，請你推測袋子中有幾個黃球，幾個白球。把你的思考過程寫下來。

我推測袋子中有個黃球，個白球。

我的思考過程是。

（二） 后測情況分析

在后測評價時，筆者借鑒了張丹老師的評價框架，把學生達到的水平分為4個等級，從低到高分別是水平1、水平2、水平3、水平4。各等級的描述和判斷標準見表1。

甲班學生后測水平分布情況匯總見表2。表1

等級描述判斷標準水平4既認識到數據中蘊含的規律，也承認例外在具體情境下，不僅能解釋由隨機性帶來的“異常”情況，而且能利用數據中蘊含的規律做出合理推斷水平3對不確定性的認識與規律性的認識不能取得協調在具體情境下，能解釋由隨機性帶來的“異常”情況，但受此影響，不能利用數據中蘊含的規律做出合理推斷水平2初步認識數據的不確定性能認識到數據結果的不確定性，但在具體情境下，無法解釋由隨機性帶來的“異常”情況水平1主觀判斷結果不能認識到數據結果的不確定性表2

水平1水平2水平3水平4合計人數12921244占比/%2.365.94.527.3100各水平學生作答舉例及分析如下：

水平1的學生后測第（1）題作答：“一定會摸出黃顏色的球。”這樣的作答說明學生沒有認識到數據結果的不確定性，只是根據自己的主觀經驗判斷結果。

水平2的一位學生后測第（1）題作答：“可能摸出黃球，也可能摸出白球。”第（2）題作答：“他們組可能黃球少，白球多。” 還有的學生將“異常”情況解釋為“球放得不對”“沒有搖勻”等。這些答案說明學生能夠認識到數據的不確定性，但在實際摸球的過程中出現“異常”情況時，他們無法給出合理的解釋。從這些作答中可以看出，雖然他們在簡單情境下承認數據結果的不確定性，但當有“異常”情況出現時，他們又動搖了。即在復雜情境下，學生對“異常”情況的出現難以理解，不能給出合理解釋。

水平3的一位學生后測第（2）題作答：“第三組是偶然性（事件）。”第（3）題作答：“第一組和第五組摸出來的都是7次黃球，3次白球，所以我覺得袋中有7個黃球，3個白球。”這個作答說明學生能夠在復雜情境下承認數據的不確定性，但受此影響，不能利用數據中蘊含的規律做出合理判斷。這位學生能夠意識到第三組數據是偶然事件，但受到“異常”情況的影響，他沒有總結出數據中蘊含的規律，而是以出現次數最多的數據進行推斷，沒有從整體上進行推斷。

水平4的一位學生后測第（2）題作答：“他們的運氣不一樣。”第（3）題作答：“黃球一定比白球多，黃球摸到的平均數差不多是7，白球摸到的平均數差不多是3。”這位學生承認了“異常”情況的存在——“他們的運氣不一樣”，但也認為總體來說數據中是存在著規律的。他總結規律的方法是用6個組摸出黃球和白球的平均數去推測袋子中黃球和白球的個數，并運用這個規律做出了相對合理的推斷。

三、甲班教學實效分析及改進

由表2數據可以看出，大多數學生停留在水平2，說明大部分學生無法解釋隨機性帶來的“異常”情況。在甲班教學片段中，教師首先組織學生進行摸球實驗，實驗的目的是驗證摸到黃球的可能性大，這種教法本身沒有錯，只是其中蘊含的隨機思想并不強，學生體會更深的是“摸到黃球的可能性大，因為黃球的個數多”，而對隨機出現的“異常”情況沒有太多的體會。其次，教師一開始就說明了黃球和白球的數量，因此，實驗中學生缺少根據數據總結規律并運用規律進行合理推斷的過程，也就難以體會到數據中蘊含的信息。另外，當數據出現“異常”情況時，教師也未能機智地處理，錯失了一次讓學生體會數據中既蘊含規律又有例外的極好機會。

基于以上分析，筆者嘗試改進教學設計：首先，設計一個類似猜謎的活動，讓學生產生實驗的需求；然后，組織學生進行實驗，根據實驗數據嘗試總結數據中的規律，并運用規律做出合理推斷；最后，比較各組摸球的情況，再次體會數據中蘊含的規律和例外。這樣處理，一方面能激發學生的學習興趣；另一方面，讓學生既體會了隨機性，又感受到數據中蘊含著規律。

四、改進后的乙班教學片段

（教師出示一個黑色布袋子，里面裝有一些球。）

師老師手里的袋子中有一些黃球和白球，它們除了顏色之外其他完全相同。任意摸出其中一個，是不是你想摸到什么顏色就能摸到什么顏色？

生不是的。

生摸出來的可能是黃球，也可能是白球。

師到底是不是這樣呢？我請一位同學上來試一試。

（學生上臺摸球，第一次摸出黃球。）

師能確定第二次摸出來的是什么顏色的球嗎？

生還是不能確定。

師請這位同學繼續摸第二次。

（學生還是摸出黃球。）

師對于這個結果，你有什么想法？

生盒子里有黃球和白球，每次摸出來的球是不確定的，可能是黃球，也可能是白球。

師同學們，如果不看袋子里的球，你有辦法知道哪種顏色的球多嗎？

生可以摸一摸，再看一看。

生哪種顏色摸到的次數多，哪種顏色的球就多。

師真會想辦法！下面我們就來做個摸球實驗。

（教師宣布實驗規則，各小組開始實驗，每組摸球20次，教師巡視、指導。）

師根據實驗結果，你能從中獲得什么信息？把你獲得的信息和同組的同學交流一下。

（學生組內交流。）

師哪個小組愿意把你們的實驗結果給大家匯報一下？

生我們小組共摸出黃球15次，白球5次，摸出黃球的次數多一些。

生我們小組共摸出黃球14次，白球6次，也是摸出黃球的次數多一些。

生我們小組跟他們不一樣，摸出黃球9次，白球11次。

（教師集中展示各小組的實驗結果。）

師袋子中球的情況都是一樣的，為什么每組摸到黃球的次數卻不一樣呢？

生每組的運氣不一樣。

生如果再做一次實驗，結果可能與這次也不一樣。

師（手指各小組的實驗結果）這是全班12個小組的摸球情況，請大家仔細觀察，你又能從中發現什么？

生我發現，基本上每個小組都是摸出黃球的次數多，摸出白球的次數少。

師相信大家都有這樣的發現，每個袋子中都有黃球和白球，為什么大部分小組都是摸出黃球的次數比較多呢？

生可能是袋子中的黃球多，白球少。

師這是你們的猜測，這種猜測對不對呢？有什么辦法可以驗證一下？

生打開袋子看一看。

師好！我們一起打開袋子。

（各小組打開袋子。）

師先數一數，你們小組的袋子中黃球和白球各有幾個？再聯系剛才的實驗結果，你明白了什么？

生我們組的袋子中有6個黃球和1個白球，黃球比白球的個數多，摸出黃球的次數就比白球多。

生我們組的袋子中也是6個黃球和1個白球，我們發現：里面的黃球多，摸出黃球的可能性就大；里面的白球少，摸出白球的可能性就小。

……

師看來，摸出這兩種顏色球的可能性是有大有小的。如果再摸一次，你們覺得摸到什么顏色的球的可能性大？為什么？

生摸出黃球的可能性大，因為袋子中黃球的個數多。

師大家同意他的看法嗎？

生（齊）同意。

師每個小組袋子中的球都是一樣的，但剛才有一個小組摸球的情況有點特別，他們摸出黃球9次，白球11次。對于這種情況，你們怎么看？

生這是一個偶然情況。

生可以多摸幾次看看，我覺得摸的次數多一些，摸到黃球的次數就會比白球多。

師很好！那么，在摸球實驗中，可能性的大小到底與什么有關呢？

生與球的數量有關。

五、乙班學生后測情況分析

在乙班授課結束后，筆者用同樣的三道題對乙班的學生進行了后測，乙班學生后測水平分布情況匯總見表3。

表3

水平1水平2水平3水平4合計人數01782045占比/%037.817.844.4100從表中可以看出，乙班學生水平2的人數相對較少，而水平4的學生人數比較多，從水平4的學生作答中可以看出，學生已經能夠根據數據總結出一定的規律，并運用規律做出合理的推斷。

六、兩班教學實效對比分析

首先要說明的是，兩個班學生平時的學習水平相當。從兩個班學生的后測水平分布情況匯總表中可以看出，乙班水平3和水平4的人數明顯要比甲班的多，說明乙班多數學生在具體情境下能夠解釋由隨機性帶來的“異常”情況，而且有近一半的學生能總結出數據中蘊含的規律，并能運用規律做出合理的推斷。這說明教學改進是有效的。

值得一提的是，兩個班學生的后測情況都反映出處在水平3的學生比較少。這說明，部分學生在不能很好地解釋“異常”情況時，他們會質疑該組的實驗方法有問題，而不是分析數據，抑或是不會分析數據。筆者認為，這是因為課堂上囿于時間限制，這些學生沒有充分參與交流，無法體會到數據中既蘊含規律又有例外。

教學設計的改進得益于對學生后測水平情況的分析。改進后的教學活動體現了以下三個特點：第一是合理設計實驗活動，為學生奠定正確的直覺；第二是注重學生間的交流，關注各組實驗數據的比較和分析；第三是讓學生親近數據，體會數據的價值。

七、教學思考

“數據分析是統計的核心”，它反映了統計與概率領域蘊含的數學思想和方法，要讓學生學會用數據來發現、提出問題，分析、解決問題，并養成習慣、形成觀念，這就需要讓學生經歷過程、積累經驗。正如2011版課標中說的：“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等活動過程。”因此，在進行教學設計時，要從發展學生數據分析觀念的角度出發，讓學生親歷數學活動的全過程，在收集、觀察、整理、分析、思考和交流中，積累數學活動經驗，增強對隨機數學思想的理解，豐富學習過程的體驗。

*本文系蘇州市教育科學“十三五”規劃立項課題“小學生數據分析觀念評價的實踐研究”（編號：16032076）研究成果之一。

參考文獻：

[1] 張丹.小學生數據分析觀念發展過程的研究[D].東北師范大學，2015.

[2] 史寧中，張丹，趙迪.“數據分析觀念”的內涵及教學建議——數學教育熱點問題系列訪談之五[J].課程·教材·教法，2008（6）.課堂回放