強化基本圖形，突出變式研究

摘要：“軸對稱圖形”的復習教學應該強化基本圖形，突出變式研究，從而實現知識的生長和經驗的遷移。可以安排“建構軸對稱圖形的核心知識”“利用軸對稱圖形知識解決問題”“探究新的軸對稱圖形的性質”三個環節，并圍繞相應問題展開。

關鍵詞：軸對稱圖形復習教學基本圖形變式研究

一、“軸對稱圖形”復習教學的目標與思路

蘇科版初中數學八年級上冊“軸對稱圖形”一章的復習教學，教師要幫助學生梳理軸對稱、軸對稱圖形和線段、角、等腰三角形的軸對稱性的有關知識，使其系統化；強化線段、角、等腰三角形的軸對稱性之間的聯系，并運用這種軸對稱性解決問題；進一步發展幾何直觀和有序表達能力，充分體會轉化思想的運用。為此，本節課的教學應該強化基本圖形，突出變式研究，從而實現知識的生長和經驗的遷移。

（一）強化基本圖形

所謂基本圖形，是指組成一個幾何問題的最簡單、最重要，又具有特定性質、能夠闡明應用條件和應用方法的圖形。本章中的基本圖形有線段、角、等腰三角形以及這些圖形的簡單組合。對基本圖形進行不同的組合，可以得到不同的幾何問題。挖掘發揮主要作用的一個或幾個基本圖形，并運用這些基本圖形及其性質解決所給的問題，既可以引導學生自主建構本章的知識網絡，也可以提高學生的解題能力。

（二）突出變式研究

幾何是研究“式結構”的一門基礎科學。式結構一方面是指圖形本身的結構，這是一個注重圖形定量的研究方式；另一方面是指圖形的變化形式，即通常所說的變式研究，這是一個注重圖形定性的研究方式。因此，本章的復習還要突出對基本圖形的變式研究，包括變換圖形的形狀，如等腰三角形到等邊三角形的變換。也包括變換問題的條件和結論、形式和內容，設計出不同層次、水平的練習。由此，引導學生從不同角度理解軸對稱圖形的本質屬性，為今后在復雜的圖形中識別、抽取基本圖形解決問題做好準備。

（三）注重拓展延伸

為了實現“推陳出新”，本章的復習中不但要注意綜合運用軸對稱圖形知識本身，而且要注意運用軸對稱的性質解決問題，將研究軸對稱圖形的方法運用到研究新圖形的過程中。具體來說，可以將探究等腰梯形的性質作為拓展延伸的環節。這樣的設計不僅立意較高，而且可以潛移默化地引導學生感受數學知識和方法的整體性。

二、“軸對稱圖形”復習教學的設計及意圖

基于上述目標與思路的分析，“軸對稱圖形”的復習教學可以安排以下三個環節，并圍繞相應問題展開。

（一）建構軸對稱圖形的核心知識

問題1在△ABC中，AB的垂直平分線分別與AB、BC相交于點D、E、AC的垂直平分線分別與AC、BC相交于點F、G。

（1）如圖1所示，AB≠AC，你有哪些發現？請寫出你所發現的結論。

（2）如圖2所示，AB=AC，你又有哪些發現？

（3）如圖3所示，當△ABC滿足什么條件時，△AEG是等邊三角形？證明你的結論。

問題2（1）如圖4所示，AD是△ABC的中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF，求證：AD是∠BAC的平分線。

（2）改變（1）中的條件和結論，使其仍為一個真命題，并給予證明。

問題1是一個開放的問題，可以直接切入復習主題。對于第（1）問，所有學生都能有所發現，比如AE=BE，AG=CG等線段之間的數量關系，∠B=∠BAE，∠C=∠CAG等角之間的數量關系，△ABE和△AGC是等腰三角形，甚至△AEG的周長等于線段BC的長。教師可以順勢引導學生總結線段垂直平分線定理這一本章的核心知識。第（2）（3）問的設計一方面引導學生感受當圖形變得越來越特殊時相應條件和結論的變化；另一方面凸顯了等腰三角形的性質、判定的核心內容以及與等邊三角形之間的內在聯系。

問題2具有一定的典型性，體現了“等腰三角形三線合一”和角平分線性質逆定理的核心知識以及解決這類問題的基本方法，符合大多數學生的認知水平。其多種證明方法和多個相關結論，能體現學生個體解題策略、認知水平的差異。

通過對兩組題目中不同結論、不同解法的歸納、比較，在體現教學適切性的同時，能夠較好地實現強化基本圖形認識（如圖5）的目標。

（二）利用軸對稱圖形知識解決問題

問題3在△ABC中，∠B、∠C的平分線交于點O，過點O作EF∥BC，分別交AB、AC于點E、F。

（1）如圖6所示，AB=AC，圖中有幾個等腰三角形？猜想EF與BE、CF之間的數量關系，并說明理由。

（2）如圖7所示，AB≠AC，上述EF與BE、CF之間的數量關系還存在嗎？

（3）如圖8所示，在△ABC中，∠B的內角平分線與∠C的外角平分線交于點O，過點O作OE∥BC，分別交AB、AC于點E、F，則EF與BE、CF之間的數量關系又如何？說明理由。

問題4如圖9所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試判斷BC與AC、AD之間的數量關系。

問題3通過一系列的變式探究線段之間的數量關系，解決的方法是抓住圖形中的軸對稱圖形（等腰三角形），運用轉化的思想，將原本分散的線段集中到一條直線上。

問題4繼續探究線段之間的數量關系，解決的方法是抓住圖形中的角平分線，構造軸對稱圖形（如“在邊BC上截取CA′=CA，連接DA′”“在邊BC上找A′，使DA′=DA，連接DA′”“作AA′⊥CD，交BC于A′，連接DA′”等）。

問題3和問題4都是在具體的幾何圖形中研究線段之間的數量關系，它們前后串聯、逐步生長，形成一個運用軸對稱圖形知識的有機整體。教師可以適時引導學生反思和總結，揭示題目共性，回歸數學本質，幫助學生從原有的知識結構中生長出新的知識經驗，形成解決這類問題的策略。

（三）探究新的軸對稱圖形的性質

拓展延伸你能運用本章所學的知識、方法和經驗來研究等腰梯形的軸對稱性嗎？你準備從哪幾個方面來研究？

從提高教學整體性和提高學生系統思維水平的角度來看，引導學生感悟研究幾何圖形的通法，學會將研究幾何圖形的方法進行遷移，從而習得新的知識，實現知識的“再生長”。這里可以引導學生類比等腰三角形的性質和判定，研究等腰梯形的性質和判定，如它是否存在某些線段和角的相等關系等。也可以引導學生通過折紙，驗證等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是連接上下底中點的直線。經歷“觀察—猜想—證明”的知識發現過程，感悟合情推理和演繹推理的相輔相成關系，學生自然能產生將原有知識和經驗遷移到新問題的研究中去的意識，并逐步感受研究幾何圖形性質的一般套路。

參考文獻：

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