概率論教學中培養數學思維的探討

李立明　魏　君　孫旭陽

（吉林大學數學學院公共數學教學與研究中心，吉林 長春　130012）

概率論是很多高等院校學生的一門重要的公共基礎課，它是研究大量隨機現象背后隱藏的統計規律性的一門學科，有別于其它研究確定性現象的學科。概率論的教學任務不僅是傳授概率論的知識、思想和方法，更重要的是將概率論的思維方式滲透到教學過程中，啟迪學生的智慧，挖掘學生的潛能，培養學生的數學思維能力以及創新能力。本文結合教學實際，對概率論教學中如何培養學生的數學思維進行了一些探討。

一、引導學生將隨機性思維和確定性思維有機結合

高中數學中對概率論就有了簡單的介紹，但是只講述如何求概率，并沒有給出概率的嚴格的數學定義。而大學階段的概率論的基礎是微積分、線性代數，更加嚴謹抽象和晦澀難懂。從課程開始就引導學生用新的思維方式——隨機性思維來思考、分析和解決問題非常重要。

傳統的確定性思維認為所有的問題的答案都是獨一無二的，完全確定的，然而現實世界中的很多問題都沒有程式化的確定答案，像“明天是否下雨”“股票是否上漲”等，根本原因在于生活中隨機現象的廣泛存在。因為隨機現象是大量微小的隨機因素共同作用的結果，所以對于隨機現象，誰都不可能完全準確無誤的預測，就連確定性的數學模型也是忽略掉諸多次要因素才得以產生。

例如拋一枚硬幣，可能出現正面，也可能出現反面，正反面的出現是隨機的，誰也不能百分百地預測。但是如果將一枚硬幣重復地拋很多次，卻可以預言大約50%次數出現正面或反面。也就是說，雖然隨機現象具有偶然性，但是大量隨機現象卻蘊含著必然性。概率論最重要的極限定理之一“大數定律”的核心思想就是：大量隨機現象的平均結果具有穩定性。概率論就是要教學生用隨機的眼光，透過表像的偶然，尋求內部的必然。

大千世界，隨機因素無處不在起作用。概率論與實際生活息息相關，在各行各業、各個領域中應用也十分廣泛。在概率論的教學中，如果教師能在確定性思維基礎上，引導學生用隨機性思維來思考、分析和解決問題，并能學以致用，解決生活中的概率問題，不僅會提高學生的思維品質，還能培養創新能力。

二、引導學生將辯證思維和概率論思維有機結合

概率論中包含著大量的辯證法思想，比如偶然中蘊含必然，量變積累產生質變、無限與有限的轉換，等等。教師如果在教學中能合理滲透辯證法思想，引導學生將辯證思維和概率論思維有機結合，可以更好地幫助學生理解教學內容，將概率論深刻的思想內涵，內化為自身的數學素質，提高智力品質，完善思維結構。

1、量變到質變的辯證思維

在概率論中，我們把概率很小（接近于0）的事件稱為小概率事件。小概率事件在一次試驗或少量的幾次試驗中，雖然有可能出現，但是出現的可能性很小，可稱為“幾乎不可能”事件。但是在大量重復獨立試驗中，小概率事件的概率會變得接近于1，成為大概率事件。因為大概率事件出現的可能性很大，可稱為“幾乎必然”事件。

例如：假設白菜種子中混有0.4%的油菜種子，從一大口袋這樣的種子中任取100粒或1500粒，計算取出的種子中有油菜種子的概率。

解：以Ai表示所取出的第i粒種子為油菜種子（i=1,2，…，n），由題意可以認為各個事件Ai（i=1,2，…，n）相互獨立，因此取出的n粒種子中有油菜種子的概率為

取出的100粒種子中有油菜種子的概率為

取出的1500粒種子中有油菜種子的概率為

從小概率0.004到大概率0.9976的轉變，或者說從“幾乎不可能”事件到“幾乎必然”事件的轉變，不是一蹴而就的，是伴隨著試驗次數的不斷增加而逐漸產生的。試驗次數越多，小概率事件出現的可能性越大。隨著試驗次數的不斷增加，小概率事件的概率經過“量”的不斷積累，最終突破了一定的“度”，產生了“質”的飛躍，變成大概率事件。

2、有限與無限的辯證思維

以幾何概型為例，它也稱無限等可能概型，特征是樣本空間的樣本點無限多，連續地充滿某個區間、平面區域或立體區域，且每個樣本點的出現都是等可能的。幾何概型中概率的計算，本來是對無限多的樣本點的運算，但是可以通過改變計量方式，轉化成對有限的區間的長度、有限的平面圖形的面積或有限的空間立體的體積的運算。簡單地說，在一定條件下，無限可以轉化為有限。

例如：將長為m的線段任意折成三段，求所得三段能構成三角形的概率。

解：設所折三段長分別為x、y及m-x-y，應滿足

樣本空間的樣本點（x，y）構成△OAB。

所折三段能構成三角形，應滿足

此事件的樣本點（x，y）構成區域△CDE。從而所求概率為

反過來，有限也可以轉化為無限。以概率的定義為例，概率是度量事件發生可能性大小的數，這個數是事件本身所固有的，它是一個位于0和1之間的有限的數。由概率的統計定義和伯努利大數定律可知，這個數可以用無限增大試驗次數的方法，利用頻率的穩定值獲得。

三、引導學生將聚合性思維和發散性思維有機結合

聚合性思維也可以叫收斂性思維，是在一定范圍之內有固定規則和確定方向的思維模式，強調的是對已有信息的理解和綜合使用。反之，發散性思維是沒有范圍、規則和方向的思維模式，海闊天空任憑想象，強調的是對新信息的聯想和綜合運用。

在概率論的教學過程中，如果一味地強調聚合性思維，缺少對發散性思維的鼓勵，會僵化學生的思想，束縛學生的想象力，使學習過程變得教條和枯燥，易使學生失去學習概率的興趣和動力。相反，教師如果能在聚合思維基礎上，恰當地引導學生運用發散性思維，鼓勵學生展開想象的翅膀，鼓勵學生從多角度、多方面思考問題，就會極大地調動學生的熱情，積極主動參與到學習中。

聚合性思維和發散性思維的有機結合，使學生在學到數學知識的同時，思維能力也得到了拓展，數學素質有了進一步提高。

解題教學是概率論教學中比較重要的一個環節，概率論中的新的概念、方法等都需要通過解題訓練得以鞏固。在概率的解題過程中，一題多解就是發散性思維的一個體現。

例如：有10個人隨機地繞著一個圓桌而坐，求張三、李四兩個人座位相鄰的概率。

解法1：按照圓周排列的方法求解。10個人中的第一個人有10個座位可以選擇，第二個人有9個，第三個人有8個，照此類推共有10!種坐法。可以注意到：每一種坐法經過旋轉都可以產生10種坐法。因為圓桌排列不用考慮排頭，所以這10種坐法是重復的。去掉重復的坐法，10個人繞圓桌而坐共有9!種坐法。李四和張三座位相鄰看作占一個座位，兩人座位可以交換，故有2×8!種坐法。故所求概率為

解法1是常規解法，屬于聚合性思維。這種解法的訓練，可以鞏固學生對所學知識的理解和熟練運用。

解法2：不妨假設張三先坐下，那么張三有10種坐法，相應于張三的每一種坐法，李四在剩下的9個座位中選擇一個，即李四有9種坐法，即基本事件總數為9，而李四和張三座位相鄰有2種坐法，故所求概率為

解法2去繁求簡，假設一個人先坐下，著重關注另一個人的坐法，在縮小了的樣本空間中求解。這種解法簡單獨特，標新立異，從不同的角度思考問題，拓寬了學生的思路，鍛煉了發散性思維。

四、引導學生將批判性思維和概率論思維有機結合

批判性思維，是指用質疑、批判、否定的態度，大膽破除思維慣性的束縛，在思維的過程中不斷地作出評判。批判性思維表現為能獨立思考，不盲從，有個人獨到的見解和判斷。

批判性思維既是求異思維，也是創造性思維。

在概率論的教學中，引導學生將批判性思維和概率論思維有機結合，鼓勵學生對所研究對象的真實性、價值做出評判，這種評判當然不是對已有知識的完全否定，而是對已有知識的揚棄、發展和創新。

例如：某地罹患癌癥的人占0.005，罹患癌癥的人對一種醫學檢驗反應是陽性的概率為0.95，健康人對這種檢驗反應是陽性的概率為0.04，在該地隨機抽查了一個人，檢驗結果是陽性，問此人罹患癌癥的概率有多大?

解：設C={抽查的人患有癌癥}，A={試驗結果是陽性}，所求概率為 P(C|A)。根據貝葉斯公式由題意，P(C)=0.005，P（C）=0.995，P（A|C）=0.95，P（A|C）=0.04，帶入數據進行計算得P（C|A）=0.1066，即檢驗結果為陽性的人罹患癌癥的概率為0.1066。

在講解這個概率問題時，教師對運算結果不要一帶而過，應引導學生大膽質疑，對所研究結果的真實性、價值做出評判。比如檢出陽性的人是否一定患有癌癥?這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥到底有無意義？如何進一步提高試驗的價值？等等。批判性思維不僅可以調動學生的熱情，提高學生主動參與的意識，還能提高學生的識別、反駁和重建的能力，提高學生思考問題的嚴謹性、深刻性。

總之，在概率論的教學中加強數學思維的培養，可以使學生更深刻地理解概率論的知識、思想和方法，還可以引導學生用數學思維去分析、解決實際生活中的問題，增強應用數學的意識和創新能力。數學教師應當明確大學生素質教育的目標，根據概率論的學科特點，積極研究并實施數學思維教育，促進大學生綜合素質的全面發展。

參考文獻：

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