無線傳感器網絡中的線性移動目標運動參數捕獲方法*

吳曉平,華宇婷,胡軍國,2,王國英

(1.浙江農林大學信息工程學院,浙江 臨安311300;2.浙江省林業智能監測與信息技術研究重點實驗室,浙江 臨安 311300)

通過節點間的傳感信息交換與收集,實現對移動目標位置的估計與預測,即移動目標跟蹤是無線傳感器網絡的重要應用方向[1-2]。比如,在軍事環境下對特定目標的跟蹤,動物生活習性的監測以及交通應用中的移動目標跟蹤等都可以采用無線傳感器網絡來實現。通過無線傳感器網絡中移動節點與它節點間的信號測量、采樣與數據收集,以確定移動節點的運動路徑與參數,即移動目標跟蹤亦具有重要的研究價值。在大量關于無線傳感器網絡移動目標跟蹤的研究中,研究人員重點關注如何精確快速地獲取移動目標位置與運動參數[3-4]、如何實現高效地數據收集以及節省能量和通信開銷[5]。

移動目標跟蹤的重要內容就是估計移動目標的當前位置參數或預測將來的位置參數[6-7]。為獲取當前位置參數即定位目標位置坐標,通常需要測量節點間距離,再利用定位算法估算移動目標的位置。常用的節點間距離測量方法包括到達時間(TOA)[8]、到達時間差(TDOA)、到達角度(AOA)[9]與信號接收強度(RSS)[10-11]等。根據建立的節點間距離約束方程,已有的定位算法包括極大似然(ML)估計法、最小二乘線性代數法[12-13]及凸優化算法[14]等。ML估計法一般采用數值計算方法估計,但數值計算方法嚴重依賴于初始解,若初始解選擇不合適,有可能導致局部最優,為此提出了最小二乘線性代數法及凸優化算法。最小二乘線性代數法將計算結果直接表示為代數解,計算過程較快。凸優化算法中常見的主要為半正定規劃(SDP)算法,SDP算法將非凸優化模型松弛為凸優化模型,具有較多的變量和等式約束,計算復雜度較高,但算法穩定性較好。

移動目標的位置估計對于事件監測、輔助定位及覆蓋控制等都具有重要意義,也是移動無線傳感器網絡的重要內容[15]。常用的移動目標位置估計方法包括卡爾曼(KF)濾波[16]、擴展卡爾曼(EKF)濾波以及粒子(PF)濾波[17]等。當觀測方程存在高斯噪聲時,KF濾波通過不斷的預測與校正更新估計值,以提高移動目標的跟蹤精度,但KF濾波只適用于線性運動與觀測方程。為將預測模型應用于非線性方程,EKF濾波對非線性方程進行線性化,傳統的KF濾波應用范圍進一步擴大。但KF濾波及EKF濾波只能用于高斯噪聲的處理,為此提出了PF濾波,通過不斷地重采樣方法實現對目標位置的預測與更新。

采用節點間的TOA測量方法,本文介紹了一種無線傳感器網絡中移動目標的運動參數捕獲方法。假設移動目標的線性移動模型,通過移動節點與信標節點間的TOA測量,建立了移動目標運動參數的優化估計模型。根據建立的運動參數優化估計模型,推導了線性移動目標初始位置及移動速度的非約束線性最小二乘(ULLS)和約束線性最小二乘(CLLS)方法。將估計模型松弛為凸優化的SDP問題,提出了運動參數捕獲的SDP算法。通過對算法的仿真實現與分析,進行了各算法的性能比較,分析了采樣周期及采樣點數量對捕獲精度的影響。

本文第1部分首先線性移動目標與信標節點間測量的問題描述;第2部分推導了ULLS和CLLS的代數計算方法;第3部分提出了估計模型的SDP算法;第4部分問題模型的克拉美羅(CRLB)下界值;第5部分為仿真分析;最后部分為結論。

1 問題描述

假設在二維平面(三維空間的分析方法同二維平面)上分布著M個已知位置坐標的信標節點,其坐標位置分別為xi=[xiyi]T,(i=1,2,…,M)。同時在該區域上有一移動目標節點從初始位置x0=[x0y0]T出發,以速度ν=[νxνy]T恒定速度保持勻速直線移動,如圖1所示。

圖1 移動節點與信標節點的位置分布示意圖

移動節點從初始位置x0以恒速ν直線移動,同時以采樣周期T間隔測量與各信標節點間的TOA到達時間,并將此表示為ti,n,有以下關系式

(1)

di,n=‖xi-x0-nTν‖

(2)

將式(2)代入式(1),可表示為

(3)

式中:n=0,1,2,…,N,i=1,2,…,M。令en=[1nT]T,可將式(3)進一步表示為

(4)

(5)

所建立優化方程(5)的目標是精確地估計出移動節點的初始位置x0及移動速度ν。為求解上述未知向量,可以采用數值計算方法。但數值計算方法有可能陷入局部最優,本文下面分別介紹線性代數法及凸優化算法的實現過程。

2 線性代數法

為獲取移動目標的位置及運動參數,本節介紹將優化方程(5)轉化為最小二乘估計問題,分別設計了非約束線性最小二乘法及約束線性最小二乘估計法。

2.1 非約束線性最小二乘法

線性代數法直接將估計值表示為代數形式解析解,計算過程較快。為得到優化方程的代數解,先對式(3)進行等效變換,重新表示為

‖xi-μTen‖=c(ti,n-εi,n)

(6)

對式(5)兩邊平方,考慮噪聲εi,n的較小波動范圍,忽略二次高階項,可以得到

(7)

式中:n=0,1,2,…,N,i=1,2,…,M。由于en=[1nT]T,將μ=[x0ν]T代入式(7),可重新表示為

(8)

Aη=b+α

(9)

根據線性最小二乘平方原理,未知向量η的估計值為

(10)

式中:維度為M(N+1)×M(N+1)的權重矩陣Σα=E(αTα),其值表示為

(11)

假設未知向量η的估計誤差為Δη,其值表示為

(12)

將估計誤差Δη的方差表示為cov(Δη),有

(13)

2.2 約束線性最小二乘法

(14)

式中:η(k)、Δη(k)表示了向量η、Δη的第k個元素,k=1,2,…,6。可將式(14)表示為線性矩陣形式

Gu=h+γ

(15)

(16)

同樣利用線性最小二乘平方原理,向量u的無偏估計表示為

(17)

式中:維度為6×6的權重矩陣Σγ值為

(18)

(19)

將以式(19)表示的計算過程考慮了向量η中元素間的相互約束關系,得到了更為精確的估計結果,將此計算方法稱為移動節點參數捕獲問題的約束線性最小二乘(CLLS)方法。

3 凸優化SDP算法

SDP算法將建立的式(5)所描述的非凸優化模型松弛為凸優化問題。將式(1)重新整理,公式兩邊平方,忽略二次高階項,有關系式

(20)

結合式(20)及式(2),亦可將優化問題表示為如下形式

(21)

為將式(21)松弛為凸優化形式,定義未知矩陣Z,表示為

(22)

式中:Y=[x0ν]。不難發現有如下關系式

(23)

進一步松弛Z為半正定矩陣,即Z≥04,再對式(21)作進一步等效變換為以下凸優化問題

(24)

根據矩陣Z的定義,可從Z抽取出移動節點的初始位置x0及移動速度ν估計值。

4 克拉美羅下界值

克拉美羅下界值(CRLB)為模型待估參數的無偏估計提供了誤差方差的下界。考慮問題模型中的待估計向量μ=[x0ν]T,根據克拉美羅下界理論,有關系式cov(μ)≥F-1,這里cov(μ)表示了未知向量μ的估計誤差方差,F為待估計向量μ的FIM(Fisher Information Matrix)的表示,可表示為

(25)

式中:P(p|x)為概率密度函數,可以表示為

(26)

lnP(p|μ)=λ-ρTΣ-1ρ

(27)

將式(27)代入式(25)展開,矩陣F可表示為

(28)

(29)

對式(29)進一步求解展開,得到如下關系式,

(30)

則根據CRLB無偏估計下界理論有

(31)

式中:[F-1]r,r表示F的逆矩陣的第r行、第r列元素值,r=1,2,3,4;CRLB(x0)、CRLB(ν)分別表示了初始位置x0及移動速度ν的CRLB無偏估計下界值。

5 仿真分析

采用線性移動目標與信標節點間的TOA測量方法,本文提出了線性移動目標的初始位置坐標及移動速度估計模型,并設計了模型的ULLS、CLLS及SDP計算方法。為驗證與比較各算法的計算性能,采用MATLAB 軟件進行了算法的仿真實現。在100 m×100 m的方形區域內設置4個信標節點位置坐標在(80,65),(90,10),(15,20),(10,55),并隨機生成10個移動節點的初始位置。同時將移動節點的x軸方向移動速度νx及y軸方向移動速度νy都預先設置為1 m/s,信號傳播速度c設置為3×108m/s,所有的時間測量噪聲εi,n的噪聲方差均設置為δ2。為衡量所設計算法的估計誤差,采用均方根誤差(RMSE)分析。對每種算法的RMSE估計誤差仿真運行1 000次,采用1000次運行結果的平均值分析。

5.1 時間測量噪聲對估計誤差的影響

設置采樣周期T為1 s,采樣點N等于20,同時調整時間測量噪聲δ從1 ns到10 ns之間變化,圖2繪出了不同算法的RMSE估計誤差隨時間測量噪聲變化關系。圖2(a)中,CWLS方法曲線的為文獻[13]所提出的靜止節點(即采樣點數量N等于零時)位置估計誤差。由圖2(a)可見,當時間測量噪聲δ為10 ns時,ULLS、CLLS、SDP及CWLS算法的初始位置RMSE估計誤差分別為1.92 m、1.58 m、1.70 m及3.32 m,本文所提出的3種算法的估計誤差都遠小于靜止節點的CWLS方法。對比本文提出的3種算法,ULLS算法的初始位置估計誤差最大,凸優化SDP算法其次,CLLS算法的位置估計誤差最小。顯然,隨著時間測量噪聲δ的增大,3種算法的初始位置RMSE估計誤差也隨之增大。比如,當時間測量噪聲δ設置在1 ns時,ULLS算法的RMSE位置估計誤差為0.19 m;而當時間測量噪聲δ增加到10 ns時,ULLS算法的RMSE位置估計誤差也上升到了1.92 m。

圖2 時間測量噪聲對估計誤差的影響

移動節點的移動速度與初始位置坐標同時被估計,圖2(b)繪出了本文提出3種不同算法的RMSE速度估計誤差隨時間測量噪聲的變化關系。同圖2(a)一樣的結果發現,ULLS、CLLS及SDP 3種算法的估計誤差隨時間測量噪聲的增加而增大。當時間測量噪聲δ設置在1 ns時,ULLS算法的RMSE速度估計誤差為0.017 m/s;而當時間測量噪聲δ增加到10 ns時,ULLS算法的RMSE速度估計誤差也增大到了0.167 m/s,估計誤差近似與時間測量噪聲成線性增加關系。相比于圖2(a),ULLS、CLLS及SDP 3種算法的估計誤差性能排列順序沒有變化,ULLS算法的RMSE速度估計誤差最大,SDP算法其次,CLLS算法的RMSE速度估計誤差最小。與圖2(a)的分析結果不同之處在于CLLS算法的速度估計誤差稍有所增大,更偏離于CRLB下界值。

5.2 采樣周期對估計誤差的影響

在實際系統應用中,采樣周期T可隨意設置,但采樣周期T大小直接涉及到誤差性能。保持時間測量噪聲δ等于10 ns及采樣點數量N等于20,仿真測試了不同采樣周期T大小對估計誤差的影響。當采樣周期T從0.5 s增加到5 s時,圖3(a)繪出了ULLS、CLLS及SDP 3種不同算法的初始位置RMSE估計誤差隨采樣周期T的變化關系。由圖3(a)可見,3種算法的位置RMSE誤差隨采樣周期T的增加而稍有增大。當采樣周期T等于0.5 s時,CLLS算法的RMSE位置估計誤差為1.57 m;當采樣周期T增加到5 s時,CLLS算法的RMSE位置估計誤差也增加到了1.78 m。

圖3 采樣周期對估計誤差的影響

采樣周期T越小,對速度估計的影響更大,圖3(b)繪出了ULLS、CLLS及SDP 3種算法的RMSE速度估計誤差隨采樣周期的變化關系。由圖3(b)可見,3種算法的速度誤差都隨著采樣周期T的增大而減少。比如,當采樣周期T等于0.5 s時,CLLS算法的RMSE速度估計誤差為0.28 m/s;而當采樣周期T達到5 s時,CLLS算法的RMSE速度估計誤差僅為0.037 m/s。并且由圖3(b)可以看出,RMSE速度估計誤差與采樣周期T有近似成反比關系,當采樣周期T小于2 s時,RMSE速度估計誤差尤其大。在實際應用中,增大采樣周期T有助于減少速度估計誤差,但同時將增加移動節點的運動距離,有可能導致運動距離過大而無法實現與移動節點間的TOA測量。

圖4 采樣點數量對估計誤差的影響

5.3 采樣點數量對估計誤差的影響

隨著采樣點數量N的增加,所獲取的測量信息更加多,各種算法的估計精度將進一步提高。保持采樣周期T為1 s,時間測量噪聲δ等于10 ns,仿真測試了不同采樣點數量N下的估計誤差性能,并將結果繪于圖4。當采樣點數量N從11到20之間變化時,圖4(a)繪出了ULLS、CLLS及SDP 3種不同算法的RMSE位置估計誤差隨采樣點數量N的變化關系。不難看出,隨著采樣點數量N的增加,RMSE位置估計誤差有所減少。比如,當采樣點數量N等于11時,CLLS算法的RMSE位置估計誤差為2.18 m;而當采樣點數量N增加到20時,CLLS算法的RMSE位置估計誤差僅為1.59 m。同樣地,ULLS與SDP算法的RMSE位置估計誤差也隨采樣點數量N的增加而減少。比較3種不同算法的估計誤差性能,也可以發現采用約束CLLS算法的位置誤差RMSE值在3種算法中最小,更加接近于CRLB理論下界值。

同樣將采樣點數量N從11增加到20,圖4(b)繪出了ULLS、CLLS及SDP 3種不同算法的速度誤差RMSE隨采樣點數量N的變化關系。由圖4(b)亦可以看出,隨著采樣點數量N的增加,RMSE速度估計誤差卻隨之減少。當采樣點數量N等于11時,ULLS、CLLS與SDP 3種算法的速度估計誤差分別為0.39 m/s、0.35 m/s、0.36 m/s;而當采樣點數量N增加到20時,ULLS算法的速度估計誤差減少到了0.17 m/s,CLLS與SDP兩種算法的速度估計誤差都減少到了0.14 m/s。隨著采樣點數量N的增加,估計誤差減少,精度有所提高。但測量成本有所增加,并且采樣點數量的增加表明移動節點運動距離加長,亦有可能超出節點間的TOA測量范圍。

圖5 信標節點位置對估計誤差的影響

5.4 信標位置對估計誤差的影響

信標節點位置亦直接影響位置及速度估計誤差,如文獻[18-19]所提出的信標節點位置對誤差的影響分析。當采樣周期T設置為1 s,采樣點數量N等于20,時間測量噪聲δ從1 ns到10 ns之間變化時,仿真亦測試了兩種不同信標節點位置對速度估計誤差的影響。當4個信標節點設置在(80,65),(90,10),(15,20),(10,55)稱為信標位置1,將4個信標節點均勻設置在(0,0),(0,100),(100,0),(100,100)稱為信標位置2,圖5繪出了兩種不同信標節點位置下CLLS、SDP算法與CRLB的估計誤差。由圖5(a)可以看出,當信標節點處于均勻位置2時,CLLS、SDP算法與CRLB的位置誤差都要小于位置1的RMSE誤差值。如當δ為10 ns時,信標節點處于非均勻位置1時,CLLS算法的位置誤差RMSE值為1.59 m;而當信標節點處于均勻分布位置2時,CLLS算法的初始位置誤差RMSE值卻降低到了1.41 m。

當信標節點分別處于位置1及位置2時,圖5(b)繪出了CLLS、SDP算法與CRLB的速度誤差RMSE與時間噪聲間的變化關系。由圖5(a)亦可以看出,當信標節點處于均勻位置2時,CLLS、SDP算法與CRLB的速度估計誤差RMSE值都要小于非均勻位置1的誤差估計值。比如當δ為10 ns時,信標節點處于非均勻位置1時,CLLS算法的速度誤差RMSE值為0.142 m/s;而當信標節點處于均勻分布位置2時,CLLS算法的速度誤差RMSE值降低到了0.119 m/s。

6 結論

采用移動節點與信標節點間的TOA測量方法,本文提出了移動節點運動參數的捕獲方法,并設計了包括初始位置坐標及移動速度的ULLS、CLLS及SDP計算方法。ULLS算法估計誤差在所設計的3種算法中最大,CLLS算法由于采用了約束條件,估計誤差最小。凸優化的SDP算法估計誤差介于ULLS、CLLS算法之間,但眾所周知,凸優化SDP算法的計算復雜度遠大于代數計算方法,但算法穩定性較好。仿真結果發現,隨著采樣周期T的增加,位置估計誤差稍有增大,但速度估計誤差卻在減少。更多的采樣點數量N有利于增加測量信息量,可以減少估計誤差。在保持移動速度不變的情況下,增大采樣周期T及采樣點數量N意味著移動距離的延長,由于通信距離的限制有可能導致無法實現TOA測量。在實際應用中,如何選擇采樣周期T及采樣點數量N直接關系到參數捕獲精度,本文提出的方法與參數影響關系對于實際應用具有一定的指導意義。

[1] Enyang Xu,Zhi Ding,Soura Dasgupta. Target Tracking and Mobile Sensor Navigation in Wireless Sensor Networks[J]. IEEE Transactions on Mobile Computing,2013,12(1):177-186.

[2] Juan Pedro Dominguezdiag Morales,Antonio Riosdiag Navarro,Domínguezdiag Morales M,et al. Wireless Sensor Network for Wildlife Tracking and Behavior Classification of Animals in Doana[J]. IEEE Communications Letters,2016,20(12):2534-2537.

[3] 周偉,石為人,張洪德,等. 無線傳感器網絡的分布式目標跟蹤研究[J]. 儀器儀表學報,2013,34(7):1485-1491.

[4] Efren Lopes Souza,Eduardo Freire Nakamura,Richard W Pazzi.Target Tracking for Sensor Networks:A Survey[J]. ACM Computing Surveys. 2016,49(2):1-35.

[5] Oualid Demigha,WaliddiagKhaled Hidouci,Toufik Ahmed. On Energy Efficiency in Collaborative Target Tracking in Wireless Sensor Network:A Review[J]. IEEE Communications Surveys and Tutorials,2013,15(3):1210-1222.

[6] Kan Zheng,Huijian Wang,Hang Li,et al. EnergydiagEfficient Localization and Tracking of Mobile Devices in Wireless Sensor Networks[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology,2017,66(3):2714-2726.

[7] 左現剛,張志霞,賈蒙. 基于分布式聚類的有向傳感器網絡移動目標跟蹤算法研究[J]. 傳感技術學報,2016,29(7):1096-1101.

[8] Hong Shen,Zhi Ding,Soura Dasgupta,et al. Multiple Source Localization in Wireless Sensor Networks Based on Time of Arrival Measurement[J]. IEEE Transactions on Signal Processing. 2014,62(8):1938-1949.

[9] Yue Wang,Ho K C. An Asymptotically Efficient Estimator in Closeddiag Form for 3diagD AOA Localization Using a Sensor Network[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications,2015,14(12):6524-6535.

[10] Chen Liu,Dingyi Fang,Zhe Yang,Hongbo Jiang,et al. RSS DistributiondiagBased Passive Localization and Its Application in Sensor Networks[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications. 2016,15(4):2883-2895.

[11] 袁鑫,吳曉平,王國英. 線性最小二乘法的RSSI定位精確計算方法[J]. 傳感技術學報.2014,27(10):1412-1417.

[12] So H C,Lanxin Lin. Linear Least Squares Approach for Accurate Received Signal Strength Based Source Localization[J]. IEEE Transactions on Signal Processing,2011,59(8):4035-4040.

[13] Cheung K W,So H C,Ma W K,et al. A Constrained Least Squares Approach to Mobile Positioning:Algorithms and Optimality[J]. EURASIP Journal on Applied Signal Processing,2006:1-23.

[14] Robin Wentao Ouyang,Albert KaidiagSun Wong,ChindiagTau Lea. Received Signal StrengthdiagBased Wireless Localization via Semidefinite Programming:Noncooperative and Cooperative Schemes[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology,2010,59(3):1307-1318.

[15] Soheil Salari,Shahram Shahbazpanahi,Kemal Ozdemir. Mobilitydiag Aided Wireless Sensor Network Localization via Semidefinite Programming[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications,2013,12(12):5966-5978.

[16] Yihua Yu. ConsensusdiagBased Distributed Mixture Kalman Filter for Maneuvering Target Tracking in Wireless Sensor Networks[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology,2016,65(10):8669-8681.

[17] Qinghua Gao,Jie Wang,Minglu Jin,et al. Target Tracking by Lightweight Blind Particle Filter in Wireless Sensor Networks[J]. Wireless Communications and Mobile Computing,2014,14(2):210-220.

[18] Sheng Xu,Kutluyil Dogancay. Optimal Sensor Placement for 3diagD AnglediagofdiagArrival Target Localization[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2017,53(3):1196-1211.

[19] Nikhil Bhagwat,Bijan Jabbari. Analysis of Localization Accuracy in Wireless Networks in Presence of Uncertain Beacon Positions[C]//GLOBECOM 2010:1-5.