關于一道解析幾何考題的解法探究

郭銘紀

（福建省泉州第一中學，福建泉州　362000）

這題是2013濟南市高三3月高考模擬題，筆者把它改編作為一次考試的試題，在考試中，驚喜地發(fā)現了學生出現了3種不同的解法，說明了在平常的數學學習中，學生還是能較好地掌握了一些重要的數學思想和方法。筆者也就此題查找了資料，發(fā)現基本就2種解法，深入研究，發(fā)現了6種不同的解法，各種解法聯系了不同的知識體系和數學方法，是一道不錯的一題多解的題目。謹以此文談談策略性知識的教學對學生的影響。

在數學教學中，一題多解的現象時普遍存在的，每個學生的知識儲備是不同的，對知識點的理解程度和角度也是各不相同的。高中數學教材內容有“兩多”：知識點多，題型多，因此如果一味地講究單純做題而不思考題目背后的東西，是絕對學不好數學的。一題多解正是一個學好數學的好方法，一方面一題多解既讓我們復習知識點，又可以發(fā)現題目背后知識點之間的聯系，從而加深對知識點的理解，而且它還可以鍛煉創(chuàng)造性思維和多變思維。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，

（2）由已知，lAC，lBD的斜率存在且不為 0，設 A（x1，y1），B（x2，y2）

若直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+m，

當k=0(此時m2=2滿足①式)，即直線AB平行于X軸時的最小值為-2。

評注：通解通法是平常考試中一時想不到其他解法的最直接和可靠的解法，也可以鍛煉學生的分析能力，邏輯推理能力，運算能力。

法二(略解)：由已知，lAC，lBD的斜率存在且不為 0，設 lAC：y=kx 設，則由得，同理可得

可知： 當 xA＞0，xB＞0 時，當 xA＜0，xB＜0 時

評注：方法二是一種數據的直覺處理方法，利用點的對稱性及斜率的關系直接求出點的坐標，把數量積轉化為斜率的單變量函數來處理。

以上兩種方法為常規(guī)常見的解法。通解通法是一種不錯的選擇。通過對解法（一）（二）的詳細講解，讓學生能掌握基本的常規(guī)方法，鞏固了所學過的知識，突出了本題的重點。仔細分析、挖掘，發(fā)現了下面的4種解法，可以作為開拓學生思維，發(fā)揮學生的積極主動性的很好的題型。

評注：該解法的思路，也就是利用除雙曲線外的幾種曲線的動點的最值問題可以用換元法來處理比較簡單，橢圓上的動點可以用三角換元來處理。

法四(略解)：設點 A（x1，x1），B（x2，y2），由 x2+2y2=8得

當x1=x2=2時取得最大值2，當x1=-x2=2時取得最大值-2。

評注：這個處理方法和橢圓的第三定義及點差法類似，通過方程來轉化為二元變量，利用均值不等式來處理范圍問題。另：本種解法也可以轉化為y1，y2的不等式問題。

法五 (略解)：同解法四得：x12+x22=8，設

評注：本解法結合解法四和解法三來處理問題。到x12+x22=8這一步驟就可以采用圓的三角換元來處理.

法六(略解)：設點 A（x1，y1），B（x2，y2），則，

評注：方法四是通過方程以及斜率的關系把變量減少為兩個，本解法是通過不減少變量，直接利用四個變量來處理問題。多元變量的處理方法是利用不等式處理最值問題，而柯西不等式可以直接處理x1x2+y1y2問題。

結語：求解題目的方法有很多，通解通法在一定范圍內是一種選擇。通過對解法（一）（二）的詳細講解，讓學生能掌握基本的常規(guī)方法，鞏固了所學過的知識，突出了本題的重點。另外的幾種方法的拓展，利用平常所學的相關性質及解題的方法，不但達到了認知目標，還有利于培養(yǎng)學生的多變思維和創(chuàng)造性思維，讓學生尋找更加簡練的解題方法，使學生擁有成功的喜悅，提高學習的興趣。

一題多解和多題一解已廣泛應用于數學教學中，尤其是在高三數學復習中，更應強調然一題多解和多題一解，以便解決高強度低效率的復習效果。一題多解中的“題”指一切數學問題，包括基礎知識、原理和方法，“解”指對一切數學問題多種不同的理解與解決的過程、策略、方法與結果。可見，一題多解的內涵極其豐富，外延十分廣闊。任何解題方法都有其賴以產生的數學基礎，而這個基礎就是數學教科書的知識、結論、思想方法以及它們之間的內在聯系。

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