基于R軟件的數學實驗在大學數學教學中的應用初探

沈新娣

（上海健康醫學院，上海201318）

高等數學、概率論與數理統計、線性代數等數學類課程是對醫學類院校絕大多數專業開設的基礎性必修課程，高等數學以函數作為主要研究對象，研究求最優值、相對或絕對變化率、平面圖形面積等的方法，可用于解決實際生活、生產問題。線性代數作為一種解決離散變量線性關系問題的重要計算和分析工具，已在控制與決策、經濟管理等領域得到廣泛應用。概率論與數理統計的理論和方法應用于生物、醫學、金融以及管理等領域，可解決各種問題，這些課程對學生思維素質的培養和后續專業課程的學習起著重要的作用。對于非數學類專業來說，大學數學的課程內容抽象，理論講述枯燥乏味，理論與實踐分離，導致在學生數學應用能力的提高方面收效甚微。專業課程學時多，數學等文化基礎類課程開設門數和學時少，給教師的教學帶來了諸多不便。另外，數學教師缺乏對相關專業技術的了解，教學中缺乏生動的案例，易使學生產生“學數學課無用”的錯誤認識。

在大數據時代的背景下，隨著生命科學大數據的迅猛發展，客觀上要求學生具備一定理性思維與創新意識。大學數學教學內容也應該嘗試著逐漸從傳統的理論教學向實踐和應用過渡，我們希望學生具備理性的思維，讓數學成為學生學習和科研的工具，并且能利用這個工具分析和解決一些實際問題，激發學生不可估量的創新潛力[1]。所以，我們有必要重新審視數學課程，對其教學內容和知識體系進行優化整合，改進教學方法及教學手段，提高學生綜合素質，促進學生終身發展。

1　數學實驗課的優勢

目前計算機的應用已經非常普及，Matlab、Mathematica、Maple、SPSS和SAS等逐漸成為大學數學類課程學習、教學和研究的有效工具。數學實驗就是在計算機系統的幫助下，利用常用數學軟件工具解決數學問題的一種教學手段，引導學生借助軟件理解抽象的數學理論，自主探索和研究數學問題，促進學生應用能力的提高，是將數學科學轉化為數學技術的主要途徑。它要求從問題出發，強調以學生自己動手、動腦為主，在教師的指導下用學到的數學知識和數學的軟件來分析解決一些應用問題。其意義不僅僅在于使學生掌握必要的數學知識，更重要的在于學生的獨立參與，從而提高學生學習數學的積極性，培養學生的動手能力、獨立思考問題的能力。事實上，我們的學生通過數學實驗課的學習，大部分能較為熟練地使用數學軟件，還有的在大學生數學建模比賽和全國數據挖掘挑戰賽中脫穎而出。

2　R軟件引入數學實驗的優勢

R軟件是套完整的數據處理、計算和制圖軟件系統，它是一套開源的數據分析解決方案，由一個龐大而活躍的全球性社區維護。其功能包括：數據存儲和處理系統；數組運算工具（其向量、矩陣運算方面功能尤其強大）；完整連貫的統計分析工具；優秀的統計制圖功能；簡便而強大的編程語言，可操縱數據的輸入和輸出，可實現分支、循環，用戶可自定義功能。除了R軟件之外，現在很多人使用Matlab、Mathematica、SPSS、SAS，但大都用的是盜版軟件。免費是R軟件流行的一個主要因素。不過R軟件的最大優點是出色的可視化圖形、豐富的統計及高效的更新速度[2]。其主要特點如下。

（1）R軟件的使用入門很容易，界面簡潔易懂，有專門的論壇和資料能夠給予幫助，易于使用。R軟件采用命令行的方式，輸入和輸出結果，對計算機編程能力要求不高。在遇到困難的時候，自帶詳細的幫助文檔，網上也有很豐富的資料便于使用者查詢。非常適于作為學生數學實驗活動的平臺，讓學生在數學實驗活動中自行發現問題、解決問題，提升能力。

（2）R軟件幾乎兼容全平臺，占用資源少，對電腦配置要求低。相比動輒3G－4G的商業軟件，R軟件可謂非常節省，軟件安裝文件僅三十幾兆，甚至還可以在iPhone等移動設備上安裝R程序，所以適于作為大范圍開展數學實驗活動的平臺。

（3）R軟件包可以自由下載與加載，作為一個開源軟件，R軟件具備豐富的擴展包，可以自由加載其他開發者提供的函數和數據包，直接利用可以節省很多重新編寫算法的精力。而且擴展包的更新也非常快，更新速度以周來計算，涵蓋基礎統計學、社會學、經濟管理、金融、生態、生物信息等多個方面[3]，學生可以對一些科學前沿的新方法進行學習和利用。

（4）R軟件具有高效的數據處理和保存機制，完整的數組和矩陣操作運算符以及完整的數據分析工具，在數據處理和可視化方面的優勢非常明顯，適合學生分析處理數據與建立模型，對學習和科研的幫助非常大。

3　R軟件用于大學數學教學的一些案例

案例1：導數計算，比如要計算在x=1和x=2時的導數值。用R軟件來實現這個運算，程序如下：

dx＜－deriv（y～x^3，"x"）；dx#生成導數公式

x＜－1：2#給自變量x賦值

eval（dx）#運行求導計算

[1]1 8#原函數的計算結果

attr（，"gradient"）#使用梯度下降法，計算導數的結果x

[1，]3

[2，]12

學生練習：計算正弦函數在x=pi和x=4pi時的導數值（pi=圓周率），程序：

dx＜－deriv（y～sin（x），"x"，func=TRUE）；dx#生成導數公式dx（c（pi，4*pi））

[1]1．224606e－16－4．898425e－16

attr（，"gradient"）

x

[1，]－1

[2，]1#計算結果

課后思考：如何用R軟件實現高階求導、偏導數等計算？

案例2：定積分的計算，例如計算y=x3在[0，10]上的定積分。用R軟件來實現這個運算，程序如下：

f1＜－function（x）x^3#定義函數

integrate（f1，0，10）#計算積分

2500 with absolute error＜2．8e－11#計算結果

案例3：繪制函數圖像，比如用R繪制函數y=x3－5x在[－4，4]上的圖像。

方法：可以使用curve（）函數繪制圖像，使用時需要向其傳遞一個關于變量x的表達式（見圖1）：

程序：curve（x^3－5*x，from=－4，to=4）

圖1　x3－5x在[－4，4]上的圖像

再如：繪制三維圖形，在R中一般用persp（）函數來繪制，

x＜－seq（－10，10，length=30）#x的范圍

y＜－x

f＜－function（x，y）{r＜－sqr（tx^2+y^2）；10*sin（r）/r}

#二元函數

z＜－oute（rx，y，f）

z[is．na（z）]＜－1

oP＜－pa（rbg="white"）

persp（x，y，z，theta=30，phi=30，expand=0．5，col="lightblue"）#參數設置

案例4：在線性代數中可以用R進行矩陣的相關運算：

matrix（c（1，2，3，4，5，6，7，8，9），nrow=3）#創建一個3行3列的矩陣

圖2　函數

[，1][，2][，3]

[1，]147

[2，]258

[3，]369

＞x＜－matrix（c（1，2，3，4，5，6，7，8，9），nrow=3）#使用+，－可以在矩陣之間進行加法與減法運算

＞x+x

[，1][，2][，3]

[1，]2814

[2，]41016

[3，]61218

＞x－x

[，1][，2][，3]

[1，]000

[2，]000

[3，]000

＞x%*%x#使用%*%運算符可以求矩陣的乘積

[，1][，2][，3]

[1，]3066 102

[2，]3681 126

[3，]4296 150

＞t（x）#使用t（）函數，求矩陣的轉置矩陣

[，1][，2][，3]

[1，]123

[2，]456

[3，]789

＞x＜－matrix（c（1，2，3，4），ncol=2）#solve（x）使用solve（）函數，可以求矩陣的逆矩陣

＞solve（x）

[，1][，2]

[1，]－2 1．5

[2，]1－0．5

案例5：在概率論與數理統計的教學中，利用R軟件做可視化的輔助教學，學生更容易理解教學內容，提高教學效果。如在給學生講概率分布的時候，本文以二項分布為例，為了讓學生觀察二項概率的分布特征，教師用R軟件畫出n=5，P分別取0．1，0．2，0．3……0．9時候的二項分布Binomial（5，b）的圖。學生很容易可以看出，當P=0．5時，概率分布對稱的；當P=0．1時，概率分布右偏；當P=0．9時，概率分布左偏。

程序（見圖3）：

k=seq（．1，．9，．1）

par（mfrow=c（3，3））

for（i in 1：9）

barplot（dbinom（0：5，5，k[i]），xlab="x"，ylab="p"，ylim=c（0，．6），

main=substitute（B（5，b），list（b=k[i]）））

筆者利用R軟件在概率論與數理統計課程中做可視化的教學嘗試，大大提高了學生的學習積極性，降低了學習的難度，提高了他們利用數學知識和軟件解決實際問題的能力，這也是大學數學教學的最終目標。

4　結語

基于R軟件的實驗教學方法需要不斷探索與實踐，并且在教師的教學過程中要及時與實際問題、醫學專業問題、國內或者國際建模大賽、數據挖掘比賽等相結合，滲透數學實驗和數學文化的思想，讓學生在教師的指導下在計算機上自己動手、動眼、動腦，通過軟件編程實驗，學習解決實際問題常用的數學方法，并在此基礎上分析，促成數學教學的良性循環，讓學生看到相關理論知識的應用前景，努力把學生培養成實踐能力強的應用型人才。

圖3　二項分布Binomial（5，b）的圖像

參考文獻：

[1]侯麗英．理實融合教學模式在應用型醫學本科院校數學教學中的應用研究[J]．衛生職業教育，2017，35（17）：51－53．

[2]趙軍，楊琳．R軟件在大學數學教學中的應用探討[J]．高教學刊，2016（7）：93－95．

[3]賈俊平．統計學——基于R[M]．北京：中國人民大學出版社，2014．■