圓錐曲線和過焦點的直線相交問題的解法探究

韋江玲

[摘要]圓錐曲線與過焦點的直線結合是一種常見的高考出題方式.圓錐曲線定義的特殊性決定著這類問題解法的多樣化，常見的解法有常規法、弦長公式法、數形結合法、參數方程法等.探究圓錐曲線和過焦點的直線相交問題的解法具體有實際意義.

[關鍵詞]圓錐曲線；直線；焦點；相交

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05002801

本文通過兩個典型例題說明幾種常見解法.

一、求過焦點弦長問題

【例1】一條傾斜角為π4的直線過橢圓x29+y25=1的右焦點F2，與橢圓交于A，B兩點，求弦長|AB|.

解法一：（常規法）橢圓右焦點的坐標為F2（2，0），所以直線AB的方程為y=（x-2）.設A（x1，y1），B（x2，y2）

聯立方程組

y=x-2x29+y25=1

，消去y得14x2-36x-9=0.

解出x1=18+15214

，x2=18-15214

，代入得y1=152-1014

，y2=-152-1014.

從而A（18+15214，152-1014），B（18-15214，-152-1014）.

根據兩點間距離公式|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2得|AB|=307.

解法二：（用弦長公式）根據解法一，由韋達定理可得x1+x2=187，

x1x2=-914，

由弦長公式得|AB|=1+k2

（x1+x2）2-4x1x2

得|AB|=307.

解法三：（用弦長公式）由解法二的x1+x2=187，x1x2=-914代入橢圓方程可得y1+y2=-107

，y1y2=-2914.

由弦長公式|AB|=

1+1k2

（y1+y2）2-4y1y2

得|AB|=307.

解法四：（用橢圓的焦半徑公式）由橢圓的第二定義得出橢圓焦半徑

|AF2|=a-ex1，|BF2|=a-ex2，

而|AB|=|AF2|+|BF2|=2a-e（x1+x2），由橢圓方程易知a=3，b=5，c=2，e=23.

∴|AB|=6-23×187=307

.

解法五：（參數方程法）直線AB的參數方程為

x=2+tcosπ4=2+22t

y=tsinπ4=22t

（t為參數）代入橢圓方程

x29+y25=1

中整理得7t2+102t-25=0

.

由韋達定理得t1+t2=-1027，

t1t2=-257.

所以|AB|=|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1t2

=-10272-

4×-257

=307

.

二、求焦點弦所在直線方程問題

【例2】若過焦點的直線與拋物線x2=y交于A，B兩點，且AB中點的橫坐標為4，求此直線方程.

分析：由直線與拋物線相交，聯立方程用韋達定理求出斜率.另，由于直線斜率與弦中點坐標有關，故也可以用點差法.

解法一：（聯立方程用韋達定理）拋物線焦點坐標為F0，14，由題意可知所求直線斜率存在，故可設直線方程為：

y=kx+14

，設A（x1，y1），B（x2，y2）.

聯立方程

y=kx+14

x2=y

化簡得x2-kx-14=0，

由韋達定理得x1+x2=k，

A，B中點的橫坐標為

x1+x22=k2=4

，解得k=8，故所求直線方程為y=8x+14.

解法二：（點差法）設A（x1，y1），B（x2，y2），則有x21=y1，x22=y2，

兩式作差得（x1+x2）（x1-x2）=（y1-y2），即

y1-y2x1-x2=x1+x2

，

因為x1+x22=4，所以x1+x2=8，所以k=8，故所求直線方程為：y=8x+14.

一般的，在圓錐曲線中，中點弦問題的求解關鍵在于充分利用中點這個條件，靈活運用韋達定理.但最優方法還是點差法，因為點差法簡單，結構特征明顯.教師在平時解題中要多嘗試，并引導學生尋找最優的方法，為學生順利解決高考中有關解析幾何壓軸題奠定基礎.

（責任編輯黃桂堅）