整體把握平面解析幾何

孫青龍

[摘要]解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題.整體把握平面解析幾何對(duì)提高教學(xué)效果有明顯作用.

[關(guān)鍵詞]解析幾何；整體；把握

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）05002401

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要模塊.它既涉及數(shù)學(xué)計(jì)算又涵蓋了圖形分析，一直是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.有些教師在教學(xué)這一章內(nèi)容時(shí)由于缺乏對(duì)平面解析幾何的整體把握，導(dǎo)致教學(xué)過(guò)程中側(cè)重點(diǎn)不明確，教學(xué)效果不理想.下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)高中平面解析幾何的整體把握談幾點(diǎn)認(rèn)識(shí).

一、教材解讀

1.坐標(biāo)法是核心

（1）強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想.

（2）強(qiáng)調(diào)經(jīng)歷用坐標(biāo)法解決問(wèn)題的完整過(guò)程.

直線與圓——基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)與平面幾何研究方法的比較是坐標(biāo)法的體驗(yàn)；圓錐曲線——坐標(biāo)法的深入，體現(xiàn)坐標(biāo)法的價(jià)值.

2.解析幾何主要有四大問(wèn)題

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）線的方程；（3）幾何性質(zhì)；（4）位置關(guān)系.

二、高考題導(dǎo)向

通過(guò)對(duì)近五年全國(guó)卷的高考題研究，我們得到以下一些規(guī)律.

題目一般為“2小1大”，分值22分.小題一般以考查直線、圓及圓錐曲線的性質(zhì)為主，結(jié)合定義，借助于圖形可容易求解.大題一般以直線與圓錐曲線位置關(guān)系為命題背景，并結(jié)合函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、平面向量等知識(shí)，考查求軌跡方程問(wèn)題，探求有關(guān)曲線性質(zhì)，求參數(shù)范圍，求最值與定值，探求存在性等問(wèn)題.

解答題的特點(diǎn)：

（1）大都安排在第20題或第21題.

（2）每年都有一問(wèn)是求曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.常用方法：主要是根據(jù)定義和幾何條件用待定系數(shù)法.

（3）考查知識(shí).側(cè)重點(diǎn)是圓和橢圓，考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、直線和圓、橢圓位置關(guān)系，雙曲線考查較少符合新課標(biāo)要求.

（4）注重通性、通法的考查.比如，涉及直線和圓錐曲線相交，則聯(lián)立消元及韋達(dá)定理，Δ>0；涉及OA⊥OB，則x1x2+y1y2=0；涉及弦長(zhǎng)，則用弦長(zhǎng)公式等；涉及直線和圓相切，則有d=r等.

（5）后兩問(wèn)考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力，和向量、基本不等式等知識(shí)綜合的比較多.

三、教學(xué)建議

（一）直線和圓部分的教學(xué)建議

強(qiáng)調(diào)用代數(shù)的方法解決問(wèn)題，但同時(shí)也要抓住問(wèn)題的幾何要素.

例如，確定直線的幾何要素是指：一點(diǎn)一方向（斜率），不應(yīng)刻意讓學(xué)生去區(qū)分和記憶幾種方程的形式，而要讓學(xué)生掌握在直角坐標(biāo)系下如何確定直線的幾何要素，如何根據(jù)幾何要素確定直線的方程.

又如，確定圓的幾何要素是指圓心和半徑.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確顯示了幾何要素a、b、r，所以要強(qiáng)調(diào)配方法把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.

在教學(xué)中提倡學(xué)生畫圖，不要單純用代數(shù)恒等變形的方法研究幾何問(wèn)題.例如，對(duì)于兩圓的位置關(guān)系，單純用解方程組的方法不能準(zhǔn)確判斷其位置關(guān)系.如果兩圓的方程構(gòu)成的方程組無(wú)解，表明這兩個(gè)圓不相交.但是，到底是相離關(guān)系還是內(nèi)含關(guān)系，從解方程組中是無(wú)法判斷的.若利用刻畫兩圓位置關(guān)系的幾何要素——圓心距，就很容易判斷出.

（二）圓錐曲線與方程部分的教學(xué)建議

1.把握教學(xué)要求

本章共分四大節(jié).第一節(jié)的重點(diǎn)是掌握求曲線方程的一般步驟，后三節(jié)分別研究了橢圓、雙曲線、拋物線的概念和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).其中穿插用坐標(biāo)法解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題.

教學(xué)時(shí)力求突出主干知識(shí)，精選內(nèi)容.

（1）主要介紹標(biāo)準(zhǔn)方程，不涉及一般方程.

（2）利用方程研究幾何性質(zhì)時(shí)，只討論最簡(jiǎn)單、最主要的性質(zhì)，滿足基本的需要，使學(xué)生在此過(guò)程中學(xué)會(huì)研究曲線性質(zhì)的一般方法.

（3）根據(jù)問(wèn)題的難易度及學(xué)生的認(rèn)知水平.只要求掌握橢圓、拋物線的定義，對(duì)雙曲線的定義只要求了解.

2.突出基本思想

（1）解析幾何的基本思想是曲線與方程、方程與曲線的關(guān)系；突出用方程研究曲線，用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì).

（2）在建立橢圓、雙曲線、拋物線的方程時(shí)，不必涉及方程的解與曲線上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)方面，重點(diǎn)放在“如何建立曲線方程”及“怎樣用曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì)”上，不要在定義的兩個(gè)方面做過(guò)多研究.

（3）課程標(biāo)準(zhǔn)中多次提到“讓學(xué)生體會(huì)和感受數(shù)形結(jié)合的思想”，應(yīng)在本章中得到較好的落實(shí).

3.在平時(shí)的課堂教學(xué)中，切實(shí)抓好“三基”，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）