《任意角的三角函數》概念解讀及教學建議

王松春　張衛東　王勇　周盼賢

[摘要]《任意角的三角函數》不僅概念多，而且有的概念比較重要.研究《任意角的三角函數》的教學具有實際意義.

[關鍵詞]任意角的三角函數；概念；解讀；建議

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05002102

《任意角的三角函數》是三角函數的核心概念，是一個承上啟下的概念.“單位圓定義法”與“終邊定義法”本質上是一致的，采用哪一種定義方法是一個取舍問題，沒有對錯之分，不存在商榷的問題.周期現象一般與周期運動有關，一個典型的例子便是“圓周上一點的運動”.在教學過程中，教師幫助學生明確三角函數的“函數”特征，確定哪些變量之間可以構成函數關系，將任意角的三角函數概念自然“產出”是本節課的著力點.教師應該將單位圓定義貫穿教學始終.單位圓不僅作為簡化定義的工具，而且為后面三角函數線和三角函數圖像的學習做鋪墊.

一、任意角的三角函數概念在高中數學中的地位和作用

三角函數是一個重要的基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型.它在物理學、天文學、測量學等學科中都有重要的應用，它是解決實際問題的重要工具.

任意角的三角函數是三角函數的核心概念，它是解決一切三角函數問題的基點，由它可以導出三角函數線，三角函數定義域、值域、同角三角函數關系、誘導公式、三角函數圖像和性質等.同時它也是學習參數方程、平面向量、斜率等知識的基礎.因此，任意角的三角函數概念是一個承上啟下的核心概念.

二、任意角的三角函數概念內容解析

回顧三角學發展史，可以發現它的起源、發展與天文學密不可分，它是一種對天文觀察結果進行推算的方法.日出日落，四季更替……客觀世界中有許多“按一定規律周而復始”的現象，這種按一定規律不斷重復出現的現象稱為周期現象.周期現象一般與周期運動有關.

《任意角的三角函數》是人教A版《數學4》（必修）中的內容，是在學習了弧度制和任意角之后，將正弦、余弦、正切定義為以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數（這種定義法也叫單位圓定義法）.由于角的集合與實數集之間可以建立一一對應的關系，三角函數就可看成是以實數為自變量的函數.課本在習題旁白處還給出了終邊定義法，用角終邊上任意一點P（x，y）的坐標和點P到原點的距離r的比值來定義.

“單位圓定義法”的本質是：對于任意角α，它的終邊與單位圓交點P（x，y）唯一確定.這樣，正弦、余弦函數中自變量與函數值之間的對應關系.即角α（弧度）對應于點P的縱坐標y——正弦，角α（弧度）對應于點P的橫坐標x——余弦，可以得到非常清楚、明確的表示，而且這種表示也是簡單的.另外，“x=cosα，y=sinα是單位

圓的自然的動態描述.由此可以想到，正弦、余弦函數的基本性質就是圓的幾何性質（主要是對稱性）的解析表述.”其中，單位圓上點的坐標隨著角α每隔2π（圓周長）而重復出現.即點繞圓周一圈而回到原來的位置.它非常直觀地顯示了這兩個函數的周期性.正切的定義可以聯系初中銳角三角函數的定義，類比給出y/x.教師還應該把握時機順便點明當α為銳角時，單位圓定義法與初中銳角三角函數的定義并無矛盾.

“單位圓定義法”與“終邊定義法”本質上是一致的.采用哪一種定義方法是一個取舍問題，沒有對錯之分，不存在商榷的問題.事實上，在“終邊定義法”中，給出定義后有如下說明：“根據相似三角形的知識，對于確定的角α，這三個比值（如果有的話）都不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變……對于確定的角α，上面三個比值都是唯一確定的.這就是說，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數值的函數.”這恰恰說明了“以角α的終邊與單位圓的交點坐標為比值”是不失一般性的.另外，用“單位圓定義法”直截了當、簡潔易懂，不需要這樣的說明，就更顯出其好處了.

本節課的重點是理解任意角的三角函數的概念，并初步運用定義解決相關問題.其中，將“任意角的三角函數”概念自然“產出”是本節課的“著力點”.

三、高一學生學情分析

學生之前已經學習了任意角的概念，知道了角的概念推廣是建立在需要數學地表示周期性運動的邏輯起點上，這為進一步研究任意角的三角函數提供邏輯起點.由于學生在初中學習了以直角三角形為載體的銳角三角函數，沒有在函數觀點層面上認識銳角的三角函數，由此產生任意角三角函數認識的負遷移，認為任意角三角函數就是求任意角三角函數值.這種對函數關系的認同是學生學習任意角三角函數概念的困難之一.我們既不能把任意角的三角函數看成是銳角三角函數的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數看成是任意角的三角函數在銳角范圍內的“限定”.學生學習任意角三角函數概念的另一個困難是對相關變量的確定.學生之前學習的其他基本初等函數（一次、二次函數，指數、對數函數）建模過程一般只涉及兩個變量相比，質點在單位圓上運動變化時，涉及的變量多，相關變量的確定就可能感到無從下手.因此，在教學過程中，需要幫學生明確三角函數的“函數”特征，借助一般函數的定義，在眾多變量中，通過甄別、篩查，確定哪些變量之間可以構成函數關系.

四、任意角的三角函數概念教學建議

1.以函數為主線.任意角的三角函數，其關鍵詞“任意角”“三角”“函數”中，“函數”最為本質和重要.任意角的三角函數，是一個典型而重要的函數模型，其研究的一般過程與方法，應在“函數是描述客觀世界變化規律的數學模型”的思想指導下，以構建勻速圓周運動的數學模型為目標，用函數的概念去同化任意角三角函數的概念.具體的，要讓學生認識到它是數（其意義是角）到數（坐標或坐標的比值）的對應.

2.合理地看待“單位圓定義”.三角函數是描述周期現象的重要數學模型.周期現象一般與周期運動有關，一個典型的例子便是“圓周上一點的運動”.不失一般性，單位圓（半徑為1的圓）上點P按怎樣的規律不斷重復出現？用什么樣的數學模型來刻畫呢？之前學習的其他基本初等函數（一次、二次函數，指數、對數函數）建模過程一般只涉及兩個變量相比，質點在圓上運動變化時，涉及的變量多，相關變量的確定就可能感到無從下手.而引入單位圓定義能將確定變量關系的思維過程簡化.教學中，教師可借助幾何畫板展示點在單位圓上運動時三角函數值的變化規律.

3.將單位圓定義貫穿教學始終.單位圓不僅能作為簡化定義的工具，還可以為緊跟其后的三角函數線的學習打下基礎.我們要把單位圓定義法貫穿三角函數學習的始終，并結合其對稱性、直觀性討論函數的定義域，推導誘導公式等.

4.教學基本流程建議.（1）簡單回顧，確立課題（三角函數是刻畫周期現象的數學模型）；（2）提供背景，研究“原型”（圓周上質點運動位置研究，不失一般性，選單位圓）；（3）函數視角，探尋關系（從物理到數學，從運動到對應）；（4）同化順應，概念建構（“函數”“任意角的三角函數”“銳角三角函數”關系探討）；（5）坐標求解，回歸定義（教材例題，體會定義）.

（責任編輯黃桂堅）