師生換位

陸繼盛

[摘要]新課程要求課堂教學改變“一言堂”的傳統教學模式.“師生換位”是優化課堂教學的一種有效的教學模式.

[關鍵詞]師生換位；教學模式；課堂教學；優化

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05001102

新課程強調，教師應鼓勵學生積極開展研究性學習活動，提高他們的實踐能力和創新能力，以適應社會對新型人才的需求.近年來，筆者在組織和引導學生積極開展研究性學習上做了一些嘗試.本文選擇一個比較好的案例與同行交流學習，敬請專家點評.

【課題】構建向量模型求最值探索.

【問題】如何求函數y=x2-6x+10+x2+6x+25

的最小值？（該問題是在復習完平面向量后，我給全班學生的一道探究解法的研究性學習題目）

【研究過程】

學生主持：這次學習，我們探究如何求函數y=x2-6x+10+x2+6x+25的最小值？

學生認真分析，積極思考，相互交流，相互探討，有的甚至查起了資料.

學生1：y=x2-6x+10+x2+6x+25

=（x-3）2+1+（x+3）2+16

.

∵根式（x-3）2+1取得最小值1，而根式（x-3）2+16的最小值是4，

∴此函數的最小值是5.

學生2：這種解法顯然錯誤.原因是這兩個根式分別取得最小值時的x不是同一個值.

學生主持：這是求有關和的最值時，同學們常出現的錯誤之一，請大家注意.

學生3：y=x2-6x+10+x2+6x+25

=（x-3）2+1+（x+3）2+16

.

觀察學生1對式子的變形，我聯想到兩點距離公式|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2

.如果將

（x-3）2+1+（x+3）2+16

再變形為

（x-3）2+（0-1）2+（x+3）2+（0-4）2

，則它表示數軸上的點（x，0）與兩點（3，1），（-3，4）的距離的和，所以此問題變轉化為在數軸上求一點，使得它到兩點（3，1）和（-3，4）

的距離最小的問題.只需要在平面直角坐標系中，作出點（3，1）關于x軸的對稱點（3，-1），而此對稱點和另一點（-3，4）

的連線與x軸的交點95，0就是所求的點

，此時95，0與點（3，1）和點（-3，4）的距離的和是61.

教師（補充）：這位同學的方法很不錯，他能從前面同學的變形，聯想到兩點距離公式，用數形結合的方法很簡捷地完成了解答.希望大家在以后做題時，不要急于作答，而要認真分析題目結構的特點，從題目中獲取信息，以達到優化解題的目的.

對于這道題，只有少部分學生想到用這種數形結合的方法外，很多學生感覺無從入手.

教師（引導）：

前面我們學習了向量，同學們仔細觀察

（x-3）2+1+（x+3）2+16

和向量中的什么相似？

學生4：兩點距離公式|AB|

=（x1-x2）2+（y1-y2）2

.

教師：具體是哪兩點，寫出坐標.

學生4：（答不上來）.

學生5：和向量模的公式相似，即若

a=（x，y）

，則|a|=x2+y2.

教師：是怎樣的兩個向量呢？

學生5：a=（x-3，1），b=（x+3，4）.

教師：請同學們寫出這兩個向量的模.（一片驚嘆聲）下面同學們作答.

學生6：（板演）

解：將函數變形為y=（3-x）2+1+（x+3）2+42

，設a=（3-x，1），

b=（x+3，4），

則y=（3-x）2+1+（x+3）2+42

=|a|+|b|≥|a+b|=62+52=61

.

當且僅當a∥b方向相同，即x=95時，取“=”號，所以當x=95時，ymin=61.

教師：這個同學做得很好，解題過程簡練、流暢.同學們看看，他構建向量時，為什么把向量a設為a=（3-x，1），而不是a=（x-3，1）呢？

學生7：是為能巧妙應用向量模的性質|a|+|b|≥|a+b|

而妙設的.這樣當兩向量相加時，未知量x就消去了.

教師：說得對.在構建向量模型求最值時巧妙的假

設也是相當重要的，希望同學們注意.看來有些最值的問題，若恰當地構建向量模型，借助向量的一些性質，常常會使復雜的問題變得簡潔，使煩瑣的解題過程顯得巧妙、流暢.

教師（點評）：同學們已經能正確運用向量來解決一些問題.我們學習知識的目的是運用，向量是數學里相當重要的“工具”，希望同學們多探究、多運用.

【學生感言（節選）】

這節研究性學習課我和其他同學一樣，認真分析，積極思考，盡管我沒上講臺，我沒發言，但收獲很大.由于研究性學習課我們是真正的主人，所以我們在課堂上不緊張，思維能展開，在輕松中獲取知識，我們比較喜歡.雖然一節課只講了幾道題，但它教會了我們如何借助剛學過的向量知識解決一些難解的問題，教會了我們學習的方法.值得一提的是，我發現我并不比別人笨，而是平時不善于交流，不善于探討.研究性學習給我提供了探究學習的平臺，我要以此為契機，逐漸養成研究性學習的好習慣，提高我的實踐能力和創新能力.

【教學思考】

1.研究性學習是學生學習數學的一個有機組成部分，是在基礎性、拓展性課程學習的基礎上，進一步鼓勵學生運用所學知識解決數學的和現實的問題的一種有意義的主動學習，是以學生動手、動腦，主動探索實踐和相互交流為主要學習方式的學習研究活動.它能營造一個使學生勇于探索、爭論和相互學習的良好氛圍，給學生提供自主探索、合作學習、獨立獲取知識的機會.數學研究性學習更加關注學習過程.

2.用于數學研究性學習的材料應是建立在學生現有知識經驗基礎之上，能夠激起學生解決問題的欲望，體現數學研究的思想方法和應用價值，有利于創造廣闊的思維活動空間，使學生的思路越走越寬，思維的空間越來越大的一種研究性材料.

3.數學研究性學習的材料不僅僅是教師自己提供的，教師應鼓勵學生經過思考、調查、查閱資料等方式概括出問題，甚至可以通過日常生活情境提出數學問題，進而提煉成研究性學習的材料.在研究性學習的過程中，學生是學習的主人，是問題的研究者和解決者，是主角，而教師則在適當的時候對學生給予幫助，起著組織和引導的作用.

4.數學研究性學習的評價不僅僅關心學習的結果，而且更重要的是關注學生參與學習的程度、思維的深度與廣度，學生獲得了哪些發展，特別注意學生有哪些創造性的見解，同時對學生的情感變化也應予以注意.為了使評價能夠真實可靠，起到促進學生發展的目的，教師要充分尊重學生自己對自己的評價以及學生之間的相互評價，既要有定量的評價也要有定性的評價.

（責任編輯黃桂堅）