讓數(shù)學(xué)變得有趣、有用、有文化、有溫度

林軍

[摘要]以《指數(shù)函數(shù)（第一課時(shí)）》的課堂教學(xué)為例，從學(xué)有趣的數(shù)學(xué)、學(xué)有用的數(shù)學(xué)、學(xué)有文化的數(shù)學(xué)、學(xué)有溫度的數(shù)學(xué)四個(gè)維度去思考數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如何適應(yīng)學(xué)生未來發(fā)展的需要，及落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)；有趣；有用；有文化；有溫度

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）05000502

柳州高級(jí)中學(xué)作為廣西普通高中數(shù)學(xué)課程基地，其數(shù)學(xué)教研組全體教師積極探索如何使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)適應(yīng)學(xué)生未來發(fā)展的需要，及讓學(xué)生形成關(guān)鍵能力，具有必備素養(yǎng)的途徑.2017年11月4日，我校吳佐慧老師在全國部分知名高中“激活課堂”教研活動(dòng)中，為來自全國各地的數(shù)學(xué)教師上了一節(jié)展示課，這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了我校數(shù)學(xué)教研組對(duì)課堂教學(xué)的一些思考和探索.現(xiàn)筆者將該節(jié)課的教學(xué)脈絡(luò)呈現(xiàn)如下.

[教學(xué)實(shí)錄]

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

投影：一尺之棰，日取其半，萬世不竭.——《莊子·天下篇》

問題1：木棰的剩留量y與截取次數(shù)x有怎樣的關(guān)系式？

投影：勤學(xué)如春起之苗，不見其增，日有所長(zhǎng)；輟學(xué)如磨刀之石，不見其損，日有所虧.——陶淵明

（古人從文學(xué)的角度以事喻人，從數(shù)學(xué)的角度來看勤奮與懈怠的差異.）

問題2：假設(shè)小明的原始知識(shí)水平為1，如果每天在前一天的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)1%，那么一年后（365天）小明的知識(shí)水平是多少？若將天數(shù)記為x，知識(shí)水平記為y，則x與y滿足的函數(shù)關(guān)系式是什么？

問題3：假設(shè)小明的原始知識(shí)水平為1，由于懈怠，他的知識(shí)水平每天在前一天的基礎(chǔ)上減少1%，那么一年以后（365天）小明的知識(shí)水平是多少？若將天數(shù)記為x，知識(shí)水平記為y，則x與y滿足的函數(shù)關(guān)系式是什么？

讓學(xué)生從1.01365≈37.78、0.99365≈0.03這些量上去感悟勤奮與懈怠的差異.教師和學(xué)生用一些成語來描述問題2和問題3，如“積少成多”“蹉跎歲月”等.

要求學(xué)生再舉出類似函數(shù)模型的例子，如細(xì)胞分裂次數(shù)x與細(xì)胞的個(gè)數(shù)y的關(guān)系等.

[點(diǎn)評(píng)：莊子的名句包含本節(jié)課所需的數(shù)量關(guān)系且極富哲理與思辨；借用陶淵明的詩句，以事喻人，并將其思想內(nèi)涵虛擬成小明的知識(shí)水平變化關(guān)系，并要求學(xué)生用成語加以描述.這樣的實(shí)例，既服務(wù)于本節(jié)課的主題，又能搭建起數(shù)學(xué)與文化聯(lián)系的橋梁，同時(shí)還能將德育滲透在教學(xué)之中，使課堂充滿人文氣息，極富情趣.其次，通過提供較多的生活實(shí)例，為抽象出指數(shù)函數(shù)定義奠定了基礎(chǔ).]

二、抽象特征，構(gòu)建概念

通過上述的幾個(gè)實(shí)例抽象出函數(shù)關(guān)系式的共同特征：y=ax.

問題4：對(duì)a的取值有什么限制嗎？為什么要做出這種限制？請(qǐng)舉出反例.

若a是負(fù)數(shù)，如

（-1）12

就沒有意義，a=0時(shí)，00也沒有意義，a=1時(shí)，f（x）=1是常數(shù)函數(shù)，沒有研究的必要.因此，我們規(guī)定：a>0，且a≠1.

請(qǐng)學(xué)生判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù).

（1）y=x2；（2）y=0.618x；（3）y=6x+4；（4）y=（-3）x；（5）y=2·4x；（6）y=3x+1

.

[點(diǎn)評(píng)：學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)不可能一蹴而就，必須從多層次、多角度去理解這個(gè)概念，通過變式和構(gòu)造反例，讓學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)的內(nèi)涵與外延.在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生舉出各種使指數(shù)式無意義的反例是十分必要的，這樣學(xué)生就能從中學(xué)會(huì)如何去完善一個(gè)新概念.]

三、自主探究，歸納性質(zhì)

問題5：我們?cè)诙x一個(gè)新的函數(shù)后，一般會(huì)接著研究函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

問題6：你們打算采用什么方法來研究這些性質(zhì)？

請(qǐng)學(xué)生用描點(diǎn)法在同一坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出函數(shù)的性質(zhì).

（1）y=2x；（2）y=3x；（3）y=12x；（4）y=13x.

[點(diǎn)評(píng)：設(shè)計(jì)讓學(xué)生描點(diǎn)作圖的環(huán)節(jié)，而不是運(yùn)用幾何畫板直接給出圖像，其目的是讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成和發(fā)展過程，體會(huì)從特殊到一般、從直觀到抽象的數(shù)學(xué)方法，感悟指數(shù)函數(shù)的符號(hào)表示與圖形表示間的相互轉(zhuǎn)化和聯(lián)系.]

四、鞏固落實(shí)，靈活運(yùn)用

問題7：比較下列各題中兩個(gè)值的大小：（1）34-1.8

，34-2.6

；

（2）130.3，3-0.2

；

（3）58-23，1

；

（4）（0.6）-2，43-23；

（5）0.60.4，0.40.6.

比較兩個(gè)指數(shù)的大小可以構(gòu)造一個(gè)指數(shù)函數(shù)，從圖中觀察其函數(shù)值的大小，這用到了數(shù)形結(jié)合思想.也可利用函數(shù)單調(diào)的定義，通過比較自變量的大小來得到函數(shù)值的大小，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

問題8：某種電腦病毒傳播的速度非常快.如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就有81臺(tái)電腦被感染，請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)分析：（1）在每一輪感染中，平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？（2）已知病毒每5小時(shí)傳播一輪，若不有效控制，多少小時(shí)后被感染的電腦會(huì)超過6500臺(tái)？

[點(diǎn)評(píng)：從知識(shí)層面看，問題7和問題8其實(shí)是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的正反兩個(gè)方面的應(yīng)用；從能力層面看，它包含數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，這是培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的極好教學(xué)素材；從情感層面看，有實(shí)際應(yīng)用背景的問題體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活”，能讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義.]

[教學(xué)反思]

何為一節(jié)好課？每個(gè)人有不同的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，但目的是一樣的，那就是一切為了學(xué)生，為了學(xué)生的一切.培養(yǎng)學(xué)生具有適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的關(guān)鍵能力和必備品格，是新形勢(shì)對(duì)課堂教學(xué)提出的新要求.本節(jié)課筆者從有用、有趣、有文化、有溫度四個(gè)維度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，將學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落到實(shí)處.

一、教學(xué)生學(xué)有趣的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活，所以數(shù)學(xué)的有趣體現(xiàn)在它溝通了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.本節(jié)課在創(chuàng)設(shè)情境的環(huán)節(jié)中，就擷取了《莊子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這一古代文化實(shí)例和增長(zhǎng)率及細(xì)胞分裂等生活實(shí)例，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)并不是高高在上的，它如影隨形地存在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，使之產(chǎn)生了“想一探究竟的沖動(dòng)”.其次，數(shù)學(xué)的有趣還體現(xiàn)在解決問題后所獲得的成就感和滿足感上.而現(xiàn)實(shí)卻是大多數(shù)學(xué)生覺得數(shù)學(xué)難學(xué)，造成此種現(xiàn)象的重要原因之一是學(xué)生沒有獲得足夠的成功體驗(yàn).因此在解決教學(xué)難點(diǎn)時(shí)，應(yīng)把難點(diǎn)分解或做好鋪墊.本節(jié)課在解決指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)這一重難點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)中，就是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題串，層層遞進(jìn)，從特殊到一般，從具體到抽象，讓學(xué)生通過獨(dú)立思考獲得問題解決，從而最后抽象出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的.

二、教學(xué)生學(xué)有用的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是有用的.數(shù)學(xué)為其他學(xué)科提供了語言、手段、思想和方法，具有工具性的特性.從育人角度來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，才是學(xué)生終身發(fā)展所需的關(guān)鍵能力，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正意義所在.本節(jié)課包含了豐富的數(shù)學(xué)思想（如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想）和數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)（如數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)建模等）.這節(jié)課的脈絡(luò)是通過具體實(shí)例抽象出指數(shù)函數(shù)的定義，滲透數(shù)學(xué)抽象和從特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，反思指數(shù)函數(shù)的定義并理解分類討論思想，通過畫出指數(shù)函數(shù)的圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法找到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，通過應(yīng)用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行大小比較讓學(xué)生看到化歸的力量，感悟指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義和廣泛應(yīng)用，學(xué)會(huì)如何去建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型來解決數(shù)學(xué)問題.整節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)都緊緊圍繞數(shù)學(xué)思想方法的灌輸和學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)這條主線來展開，深挖隱藏在知識(shí)背后的思想方法，把核心素養(yǎng)的培養(yǎng)真正落到實(shí)處.

三、教學(xué)生學(xué)有文化的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在其基本理念中指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.”通俗來說，數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言及數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美學(xué)及數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分.“當(dāng)我們真正把數(shù)學(xué)文化的魅力滲入教材，達(dá)到課堂，深入教學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)就會(huì)平易近人，讓大家通過文化層面易于理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué).”將數(shù)學(xué)文化引入課堂，會(huì)使我們的課堂變得更加豐滿，有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)觀.在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們看到數(shù)學(xué)文化無處不在，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”“勤學(xué)如春起之苗，不見其增，日有所長(zhǎng)；輟學(xué)如磨刀之石，不見其損，日有所虧”等名句既服務(wù)于教學(xué)，又深含人生哲理.多種數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的滲透、兩種指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)既統(tǒng)一又對(duì)立、指數(shù)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)潔美、指數(shù)函數(shù)圖像的對(duì)稱美等，無一不是數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的體現(xiàn).

四、教學(xué)生學(xué)有溫度的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)不是冰冷的數(shù)字羅列，刻板的概念展示和公式變換的游戲，數(shù)學(xué)是有溫度的，它的溫度體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的精神感知.當(dāng)我們?cè)诮虒W(xué)生學(xué)會(huì)如何思考時(shí)，也就是在培養(yǎng)學(xué)生的理性精神；當(dāng)我們?cè)谡n堂上展示指數(shù)函數(shù)優(yōu)美的圖形和函數(shù)表達(dá)式的簡(jiǎn)潔時(shí)，就是在培育學(xué)生的審美情操；當(dāng)我們教學(xué)生學(xué)習(xí)演算和推理時(shí)，又何嘗不是演算和推理在引導(dǎo)學(xué)生的精神呢？因此，我們的課堂應(yīng)讓數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想和數(shù)學(xué)的方法成為學(xué)生生命的一部分.其次，數(shù)學(xué)的溫度還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的人文關(guān)懷.一個(gè)優(yōu)秀的教師總能在學(xué)生遇到困難時(shí)，適時(shí)出手相助，以自己的教學(xué)智慧化解學(xué)習(xí)困惑，他們從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，設(shè)計(jì)出相互關(guān)聯(lián)并富有思考價(jià)值的問題鏈，搭建起問題解決的橋梁，使晦澀的數(shù)學(xué)變得平易近人，讓學(xué)生真正體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂.

[參考文獻(xiàn)]

[1]黃天天.課堂教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].數(shù)學(xué)之友，2016（8）.

[2]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3]張奠宙.數(shù)學(xué)文化的一些新視角[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，12（1）.

（責(zé)任編輯黃春香）