問題追溯數學本源導學彰顯數學價值

陳華曲

[摘要]《空間直角坐標系》是高中數學教學中的一節新授課.本節課在“問題導學”的教學模式下，在五個教學環節中通過問題的引導，讓學生從數學本源出發，體會知識再創造的過程，并逐步進入高階思維，培養學生的空間想象、數學抽象、類比推理等能力，體現以培養學生數學核心素養為目標的數學教育價值.

[關鍵詞]空間直角坐標系；數學本源；價值；維度

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05000302

道德經有言：“天地有道，道生一，一生二，二生三，三生萬物.”從數學的角度來看，這其實是全部數學的開端.人們用零來表示虛無，然后從零開始，以自然數計數，由一到二，二到三，直到無窮，這個過程體現的是一種哲學上的思想，即現代數學的本源.《空間直角坐標系》這一節新授課的知識目標是讓學生認識空間直角坐標系；學會建系；標點坐標；由坐標找點的具體位置.課堂通過層層遞進的問題設置，追溯數學本源，讓學生感受知識的來龍去脈，深刻地理解建立空間直角坐標系的必要性和合理性.顧亞龍老師在書中寫到“回溯數學本源，我們可以通過生動具體的數學教學活動，讓學生經歷數學知識再創造的過程，這也正是一個數學文化再創造的過程”.本節課也正是基于這樣深層次的教學目標，嘗試在五個教學環節中，在問題的引導下，逐步讓學生進入高階思維，體現出真正的數學價值.

一、生活問題“數學化”，以點出發溯本源

點動成線，線動成面，面動成體.從點的集合論的角度出發，可以理解為所有的空間幾何體都是由點組成的.如果要更深刻地理解這句話，首先要理解一個詞“維度”.一般維度是用來表示空間或時間的.通俗地講，維度其實就是物體自由變化的范圍.比如零維的點，維度上升一維，有了左右的運動變化，就形成線.一維的線，多了一個前后的運動變化，維度上升一維，就形成二維的面.“面動成體”同理.因此，我們常說，我們生活的空間是“三維”的，空間幾何體是“三維”的.因此，點在不同的維度空間自然有不同的表示方式，下面我們就從一點

出發追溯數學本源.

二、運動變化表其外，坐標介入蘊統一

點動成線：由簡單入手，最簡單的線是直線.

問題1：在一維的直線中，如何描述點的具體位置？

在一維直線中，數軸上的任意一點都可用對應一個實數x表示.x的變化體現的就是一個維度的變化.一維直線上的點與實數集里的數就一一對應了.數軸三要素為原點、單位長度和正方向.只有三個要素均確立，才能刻畫出一個點相對于原點的變化.

線動成面：由簡單入手，最簡單的面是平面.

問題2：在二維平面中，如何描述點的具體位置？

建立平面直角坐標系，平面上任意一點都可用一對有序實數（x，y）來描述它的具體位置. x、y的變化體現的就是兩個維度的變化.有了平面直角坐標系，平面內的點就與二維實數對（x，y）一一對應了.

面動成體：在三維空間中，又該如何表示點呢？

取一個平面的一部分，以一個矩形ABCD為例.當矩形多了一個維度，即點多了上下的變化，可以得到一個空間幾何體：長方體ABCD-A1B1C1D1.

問題3：在三維空間中，如何描述點的具體位置？

可以類比平面中點的表示方法，建立一個空間直角坐標系，用有序實數組（x，y，z）來表示.作一條垂直于x軸

和y軸所形成xOy平面的z軸，適時追問：“為什么要垂直呢？”“因為緯度的變化是上下的變化.”這樣的回答，學生可能會產生模棱兩可的感覺.學生疑惑：如果z軸不垂直于xOy面，也可以產生有序實數組，用之描述點的具體位置嗎？此時，教師可以肯定學生的想法，然后讓學生自己去嘗試建系.比如z軸與xOy平面所成角為135°.然后保留兩種方式的空間坐標系.

繼續追問：“為何要從坐標原點作垂直的z軸呢？”討論點的變化范圍應該共起點.當點A運動到點A′時，它在前后、左右的方向上并沒有變化，所以它的坐標中的x、y并沒有改變，而z的值就得看點是向上還是向下變化，即與z軸的正方向相同還是相反.z的變化體現的就是第三個維度的變化.

規范空間直角坐標系的建立.第一步，確定x軸和y軸的xOy平面，一般使∠xOy=135°，看起來更直觀.第二步，確定z軸，z軸垂直于xOy平面，使∠yOz=90°.用多媒體課件展示，介紹坐標原點、坐標軸、坐標平面、右手直角坐標系.

問題4：在空間直角坐標系中，如何寫出一個定點的坐標？你的方法是什么？

請學生寫出空間直角坐標系下的正方體各個頂點的坐標，在寫坐標的過程中，不同的學生會有不同的方法.無論是哪種方法，本質上是一致的，都是分別從三個維度去尋找（x，y，z）.這是一個逆向思維過程，每降一個維度，就可以相應的找到一個坐標.接著，教師可以給出一個特殊的實數組，如（1，1，1），學生很容易發現，點也是唯一確定的.這就是說，明確了橫坐標、縱坐標和豎坐標，空間中點的位置就唯一確定了.有了空間直角坐標系，空間中的點就與三維有序實數組一一對應了.

三、深度剖析結構特征，培養數學高階思維

請學生在原來建立的坐標系（即z軸與xOy所成角為135°的空間坐標系）上描出一個單位正方體的各個頂點，然后連線.顯然，這時畫出的正方體直觀感覺上就“不正”，對比空間直角坐標下的正方體，選擇哪種建立方式就不言而喻了.繼續追問：“為了使得直觀性更強，不同的坐標軸上的單位長度應該怎么選取呢？”因為學生在畫平面的直觀圖時已經掌握了

y軸

和z軸的單位長度的選取方式，而z軸的單位長度的標識更多的是一種直覺.教師可在此強化這種直覺的數學性.讓學生去感受z軸的單位長度如果發生改變，比如z軸的單位長度是y軸的單位長度的100倍，那么我們在描點時就增大了操作的難度，降低了可行性.讓學生切身體會到數學中這種“自然而然”的合理性.因為可以總結出空間直角坐標系的幾點內涵：（1）空間直角坐標系的三條坐標軸是兩兩垂直的，三條軸共原點.（2）畫圖時，z軸與y軸所成角是135°，y軸與z軸所成角是90°.

（3）畫圖時x軸上的長度變成原來的一半，y軸和z軸上的長度保持不變.

教師：為了更加熟練地寫出空間中點的坐標，大家回頭想一想，在寫正方體頂點坐標的過程，你有什么發現？

問題5：你能否發現并總結出空間中點的坐標的特點？

再次引導學生總結出空間直角坐標下點坐標的幾點內涵.

（1）坐標軸上的點的坐標的特點：（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）.

（2）坐標平面上的點的坐標的特點：（x，y，0）（x，0，z）（0，y，z）.

（3）既不在坐標軸上也不在坐標平面上的點的坐標的特點：（x，y，z）.

[設計意圖]深度剖析空間直角坐標系的幾何與代數特征，培養學生的數學高階思維.培養高階思維，正是現代數學重要的價值體現.

解析幾何的魅力：通過坐標系，建立起代數與幾何的橋梁.建立空間直角坐標系也是希望通過代數運算去研究幾何圖形.因此如何使得代數運算更“簡”就顯得尤為重要了.那么，基于空間中點的坐標具有的特點，在什么位置建系才能更“簡”呢？

四、思想觸動心靈，實踐檢驗真理

通過一個晶胞的建系描點，讓學生體會不同的建系方法，感受坐標規律，引導學生挖掘出幾點外延.

（1）選取坐標系的原則：使得更多關鍵的點落在坐標軸或坐標平面內.結合實際，建系時三條坐標軸的方向選取以直觀性強為基本原則.（右手直角坐標系“轉一轉”也可以）.

（2）關于坐標軸和坐標平面對稱的點的坐標的特點：關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標則相反.

（3）類比平面直角坐標系把平面分成四個象限，空間直角坐標系把一個空間分成八個卦限.

【例1】正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為1，E，F分別是AC和BB1的中點，求點E，F的坐標和點E關于點D的對稱的點的坐標.

（例題的訓練是為了檢驗學生是否掌握在空間直角坐標系下寫出點的坐標的方法，并由此發現空間中點坐標的公式.）

問題6：如果給出空間中一個點的坐標，你能準確地找到在空間直角坐標系下點的位置嗎？你的方法是什么？

這是一個逆向思維的過程，通過這個思維訓練，讓學生學會把空間的問題投影到平面上解決，降一個維度，把復雜的問題簡單化.

總而言之，本節課的教學設計著力于建立空間直角坐標系，并描出空間直角坐標系中點的坐標.抓住學生思維起點設置問題，并根據學生思維情況開展二次生成問題的研究.致力于啟發學生從高觀點上去思考與理解概念，引導學生逐步學會將知識的學習上升到數學思想和數學素養的層面上，培養學生解決問題的能力，并使之內化為自身對現實世界的獨特領悟，實施更有價值的數學教育.

（責任編輯黃春香）