基于廣義對(duì)數(shù)線性模型的可靠性評(píng)估方法

王　華，張靜遠(yuǎn),王　鵬，馮　杭

(1.海軍工程大學(xué) 兵器工程系， 武漢　430033； 2．海軍工程大學(xué) 理學(xué)院， 武漢　430033)

為了評(píng)估高可靠、長(zhǎng)壽命產(chǎn)品的可靠性，研究人員通過(guò)采用加速壽命試驗(yàn)技術(shù)快速獲得產(chǎn)品的失效數(shù)據(jù)，再通過(guò)加速模型將試驗(yàn)中獲得的失效數(shù)據(jù)進(jìn)行外推，得到產(chǎn)品在正常應(yīng)力下的可靠性。因此，利用加速試驗(yàn)評(píng)估產(chǎn)品可靠性的關(guān)鍵便是加速模型。

許多產(chǎn)品在使用過(guò)程中會(huì)同時(shí)受到溫度和振動(dòng)應(yīng)力的作用(如雷彈在裝載期間、航天電連接器在使用期間)，如何構(gòu)建有效的加速模型對(duì)上述產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行評(píng)估，是研究人員關(guān)注的重點(diǎn)。目前，國(guó)內(nèi)外研究人員在同時(shí)考慮溫度應(yīng)力與振動(dòng)應(yīng)力的加速模型方面已展開(kāi)了相關(guān)研究。Donald B.Barker[1]通過(guò)研究印刷電路板焊點(diǎn)的壽命，提出了一種描述溫度和振動(dòng)應(yīng)力的復(fù)合加速模型；陳文華[2]將廣義艾林模型應(yīng)用于航天電連接器的加速壽命研究中，提出了一種同時(shí)考慮溫度應(yīng)力與振動(dòng)應(yīng)力的加速模型；M.B.Srinivas等[3]基于斷裂力學(xué)疲勞定律提出了一種描述溫度、機(jī)械振動(dòng)應(yīng)力和電應(yīng)力的復(fù)合加速模型等。上述加速模型都是基于特定產(chǎn)品失效的物理化學(xué)機(jī)理提出的，該類加速模型通常稱為物理加速模型。上述加速模型的預(yù)測(cè)結(jié)果雖然較為可信，但是僅適用于產(chǎn)品的失效機(jī)理與加速模型相一致的場(chǎng)合，其是否適用于其他類型產(chǎn)品有待商榷，即存在外推風(fēng)險(xiǎn)。另外，這些模型在構(gòu)建時(shí)忽略了應(yīng)力之間的相互影響,其預(yù)測(cè)結(jié)果是否準(zhǔn)確也有待研究。針對(duì)上述物理加速模型預(yù)測(cè)結(jié)果較為可信但存在外推風(fēng)險(xiǎn)的特點(diǎn)，在考慮應(yīng)力之間相互影響的情況下，本文提出一種基于廣義對(duì)數(shù)線性模型的復(fù)合加速模型，以求解決單一的物理加速模型在評(píng)估產(chǎn)品可靠性時(shí)存在的問(wèn)題。

1　常用的加速模型

當(dāng)前，在加速試驗(yàn)研究中，常用加速模型有阿倫尼斯模型、逆冪律模型、艾林模型和廣義對(duì)數(shù)線性模型等。

1) 阿倫尼斯(Arrhenius)模型

在加速試驗(yàn)中，常常把溫度應(yīng)力作為加速應(yīng)力,因?yàn)闇囟壬邥?huì)加快產(chǎn)品(如電子器件、絕緣材料等)內(nèi)部的化學(xué)反映,加快產(chǎn)品失效速度。阿倫尼斯在1880年研究了這類化學(xué)過(guò)程,在研究大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)土提出如下加速模型，即阿倫尼斯加速模型[4]：

ξ=AeE/KT

(1)

式(1)中：ξ是產(chǎn)品的某壽命指標(biāo),如平均壽命、中位壽命等；A是一個(gè)與產(chǎn)品和試驗(yàn)有關(guān)的常數(shù),且A>0；E為激活能，與退化機(jī)理有關(guān)，以ev 表示；K= 8.617×10-5ev/℃是波爾茲曼常數(shù)；T為絕對(duì)溫度。

2) 逆冪律模型

在加速試驗(yàn)中，機(jī)械應(yīng)力和電應(yīng)力也經(jīng)常作為加速應(yīng)力。產(chǎn)品的某些壽命特征與機(jī)械應(yīng)力、電應(yīng)力有如下的關(guān)系[4]：

ξ=AVα

(2)

其中：ξ為某壽命特征量；V表示采用的加速應(yīng)力水平；A、α是與失效模式和實(shí)驗(yàn)方法有關(guān)的常數(shù)。

3) 艾林(Eyring)模型

單應(yīng)力艾林模型是由量子力學(xué)原理推導(dǎo)得出的用以表示產(chǎn)品的壽命特征與絕對(duì)溫度之間的關(guān)系[4]：

(3)

式(3)中：T是絕對(duì)溫度；K是波爾茲曼常數(shù)；A、B是與失效模式和試驗(yàn)有關(guān)的常數(shù)。

4) 廣義對(duì)數(shù)線性模型

Nelson通過(guò)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合，從數(shù)學(xué)的角度提出了廣義對(duì)數(shù)線性模型。該模型將產(chǎn)品的某壽命特征量看做是z個(gè)應(yīng)力元素組成的矢量S=(s1,s2,…,sz)的函數(shù)。描述加速應(yīng)力與特征壽命之間函數(shù)關(guān)系的加速模型如下：

lnξ=γ0+γ1φ1(s)+…+γzφz(s)

(4)

式(4)中：γ0,…,γz為模型參數(shù)；φ1(s),…,φz(s)為應(yīng)力元素矢量S中一個(gè)或多個(gè)應(yīng)力元素的函數(shù)。利用廣義對(duì)數(shù)線性模型進(jìn)行加速試驗(yàn)研究的時(shí)候，將φx(s)(x=1,…,z)用相應(yīng)的加速應(yīng)力函數(shù)項(xiàng)替換，就得到了一種多應(yīng)力加速模型。

在上面介紹的4個(gè)加速模型中：阿倫尼斯模型、逆冪律模型和艾林模型與產(chǎn)品失效的物理化學(xué)機(jī)理相關(guān)，這三種加速模型通常稱為物理加速模型。廣義對(duì)數(shù)線性模型是基于物理加速模型在統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上構(gòu)造的數(shù)學(xué)假設(shè)[5]，因此稱為數(shù)學(xué)加速模型。數(shù)學(xué)加速模型的預(yù)測(cè)結(jié)果不如物理加速模型可信，但適用范圍較為廣泛。

2　建立基于廣義對(duì)數(shù)線性模型的復(fù)合加速模型

對(duì)阿倫尼斯模型表達(dá)式(1)兩邊取對(duì)數(shù)，有

lnξ=γ0+γ1φ(T)

(5)

其中，γ0=lnA,γ1=E/K,φ(T)=1/T。

對(duì)逆冪律模型表達(dá)式(2)兩邊取對(duì)數(shù)，有

lnξ=γ0+γ1φ(V)

(6)

其中：γ0=lnA，γ1=α，φ(V)=lnV。

對(duì)艾林模型表達(dá)式(3)兩邊取對(duì)數(shù)，有

lnξ=γ0+γ1φ(T)-lnT

(7)

其中：γ0=lnA,γ1=B/K,φ(T)=1/T。

從上述加速模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以看出，這3種物理加速模型都可以看做是廣義對(duì)數(shù)線性模型的特殊情況，通過(guò)廣義對(duì)數(shù)線性模型可將不同應(yīng)力同時(shí)作用下的加速試驗(yàn)信息進(jìn)行融合，實(shí)現(xiàn)不同應(yīng)力下特征壽命的相互轉(zhuǎn)化[5-6]。

因此，產(chǎn)品在溫度和振動(dòng)應(yīng)力作用下的壽命特征值與加速應(yīng)力之間的函數(shù)關(guān)系可表示為

lnη=γ0+γ1φ1(T)+γ2φ2(V)+γ3φ3(T,V)

(8)

式(8)中：η為產(chǎn)品壽命特征值(如平均壽命、可靠壽命等)；γ0，γ1，γ2，γ3為模型待估計(jì)參數(shù)；φ1(T)=1 000/T為溫度應(yīng)力的函數(shù)，T為絕對(duì)溫度；φ2(V)=lnV為振動(dòng)應(yīng)力的函數(shù)，V為振動(dòng)應(yīng)力；φ3(T,V)=φ1(T)φ2(V)為考慮應(yīng)力之間存在相互影響的情況下，溫度應(yīng)力與振動(dòng)應(yīng)力交互作用的函數(shù)。

3　可靠性加速試驗(yàn)評(píng)估

1) 基本假設(shè)。在進(jìn)行加速試驗(yàn)時(shí)，做如下假設(shè)：產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布；在所施加的不同應(yīng)力水平下，產(chǎn)品的失效機(jī)理保持不變；隨機(jī)抽取的產(chǎn)品在預(yù)定的加速應(yīng)力水平下進(jìn)行試驗(yàn)，失效時(shí)間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

3) 參數(shù)估計(jì)。試驗(yàn)中，在應(yīng)力水平Si下，測(cè)試區(qū)間tij-1,tij(j=1,…,mi)內(nèi)，試驗(yàn)產(chǎn)品失效的概率為

pij=p(tij-1

e-λitij-1-e-λitij

(9)

在時(shí)間區(qū)間0,τi內(nèi)試驗(yàn)產(chǎn)品未失效的概率為

(10)

因此，當(dāng)n個(gè)產(chǎn)品在k應(yīng)力水平下進(jìn)行恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)時(shí)，產(chǎn)品可靠性加速模型的參數(shù)γ0，γ1，γ2，γ3的似然函數(shù)為

(11)

對(duì)似然函數(shù)等式兩邊取對(duì)數(shù)，可得：

(12)

得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)后，將λi與溫度應(yīng)力和振動(dòng)應(yīng)力的之間的函數(shù)關(guān)系代入上式，模型中的參數(shù)γ0、γ1、γ2、γ3的極大似然估計(jì)可由以下公式求得：

(13)

(14)

(15)

(16)

對(duì)上述式子采用直接極大化方法求解模型參數(shù)時(shí)，因?yàn)樗迫缓瘮?shù)的形式過(guò)于復(fù)雜，所以通常無(wú)法得到參數(shù)的解析解。而結(jié)合牛頓-拉夫迭代算法等數(shù)值解法求解似然函數(shù)的方法也可能會(huì)遇到不收斂、局部極值以及對(duì)初始值敏感等問(wèn)題。針對(duì)參數(shù)求解中的這些問(wèn)題，本文選用遺傳算法[7]對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)。

遺傳算法是一種在模仿生物遺傳進(jìn)化原理的基礎(chǔ)上，引入隨機(jī)理論形成的一種全局優(yōu)化算法。在求解參數(shù)的過(guò)程中，通常結(jié)合專家經(jīng)驗(yàn)和工程實(shí)際，先賦予參數(shù)一定的取值范圍，使算法在一定的區(qū)間范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，以便算法能快速的搜索出解空間中的全體合理解。通過(guò)對(duì)實(shí)例中求解得到的參數(shù)進(jìn)行分析，證明了遺傳算法具有較好的參數(shù)求解效果。

4) 可靠性評(píng)估

結(jié)合加速模型和文獻(xiàn)[8]可知，當(dāng)產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布時(shí)，產(chǎn)品的平均壽命η、特征壽命te-1、失效率λ和可靠壽命tR為

(17)

(18)

(19)

(20)

如果加速模型參數(shù)已知，就可以求得正常工作應(yīng)力水平Su=Tu,Vu下產(chǎn)品的平均壽命、特征壽命、可靠壽命等可靠性指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品可靠性進(jìn)行評(píng)估的目的。

4　實(shí)例分析

本文以航天電連接器在溫度應(yīng)力與振動(dòng)應(yīng)力綜合作用下的加速壽命試驗(yàn)[9]為例，通過(guò)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析討論所建立的復(fù)合加速模型的適用性。

試驗(yàn)共投入4組23個(gè)樣品，并分別在不同的應(yīng)力水平下進(jìn)行加速試驗(yàn)。定時(shí)對(duì)受試樣品進(jìn)行測(cè)試，直到所有樣品全部失效時(shí)試驗(yàn)結(jié)束。樣品的試驗(yàn)結(jié)果[10]如表1所示。

根據(jù)前期對(duì)產(chǎn)品可靠性的研究，可以粗略的確定各參數(shù)的取值范圍為

-10≤γ0≤5，-5≤γ1≤5

-10≤γ2≤5，-5≤γ3≤5

然后利用遺傳算法解得參數(shù)γ0，γ1，γ2，γ3的估計(jì)值為

γ0=-3.028 6,γ1=0.987 2

γ2=-0.975 8,γ3=-0.325 1

表1　不同應(yīng)力條件下產(chǎn)品各測(cè)試區(qū)間的失效數(shù)

表2　各應(yīng)力下產(chǎn)品平均壽命的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的相對(duì)誤差

5　結(jié)論

本文通過(guò)廣義對(duì)數(shù)線性模型對(duì)阿倫尼斯模型和逆冪律模型進(jìn)行有機(jī)融合，建立了一種評(píng)估產(chǎn)品可靠性的雙應(yīng)力加速模型，得到了產(chǎn)品可靠性特征值與應(yīng)力之間的函數(shù)關(guān)系；通過(guò)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，利用遺傳算法求解得到了模型參數(shù)的估計(jì)值；通過(guò)對(duì)產(chǎn)品試驗(yàn)壽命和模型估計(jì)壽命的比較分析，表明了該模型具有較好的預(yù)測(cè)精度，證明了該模型的適用性。

參考文獻(xiàn)：

[1]BARKER D B,DASGUPTA A,PECHT M G.PWB solder joint life calculations under thermal and vibrational loading[C]//Reliability and Maintainability Symposium,1991.Proceedings.IEEE,2002:451-459.

[2]陳文華.航天電連接器環(huán)境綜合應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，2006(2):348-351.

[3]SRINIVAS M B,RAMU T S.Multifactor aging of HV generator stator insulation including mechanical vibrations[J].Electrical Insulation IEEE Transactions on,1992,27(5):1009-1021.

[4]茆詩(shī)松,王玲玲.加速壽命試驗(yàn)[M].北京：科學(xué)出版社,1997.

[5]李曉陽(yáng),姜同敏.加速壽命試驗(yàn)中多應(yīng)力加速模型綜述[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2007,29(5):828-831.

[6]陳循.加速壽命試驗(yàn)技術(shù)與應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社,2013.

[7]段玉倩,賀家李.遺傳算法及其改進(jìn)[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào),1998(dl):39-52.

[8]張志華.可靠性理論及工程應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2012.

[9]錢(qián)萍.航天電連接器綜合應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析的研究[D].杭州：浙江大學(xué),2009.