軸力對自由邊界Timoshenko梁橫向動特性影響研究

王　樂，余慕春

(中國運載火箭技術(shù)研究院， 北京　100076)

導彈的橫向動特性對其在飛行過程中的穩(wěn)定性及動載荷等有較大影響，在飛行過程中，導彈除了承受橫向載荷，還要承受由發(fā)動機推力、氣動阻力等導致的很大的軸向載荷。軸向載荷會對導彈的橫向動特性產(chǎn)生一定的影響，在某些情況下，例如在計算潛射導彈出筒或出水過程的橫向載荷時，這種影響是不可忽視的，因此有必要研究其對橫向動特性的影響程度。由于導彈是細長體，其橫向動特性一般采用梁模型進行計算，很多學者也用梁模型研究軸向載荷對橫向動特性的影響。對于Euler梁在軸向力作用下的橫向振動，已經(jīng)有一些文獻進行了研究。宋健[1]給出了軸向力作用下求解等截面Euler梁橫向動特性的解析方法，研究了推力和空氣阻力對火箭橫向振動頻率和振型的影響；張廣蕓等[2]給出了軸力對于Euler梁橫向振動固有頻率影響系數(shù)的高精度表達式；張光輝等[3]基于Euler梁理論，研究了軸向荷載對錨桿橫向振動影響；龔善初[4]研究了簡支Euler梁在軸向載荷作用下固有頻率與軸向載荷的關(guān)系。

Timoshenko梁理論[5]在模型中引入了剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量，與Euler梁理論相比，其模型更準確，在工程設計中得到了廣泛應用[6-9]。劉吉源等[10]利用瑞雷法得到任意邊界條件下梁固有頻率的泛函方程，建立了軸力作用下兩端固支Timoshenko梁的頻率方程，討論了軸向力、轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形對解的影響；王英華[11]建立了潛射導彈的Timoshenko梁有限元模型，將軸力產(chǎn)生的預應力加入梁單元中進行模態(tài)分析，計算了出水過程中軸向載荷對潛射導彈橫向振動特性的影響，對于自由邊界條件下Timoshenko梁在軸向力作用的橫向振動問題，有必要用解析的方法進行研究。

本文給出了軸力作用下Timoshenko梁自由振動的偏微分方程，采用分離變量法求解，給出了軸力作用下自由邊界Timoshenko梁固有頻率的控制方程。建立了截面為環(huán)形的自由邊界Timoshenko梁模型，計算了軸力對Timoshenko梁橫向動特性的影響，本文給出的計算方法對導彈橫向動特性設計具有一定的參考意義。

1　軸力作用下Timoshenko梁自由振動方程

設梁的材料密度為ρ，長度為l，作用在梁兩端的軸向壓力為固定值T，作用在梁上單位長度的橫向力為q1，如圖1所示，梁的單位長度的慣性力和慣性力矩分別為q和m，梁截面的線位移為y，角位移為φ，截面的面積為A，繞橫軸的慣性矩為I。

由梁的內(nèi)力和位移參數(shù)的關(guān)系可知

(1)

(2)

式(2)中C是截面的抗彎剛度，為

C=kGA

(3)

其中k是Timoshenko梁截面的剪切系數(shù)。

設梁的截面為等截面，作用在梁上的橫向力q1不隨時間變化，可得Timoshenko梁模型的運動方程為

(4)

2　軸力作用下自由邊界Timoshenko梁自由振動方程的求解

為了求解式(4)，采用變量分離法，令

y=W(x)sin(ωt+φ)

(5)

式(5)中，W(x)是振型，ω是梁的固有頻率，將式(5)代入式(4)，可得

(6)

令W(x)=Deλx，由式(6)，可得

(7)

式(7)是關(guān)于λ的四次方程，令

(8)

可得λ的4個根分別為

(9)

其中

(10)

(11)

則W(x)的形式可寫為

W(x)=C1cosa2x+C2sina2x+

C3cosha1x+C4sinha1x

(12)

對于兩端自由的梁，其邊界條件為

(13)

梁的線位移和角位移有如下關(guān)系式

(14)

將上式對x進行積分，得

(15)

由式(1)，式(2)，式(13)，式(14)和式(15)，可得式(4)的邊界條件為

(16)

將式(5)代入式(16)可得

(17)

將式(12)代入上式，可得

當x=0時，有

(18)

當x=l時，有

(19)

可得

(20)

式(20)是關(guān)于C1和C2的線性方程組，為了使得W(x)有非零解，則C1和C2必有非零解，因此有

(21)

式(21)是關(guān)于Timoshenko梁固有頻率ω的方程，該方程為超越方程，解此方程即可求得有軸力作用下自由邊界Timoshenko梁的固有頻率，求出ω后，可求得振型W(x)。

3　算例

以自由邊界的鋼質(zhì)梁為例，設E=2×1011Pa，I=8.333×10-6m4，A=0.01 m2，ρ=7 800 kg/m3，l=5 m，k=0.851。為了檢驗式21計算方法的正確性，在無軸力作用條件下，將固有頻率計算結(jié)果與Euler梁理論進行對比。由文獻[12]和文獻[13]可知，自由邊界Euler梁的固有頻率方程為

(22)

令T=0，由式(21)計算Timoshenko梁的固有頻率，用二分法求解超越方程，設置搜索步長dω=0.001 rad/s，誤差eps=1e-6。由式(22)直接計算Euler梁的固有頻率，結(jié)果見表1。

表1　自由邊界條件下Timoshenko梁和Euler梁固有頻率對比

由計算結(jié)果可知，由式(21)和式(22)分別計算Timoshenko梁和Euler梁的各階固有頻率相近，其中Euler梁各階固有頻率均高于Timoshenko梁，這是由于Euler梁忽略了截面的剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量導致的。

在式(21)中引入軸向壓力，計算不同軸向壓力對自由邊界Timoshenko梁橫向一階固有頻率的影響。計算結(jié)果見表2。

表2　軸向壓力對自由邊界Timoshenko梁橫向一階固有頻率的影響

從表2可知，當軸向壓力逐漸增大時，自由邊界Timoshenko梁橫向一階固有頻率逐漸降低至零，本文求得的一階固有頻率降為零時的軸向壓力，即臨界壓力Tcr=6.579 47e5 N，這個結(jié)果與文獻[10]相近。

導彈在飛行過程中在主動段往往要承受較大的壓縮載荷，其艙段截面一般為薄壁圓環(huán)，為了估算軸向壓力對導彈飛行橫向動特性的影響，建立了截面為環(huán)形的Timoshenko梁模型，剪切系數(shù)k的計算使用文獻[14]的方法，表達式為

(23)

式(23)中υ是材料的泊松比。采用式(21)計算方法求得的前三階固有頻率見表3。其前三階橫向振型見圖2。

表3　無軸力作用下梁的橫向固有頻率

計算了不同軸向壓力對該梁前三階橫向固有頻率的影響，計算結(jié)果見表4。

表4　軸向壓力對環(huán)形截面Timoshenko梁橫向固有頻率的影響

從以上計算結(jié)果可見，軸向壓力對最低階頻率的影響最大，階次越高影響越小。當軸向壓力為500 000 N時，導彈橫向第一階頻率降低3.15%，第二階頻率降低0.92%，第三階頻率降低0.41%。

4　結(jié)論

1) 本文給出了軸力作用下Timoshenko梁自由振動方程，在自由邊界下，采用分離變量法求解該方程，給出了軸力作用下自由邊界Timoshenko梁固有頻率的方程；

2) 在無軸力作用及自由邊界條件下，通過求解固有頻率的超越方程，得到的Timoshenko梁固有頻率計算結(jié)果與Euler梁計算結(jié)果接近，驗證了本文給出的自由邊界軸力作用下Timoshenko梁自由振動方程求解方法的正確性；

3) 為了估算軸力對導彈橫向動特性的影響，本文建立了截面為環(huán)形的Timoshenko梁模型，不同軸向壓力下橫向固有頻率計算結(jié)果表明，軸向壓力對最低階頻率的影響最大，階次越高影響越小。當軸向壓力為500 000 N時，導彈橫向第一階頻率降低3.15%，第二階頻率降低0.92%，第三階頻率降低0.41%。

參考文獻：

[1]宋健.在推力和阻力作用下飛行器橫向振動分析[J].中國工程科學，2000，10(2):63-72.

[2]張廣蕓，張宏生，陸念力.Bernoulli-Euler梁橫向振動固有頻率的軸力影響系數(shù)[J].工程力學，2011，28(10):65-71.

[3]張光輝，茅獻彪，吳宇，晁剛偉.軸向荷載對錨桿橫向振動特性影響的數(shù)值分析[J].礦業(yè)研究與開發(fā)，2015，35(3):42-46.

[4]龔善初.軸向載荷作用下簡支梁橫向振動的固有頻率[J].甘肅科學學報，2004，16(3):99-101.

[5]TIMOSHENKO S P.On the correction for shear of differential equation for transverse vibrations of bars of prismatic bars[J].Philosophical Magazine,1921,41(5):744-746.

[6]張會端，孫俊嶺.彈性支承條件下傳動絲杠的橫向振動分析[J].長春大學學報，2011，21(2):16-20.

[7]梁榮柱，林存剛，夏唐代，吳世明.考慮隧道剪切效應的基坑開挖對鄰近隧道縱向變形分析[J].巖石力學與工程學報，2017，36(1):223-233.

[8]徐志勝，翟婉明，王開云.基于Timoshenko梁模型的車輛軌道耦合振動分析[J].西南交通大學學報，2003，38(1):22-27.

[9]龍麗麗，劉東甲，盧志堂，等.基于Timoshenko梁模型的完整樁瞬態(tài)橫向振動模擬計算[J].合肥工業(yè)大學學報(自然科學版)，2011，34(3):403-407.

[10] 劉吉源，戈新生，陳立群.軸向力作用下Timoshenko梁的橫向振動[J].北京機械工業(yè)學院學報，2000，15(3):56-59.

[11] 王英華.軸向載荷對潛射導彈橫向振動特性影響分析[J].導彈與航天運載技術(shù)，2002(6):9-15.

[12] 盛宏玉.結(jié)構(gòu)動力學[M].合肥：合肥工業(yè)大學出版社，2007：203-205.

[13] 卓曙君，葛玉君.梁的橫向振動頻率方程的一般表達式[J].國防科技大學學報，1988，10(3):27-32.

[14] 王樂,王亮.一種新的計算Timoshenko梁截面剪切系數(shù)的方法[J].應用數(shù)學和力學,2013,34(7):756-763.