試析指向核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計
——以“反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)（1）”為例

王逸勤 林晴嵐 陳柳娟

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部，福建 福州 350025）

“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”是當(dāng)前數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的熱點，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為“具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力”，并將高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)確定為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析六方面。［1］《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》雖然四處出現(xiàn) “數(shù)學(xué)素養(yǎng)”這個詞，但它沒有對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與外延進(jìn)行界定，以至于初中老師們對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與外延不明確， 對初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐過程可操作性不強，這將不利于基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)高中教學(xué)的銜接。為此，筆者試以“反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)（1）”對核心素養(yǎng)的培育進(jìn)行解析。

一、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計示例

（一） 價值分析

“性質(zhì)”體現(xiàn)“變中有不變”的思想。從反比例函數(shù)圖像看，無論圖像如何變，從左往右看總會呈現(xiàn)上升或下降的趨勢，從函數(shù)值看，無論函數(shù)值如何變，它要么變大要么變小。［1］初中階段主要用圖像語言和文字語言來刻畫函數(shù)性質(zhì)，到了高中階段就上升到用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號語言來刻畫。

（二） 教學(xué)問題診斷分析

對于用描點法畫圖像，在畫一次函數(shù)和二次函數(shù)的基礎(chǔ)上，學(xué)生有自己的經(jīng)驗：列表、描點、連線，但反比例函數(shù)圖像比正比例函數(shù)形態(tài)更復(fù)雜，因此畫圖存在困難，導(dǎo)致對其性質(zhì)的理解也存在困難。［3］

（三）教學(xué)過程設(shè)計分析

1.復(fù)習(xí)舊知

［問題1］學(xué)過哪些函數(shù)？從哪幾個方面學(xué)習(xí)這些函數(shù)？ 如何進(jìn)行研究呢？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生回顧研究一次函數(shù)、二次函數(shù)思路和方法，得出研究函數(shù)的一般方法，確定研究思路。

教什么包括教學(xué)生學(xué)什么和教學(xué)生怎么學(xué)，那么教學(xué)生學(xué)什么？以知識為載體學(xué)研究的方法，加強“如何思考”的啟發(fā)和引導(dǎo)，用數(shù)學(xué)思維思考世界；教學(xué)生怎么學(xué)？就是從哪些角度、哪些方面進(jìn)行研究，［4］比如函數(shù)一般從函數(shù)概念、函數(shù)圖像和性質(zhì)、函數(shù)應(yīng)用這三個方面進(jìn)行研究，而函數(shù)圖像和性質(zhì)一般從數(shù)和形兩個角度來分析，這樣發(fā)揮“一般科學(xué)研究方法”的作用，積累研究方法經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)。

2.探求新知

［問題2］畫出反比例函數(shù)y=6/x和y=12/x的圖像

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生回顧研究一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像的過程：列表、描點、連線，引導(dǎo)學(xué)生觀察式子，k不等于0，容易想到分為k＞0和k＜0兩種情況討論。

學(xué)生獲得圖像一般要經(jīng)歷兩個過程，（1）用描點法畫圖獲得大致圖像。認(rèn)真對自變量進(jìn)行取值并觀察列表中的數(shù)據(jù)，描點畫曲線時會注意曲線的位置、形狀和走勢，這無形中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力和直觀想象能力，在這過程中類比正比例函數(shù)圖像和二次函數(shù)圖像畫法得到反比例函數(shù)圖像，積累畫圖活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)。（2）借助幾何畫板獲得精致圖像。當(dāng)然，這徒手畫出的反比例函數(shù)圖像是大致圖像，有的學(xué)生連的是折線圖，要想驗證畫得是否正確，要借助幾何畫板軟件，隨著點數(shù)的增加，多媒體上的點越來越密，把無數(shù)個點一一顯示出來，幾何畫板充分展示了反比例函數(shù)圖像兩支雙曲線的生成過程，讓學(xué)生經(jīng)歷雙曲線的產(chǎn)生過程，學(xué)生由此理解曲線是由無數(shù)個點組成的，同時還會類比面是由無數(shù)條線組成，體是由無數(shù)個面組成的，［4］這為后續(xù)微積分知識做好鋪墊，學(xué)生從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，在這過程中，感悟變化與對應(yīng)思想、有限與無限思想，積累圖像生成過程的思維活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生“大膽猜想，小心驗證”合情推理素養(yǎng)、類比線到面和體，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生直觀想象。

［問題3］觀察反比例函數(shù)y=6/x和y=12/x的圖像，有哪些特征？

（1）圖像經(jīng)過象限有哪些？

（2）觀察圖像，隨著x的增大，y變化情況如何？你能由它們的解析式說明理由嗎？

（3）圖像有怎樣的對稱性？你能由它們的解析式說明理由嗎？

（4）圖像與坐標(biāo)軸有怎樣的位置關(guān)系？你能由它們的解析式說明理由嗎？

（5）對于反比例函數(shù)y=k/x（k＞0），你能得出（1）（2）（3）（4）同樣的結(jié)論嗎？

師生活動：師引導(dǎo)學(xué)生觀察具體反比例函數(shù)圖像特征，進(jìn)而歸納得出一般反比例函數(shù)性質(zhì)。

要獲得函數(shù)性質(zhì)，既離不開“形”，也離不開“數(shù)”，初中學(xué)生獲得函數(shù)性質(zhì)一般要經(jīng)歷兩個階段，直觀感知階段和定性描述階段。 在直觀感知階段，觀察這兩個反比例函數(shù)圖像“形”（形狀、位置、變化趨勢），從左往右看（是認(rèn)知習(xí)慣，也是坐標(biāo)軸特征的要求），圖像呈下降趨勢；函數(shù)不僅關(guān)于原點對稱還關(guān)于直線y=x對稱，類比正比例函數(shù)圖像特征得到反比例函數(shù)的增減性、對稱性，培養(yǎng)學(xué)生類比推理素養(yǎng)，而且還觀察到不同于正比例函數(shù)圖像的一個特征：無限接近于x，y軸，但不與x，y軸相交，也就是漸近性。漸近性刻畫了函數(shù)的極限思想，當(dāng)x趨于無窮大時，y趨于0，這為高等數(shù)學(xué)極限學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，為培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)創(chuàng)造條件。

在定性描述階段，用圖形語言描述性質(zhì)不夠準(zhǔn)確，無法進(jìn)行計算檢驗，須從解析式上進(jìn)一步認(rèn)知，從而通過“數(shù)”（解析式）的運算檢驗獲得反比例函數(shù)的增減性、對稱性、漸近性，從直觀感知到定性描述，從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，為后續(xù)高中函數(shù)性質(zhì)定量刻畫學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，積累用數(shù)學(xué)思維思考問題的經(jīng)驗，提升了學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)。

研究完具體反比例函數(shù)性質(zhì)，猜測一般反比例函數(shù)y=k/x（k＞0）是否具有同樣性質(zhì)？通過幾何畫板驗證（k取大于0的任意值），觀察值不同時，反比例函數(shù)圖像也不同，［2］引導(dǎo)學(xué)生感悟“變中有不變”函數(shù)思想，同時從函數(shù)解析式上進(jìn)一步檢驗，通過觀察特例、提出猜想、驗證猜想并歸納結(jié)論，積累思維活動經(jīng)驗，不知不覺發(fā)展學(xué)生合情推理和抽象素養(yǎng)。

［問題4］對于反比例函數(shù)y=k/x（k＜0），它的圖像和性質(zhì)是怎樣的？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生通過類比反比例函數(shù)y=k/x（k＞0）圖像和性質(zhì)，得出反比例函數(shù)y=k/x（k＜0）的圖像和性質(zhì)。

學(xué)生能自己思考的問題讓他們自己思考，獨立思考問題是數(shù)學(xué)育人很重要的一點，通過自己思考變成自己東西，積累活動經(jīng)驗，發(fā)展素養(yǎng)。要想研究反比例函數(shù) y=k/x（k＜0），不難想到類比反比例函數(shù)y=k/x（k＞0），類比反比例函數(shù)y=k/x（k＞0）圖像和性質(zhì)的研究方法，想到從特殊反比例函數(shù)y=-6/x、y=-12/x入手到一般反比例函數(shù)y=k/x（k＜0），從數(shù)和形兩個角度來研究反比例函數(shù)y=k/x（k＜0）圖像和性質(zhì)。提高學(xué)生解決問題和研究方法的能力，培養(yǎng)學(xué)生類比推理素養(yǎng)并進(jìn)一步提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)和合情推理素養(yǎng)。

［問題5］反比例函數(shù)y=6/x與y=-6/x圖像有什么不同點？

師生活動：兩個圖像既有共同點，又有不同點，引導(dǎo)學(xué)生對比。

通過對比兩個圖像特征，除了都有兩支雙曲線以及漸近性一樣，它們的象限位置、單調(diào)性以及對稱性都不一樣，是什么原因?qū)е滤鼈儾灰粯樱恳龑?dǎo)學(xué)生關(guān)注反比例系數(shù)“k”的不同引起它們性質(zhì)不同，教師在引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比、歸納的過程中，促進(jìn)學(xué)生抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)的養(yǎng)成。

3.歸納總結(jié)

［問題6］你能否用自己的表達(dá)方式總結(jié)反比例函數(shù) y=k/x（k≠0）圖像的特征和性質(zhì)［2］。

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生用自己方式（列表或畫思維導(dǎo)圖）來梳理、歸納這節(jié)課知識點。

引導(dǎo)學(xué)生用自己方式（列表或畫思維導(dǎo)圖）來歸納這節(jié)課知識點，通過歸納，培養(yǎng)學(xué)生分類和抽象概括能力，體現(xiàn)學(xué)生抽象素養(yǎng)和推理素養(yǎng)。

4.應(yīng)用新知

某用戶需要一幅面積是10平方米的矩形窗簾，設(shè)窗簾的長為y米，寬為x米。（1）y與x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）畫出該函數(shù)圖像

師生活動：根據(jù)題意列方程并畫圖像。

數(shù)學(xué)的語言本質(zhì)就是模型，方程和函數(shù)是義務(wù)教育階段兩個重要的模型，而反比例函數(shù)是函數(shù)中較為重要的模型，反比例函數(shù)概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)用到外部世界，體現(xiàn)建模的過程，同時學(xué)會分析數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中挖掘信息等。實現(xiàn)建模素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的發(fā)展，會用模型表達(dá)現(xiàn)實世界。

二、指向核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計教學(xué)建議

教師在進(jìn)行指向核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計時，可以從以下幾個方面入手：

首先，增強“一般科學(xué)方法”指導(dǎo)。教學(xué)生學(xué)什么？教學(xué)生學(xué)研究方法及學(xué)如何研究。［3］學(xué)哪些研究方法？比如鼓勵學(xué)生大膽發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納推理過程：觀察特例—猜想—驗證—歸納，教學(xué)生一些解決問題的策略：舉例、畫圖法、從特殊到一般等。學(xué)如何研究，也就是對事物進(jìn)行哪些方面研究，比如三角形，先是研究三角形的定性方面再研究三角形的定量方面。其次，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師可以設(shè)計有思維含量的教學(xué)問題來把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。比如對“反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)”進(jìn)行追問：反比例函數(shù)性質(zhì)教育價值是什么？“性質(zhì)”體現(xiàn)“變中有不變”的思想［2］，這無形中發(fā)展學(xué)生抽象素養(yǎng)；反比例函數(shù)圖像是什么？這涉及圖像形成過程，有利于發(fā)展學(xué)生抽象思維；反比例函數(shù)圖像有怎樣特點？這涉及自變量和因變量間關(guān)系，有利于發(fā)展學(xué)生抽象和推理素養(yǎng)。再次，挖掘知識發(fā)生發(fā)展過程。教師要努力挖掘知識發(fā)生發(fā)展過程，設(shè)計有意義的活動，讓學(xué)生經(jīng)歷知識生成和推導(dǎo)過程，在這過程中感悟數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。