基于核心素養 培養關鍵能力
——以《釘子板上的多邊形》的教學為例

劉新亞

《釘子板上的多邊形》是五年級上冊“綜合實踐”單元的內容，屬于規律探索類課型，其價值不僅僅在于得出一個結論，而且重在讓學生經歷規律探索的一般過程與方法，積累數學活動經驗，培養學生善于發現的眼光、科學嚴謹的態度和歸納概括的能力。本課內容的教學涉及數學抽象與邏輯推理的素養。基于培育學生數學核心素養與關鍵能力，由課外到課內，再由課內到課外，課堂中體現了數學的理趣。

一、“研學”與“操作”，培養自學自悟能力

新課程的重要任務是轉變學生的學習方式，讓學生自主探究、自我建構知識體系，將學習自主權真正還給學生。以前倡導學生課前預學，但發現達不到設想的效果，后來又提出了“研學”。“研學”更具有明確的目標（學什么），更注重方法的滲透（怎么學），還有學科思維的引領（為什么這樣學）。“研學”讓學習向四面八方打開。而“操作”能幫助學生感知和建構表象,領悟知識的形成過程。課前通過“研學”和“操作”活動，培養學生的自學自悟能力。

1.課前“研學”，提供探索時空。

“研學”是學生個體的獨學活動，“研學單”是學生獨學的腳手架。教師給每個學生提供“研學單”，學生在課前根據“研學單”的要求進行自主研學，實現個體深入學習與內化，倡導個性化學習方式，鼓勵提出探究性的問題。課前“研學”幫助學生獲得必備的認知經驗。

《釘子板上的多邊形》“研學單”的第一題：給出教材中內部有1枚釘子的圖形，依次是三角形、直角梯形、有3個直角的五邊形、平行四邊形。要求學生分別數出其邊上的釘子數以及面積，填入相應表格，觀察表格中的數據，發現多邊形面積與邊上釘子數的關系。這其實是教材例題的一半，也是學生能根據已有知識基礎，在學習本課之前就能自己解決和發現的問題。“研學單”第二題：先給出2個內部有2枚釘子的圖形，再讓學生畫兩個與前面不同的多邊形，使得釘子圖內有2枚釘子。

兩道題，看似很簡單，但卻能從中發現不同的學生有不同的表現。學生都能做到獨立、正確完成“研學單”，理解兩個關鍵詞語“邊上的釘子數”和“內部的釘子數”，有些學生能優化求多邊形面積的方法，雖然題中沒有給出相應表格記錄數據；但也有些學生能從第一題的發現中，想到去記錄第二題的數據，并發現了第二題的圖沒有與第一題相同的規律。

在這一自主研學的過程中，培養了學生自主預習的能力，即自己獨立學習的能力，這將使學生受益終生。

2.玩釘子板，豐富直觀感知。

玩是小學生的天性。課始，給每個學生一個釘子板、一條橡皮筋，讓學生玩（動手操作）。學生根據自己玩數學學具的經驗，很快地在釘子板上圍起了圖形。這時，給學生充足的時間，把圖形拉大、縮小，把圖形進行變化，在圖形變化的過程中，學生直觀感知釘子板上的多邊形的面積隨著所用到的釘子數變化而變化，同時讓學生最后定好一個圖形。這一活動，既讓學生感覺到這節數學課不同于一般的數學課，又讓學生在玩中初步感知要學的數學知識，同時還巧妙地為本節課中的驗證規律提供了豐富的、現實的資源。

二、“交流”與“互學”，培養合作交往能力

學習既要有學生的獨學，更要有與自己經歷、學力相當的同學的幫助和激勵。自己的理解、感悟以及疑問在小組內交流，互相補充，形成共同的研學成果。

1.交流課前“研學”，了解探索規律的一般過程。

交流是學生相互學習、思維碰撞的有效途徑。本課中，學生對“研學單”上第一題進行交流，匯報研學成果。在這一過程中，教師有意識地進行質疑，如：2號圖形的面積是怎樣求的？你也有什么問題考考大家？4號圖形邊上的釘子數你是怎么數的？通過這些問題，再現求面積的方法，利用平面圖形的面積公式、利用圖形的割補和直接數的方法求多邊形的面積，并靈活地選用最方便的方法進行計算，幫助學生掌握數圖形邊上釘子數的方法，讓學生不重復、不遺漏地數。有效的交流，幫助所有學生掌握這節課要探索規律的必備能力，即正確地算出圖形的面積和數出邊上的釘子數。

在交流發現后，呈現三個內部不是1枚釘子的多邊形，驗證自己的發現是否符合所有釘子板上的圖形，引起沖突，再回到圖形，從不同的多邊形中找到相同，得出只有當多邊形內只有1枚釘子時，才符合這一發現，從而得出“多邊形的面積不僅和它邊上的釘子數有關，還與它內部的釘子數有關”的結論。然后再讓學生呈現課前自己在釘子板上隨意圍圖形，找到里面只有1枚釘子的多邊形，驗證這一發現的正確性。

這樣的教學活動，學生經歷了發現規律的一般過程：觀察圖形、比較數據、進行猜想、反復驗證。

2.小組合作互學，嘗試自己探索規律。

學生的學習離不開與自己經歷、學力相當的同學的幫助和激勵。課堂中學生將自己的理解、感悟以及疑問在小組內交流，互相補充，形成小組共同的研究成果。在這個過程中，實現“兵教兵”，極大地調動優生的學習積極性。

本課在總結出內部有1枚釘子的規律后，讓學生用發現規律的一般過程，去研究內部有2枚釘子的多邊形的面積與邊上釘子枚數的關系，延伸探索規律的活動。學生同桌兩人分工合作，完成表格數據的填寫，觀察數據，再次發現規律。在這一過程中，學生實現了經驗的遷移。但這一規律比前面復雜，發現和表達規律的難度也比前面大，留給學生自主活動的空間也就更大。同時根據學生之間的差異，也允許部分學生探索不出規律。

三、“思考”與“表達”，培養學生的數學關鍵能力

數學教學中要讓學生通過操作、計算、記錄、觀察、比較，在此基礎上去發現，在思考的基礎上用符號表達，才能更好地培養學生的數學抽象、邏輯推理等關鍵能力。

1.培養數學抽象能力。

數學的學習是逐步抽象的過程。由具體的實物到數字，由具體的情境到算式，由生活中的數學到符號表達，這就是數學抽象。本課中，每次的發現都及時讓學生用含有字母的式子表達自己的發現。如，研究內部有1枚釘子的多邊形后，用“a=1時，S=n÷2”來表述自己的發現，研究內部有2枚釘子的多邊形后，用“a=2時，S=n÷2+1”來表述。根據前面這兩個發現，猜想出a=3時，S=n÷2+2；a=4時，S=n÷2+3……再通過觀察這些已經發現的式子，用更簡潔的一個式子S=n÷2+a－1來概括。由具體到抽象、由抽象到更抽象，學生經歷了一次次的數學抽象過程，用數學的方式來表達，用數學符號的方式來刻畫，抽象能力也在這個過程中逐步得到了提升。

2.培養邏輯推理能力。

邏輯推理能力是學生的重要素養。本課學習內部有1枚和2枚釘子時，都是先研究實例得出數據，再在數據中提取規律，思維方式都是歸納推理。而根據前面2個規律，推想多邊形內部有3枚、4枚的情況，再驗證猜想，其思維方式與前面不同，先猜想，再用實例驗證，思維方式是類比推理。在驗證內部有3枚、4枚釘子的猜想成立之后，學生很快就能推想出內部有更多枚釘子的情況，從而總結出最終的規律。

數學教學中，要把課堂還給學生，讓學生真正成為課堂的主人，滿足他們實現自我價值的意愿，就必須在結合知識教學過程中，強化學生關鍵能力的培養，讓關鍵能力在課堂上落地生根，實現基于核心素養的小學數學的教學轉型。