自抗擾控制器在高階系統中仿真實現*

張茜丹 尹達一

1.中國科學院大學，北京 100039 2. 中國科學院紅外探測與成像技術重點實驗室，上海 200083 3. 中國科學院上海技術物理研究所，上海200083

自抗擾控制是一種基于消除擾動思想的控制方法[1-2]，其特點是不依賴被控系統的精確數學模型，設計出的控制器在不改變參數的情況下對某一類系統都具有良好的控制效果，因此自抗擾控制器具有很強的魯棒性，同時也具有控制精度高、響應速度快及抗干擾能力強等特點。目前，自抗擾控制技術在許多領域得到了應用[3]，如航天姿態控制、網狀材料的張力控制、微機電傳感器、伺服系統的運動控制及空間電力電子等系統[4-5]。2013年4月，德州儀器開始在全球發布以自抗擾技術為核心的運動控制芯片[6]，顯示了自抗擾控制技術極大的應用前景。

從自抗擾控制器提出到現在對自抗擾控制器各方面的研究，如各種參數整定方法[7-8]、頻率特性研究[9]及性能評估[10]等絕大多數工作都局限于二階系統。而對于高階被控系統，自抗擾控制器應該怎樣設計和整定還沒有具體的方法，這給自抗擾控制器的實際應用帶來局限。

因此，本文將從理論推導入手設計高階自抗擾控制器,并通過仿真驗證所設計高階自抗擾控制器的控制性能。在第1節按照Back-stepping思想[11-12]，通過低階系統的串聯構造高階自抗擾控制器。在第2節給出高階TD和高階ESO的設計方法，利用它們結合誤差反饋設計組成一個完整的高階自抗擾控制器，分別針對高階被控對象，對所設計的高階自抗擾控制器的控制性能進行仿真驗證。最后一節進行總結。

1 串聯自抗擾控制器的設計仿真

具有擾動估計、補償能力的自抗擾控制器由4部分組成：跟蹤微分器(TD)安排過度過程；擴張狀態觀測器(ESO)提取系統狀態信息和擾動信息；狀態誤差反饋組合產生誤差反饋控制量；補償裝置依據擾動估計值對系統進行擾動補償，生成最終控制量。自抗擾控制器的結構如圖1所示。

圖1 自抗擾控制器結構圖

利用一階自抗擾控制器串聯的方法對高階系統進行控制，針對一般高階系統如式(1)所示

(1)

將一階自抗擾控制器串聯起來實現對高階系統控制的思想是把狀態變量x2,x3,…,xn依次當做x1,x2,…，xn-1的虛擬控制量u1,u2,…,un-1，即把xi+1當作控制狀態變量xi的虛擬控制量ui，同時又把ui當作狀態變量xi+1要跟蹤的目標信號來設計下一個虛擬控制量ui+1，最后設計系統的實際控制量u。這個過程是把n階被控對象的控制問題化為n個一階對象的控制問題來解決，控制結構框圖如圖2所示。這種方法與現代控制理論中的Back-stepping思想基本一致，但是Back-stepping方法需要一步步遞推構造復雜的Lyapunov函數，利用子系統的Lyapunov函數信息遞推地構造整個系統的Lyapunov函數。

圖2 一階自抗擾控制器串聯控制結構框圖

以一個三階被控對象為例

(2)

其中，x1,x2,x3為狀態變量，控制目標是讓狀態變量x1快速無超調地跟蹤輸入信號v。w1(t)和w2(t)和w3(t)為不確定性擾動，在仿真中，分別取值如下：

對式(2)系統設計串聯自抗擾控制器步驟如下：

第1步，將x2作為虛擬控制量，讓x1跟蹤輸入信號v，求取u1，得到ADRC1。

1)安排過渡過程

v1=v1-hrfal(v1-v,0.5,h)

(3)

2)關于x1的擴張狀態觀測器

(4)

3)生成誤差

e1=v1-z11

(5)

4)反饋控制和擾動補償

u1=β1fal(e1,0.5,1.0)-z12

(6)

第2步，將x3作為虛擬控制量，讓x2跟蹤第1步中計算得到的虛擬控制量u1，求取u2，得到ADRC2。

1)關于x2的擴張狀態觀測器

(7)

2)生成誤差

e2=u1-z21

(8)

3)誤差反饋和擾動控制

u2=β2fal(e2,0.5,1.0)-z22

(9)

第3步，求取實際控制量u，讓x3跟蹤第1步中計算得到的虛擬控制量u2，得到ADRC3。

1)關于x3的擴張狀態觀測器

(10)

2)生成誤差

e3=u2-z31

(11)

3)誤差反饋和擾動控制

u=β3fal(e3,0.5,1.0)-z32

(12)

在設計ADRC1時，把虛擬控制量u1到變量x2的傳遞關系當作“1”來看待；設計ADRC2時，把虛擬控制量u2到變量x3的傳遞關系當作“1”來看待；最后設計ADRC3時，讓變量x3盡可能地跟蹤已確定的虛擬控制量u2。

根據上述設計的自抗擾控制器，在Simulink中搭建模型，其中各參數取值為

h=0.01，r=100，δ=1，β01=15，β02=100，β1=5，β2=50，β3=1000。輸入信號v為階躍信號，仿真結果如圖3和4所示。從仿真結果可以看出，在有擾動的情況下系統響應時間為0.8s,系統帶寬為2Hz。

圖3 串級ADRC控制下系統輸出信號與輸入階躍信號對比

圖4 串級ADRC控制下系統bode圖

2 高階自抗擾控制器的設計仿真

下面仍然按照自抗擾控制器設計的分離性原理，分別設計高階跟蹤微分器、高階擴張狀態觀測器結合誤差反饋設計，組合成為一個完整的自抗擾控制器。

2.1 高階跟蹤微分器的設計

二階自抗擾控制器中的跟蹤微分器，是將以原點為終點的快速最優控制綜合函數加以改進和優化，使其在跟蹤參考輸入信號的同時能夠安排預期動力學特性并且能夠避免高頻顫振。但是在高階情況下，通過繼續改進最速函數來設計跟蹤微分器將會非常困難和復雜。

由微分的近似公式推導一般性的微分跟蹤器形式

(13)

(14)

如果時間常數τ1,τ2很接近常數τ，那么傳遞函數式(14)可近似成

(15)

(16)

根據式(16)可建立如下線性跟蹤微分器

(17)

v1跟蹤輸入信號v0，v2可以當作輸入信號的近似微分。

一般地，傳遞關系

(18)

當參數r適當大時具有很好的高階微分功能。

以設計三階跟蹤微分器為例，根據式(18)設計

(19)

寫為跟蹤微分器的形式如下：

(20)

輸入函數v0(t)=sin(t)，參數r=30的仿真結果如圖5所示，可以看到各階導數逼近的很好，用式(19)設計的跟蹤微分器，作為高階自抗擾控制器中安排過度過程的裝置。

圖5 3階跟蹤微分器仿真結果

2.2 高階擴張狀態觀測器的設計

根據二階系統的擴張狀態觀測器的形式，將其推廣到任意階系統上。對系統

(21)

可以建立擴張狀態觀測器

(22)

對三階被控對象(2)，建立如下擴張狀態觀測器

(23)

計算狀態誤差的非線性反饋律

(24)

對誤差反饋控制量u0用擾動估計值z4的補償來決定最終控制量

(25)

由式(20)、(23)～(25)構成對被控對象(2)的自抗擾控制器。根據上述設計的自抗擾控制器，在Simulink中搭建模型，其中各參數取值為h=0.01,r=200,δ=0.5,β01=10,β02=2000,β03=20000,β04=10,β1=10,β2=10000，β3=500，輸入信號v為階躍信號，仿真結果如圖6～7所示。從仿真結果可以看出，在有擾動的情況下系統響應時間為0.05s，帶寬為15Hz，且無穩態誤差。

圖6 高階ADRC控制下系統輸出信號與輸入階躍信號對比

圖7 高階ADRC控制下系統的bode圖

3 系統對擾動的抑制能力

自抗擾控制器對擾動具有實時估計和補償的能力，用系統的靈敏度函數表現系統對擾動的抑制能力，串聯ADRC與高階ADRC的抑制特性曲線如圖8～9所示，在串聯ADRC的作用下，系統的抑制帶寬可以達到515Hz，在高階ADRC的作用下，系統的擾動抑制帶寬可以達到45Hz,但是高階ADRC的抑制能力更強，所以在針對高頻擾動可以選用串聯ADRC,針對較大的低頻擾動可以選擇高階ADRC。

圖8 串級ADRC控制下系統的抑制特性曲線

圖9 高階ADRC控制下系統的抑制特性曲線

4 結論

基于二階系統自抗擾控制器的設計方法，用2種方法將自抗擾控制器推廣到高階系統中：1)利用Back-stepping思想，將低階自抗擾控制器串聯起來實現對高階被控對象的控制；2)利用慣性環節獲取延遲信號，用線性系統構建高階跟蹤微分器，推導出擴張狀態觀測器的高階形式，結合誤差反饋設計綜合起來組成一個完整的自抗擾控制器。根據上述2種方法對同一帶擾動的三階系統設計自抗擾控制器并對所搭建系統進行仿真。仿真結果表明，2種方法所設計的自抗擾控制器在抑制擾動的同時具有良好的時域跟蹤能力，其中串聯ADRC跟蹤速度較慢，但抑制擾動的頻率范圍廣，高階ADRC的跟蹤速度更快，但抑制擾動的頻率范圍小。檢驗了這2種設計方法的有效性，為自抗擾控制器在工程上的使用提供了方便。

[1] 韓京清.自抗擾控制及其應用[J].控制與決策,1998,13(1):19-23.(Han J Q. Active Disturbance Rejection Controller and Its Applications[J]. Control and Decision. 1998,13(1):19-23.)

[2] Han J Q. From PID to Active Disturbance Rejection Control[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009,56(3):900-906.

[3] 高志強.自抗擾控制思想探究[J].控制理論與應用,2013,30(12):1498-1510.(Gao Zhiqiang. On the Foundation of Active Disturbance Rejection Control[J]. Control Theory & Applications,2013,30(12):1498-1510.)

[4] Hou Y ,Gao Z, Jiang F, et al. Active Disturbances Rejection Control for Web Tension Regulation[C]. Proc of the 2004 American Control Conf. Orlando: IEEE,2001:4974-4979.

[5] Dong L, Zhang Y, Gao Z. A Robust Decentralized Load Frequency Controller for Interconnected Power System[J]. ISA Transactions, 2012,51(3):4100-419.

[6] Achieve Improved Motion and Efficiency for Advanced Motor Control Designs in Minutes with TI’s New InstaSpin(TM)-Motion Technology[J]. The Wall Street Journal，April 18,2013.

[7] Goforth F, Zeller J, Gao Z. On Motion Control Design and Tuning[C]. Proc of the 2004 American Control Conf. Boston: IEEE,2004:716-721.

[8] 傅彩芬,譚文.基于高階控制器設計的線性自抗擾控制參數[J].控制理論與應用,2017,34(1):1-8.(Fu Caifen, Tan Wen. Parameters Tuning of Linear Active Disturbance Rejection Control Based on High Order Controller Design[J]. Control Theory & Applications,2017,34(1):1-8.)

[9] 袁東, 馬小軍, 曾慶含，等. 二階系統線性自抗擾控制器頻帶特性與參數配置研究[J]. 控制理論與應用,2013,30(12):1630-1637.(Yuan Dong, Ma Xiaojun, Zeng Qinghan， et al. Research on Frequency-band Characteristics and Parameters Configuration of Linear Active Disturbance Rejection Control for Second-order Systems[J]. Control Theory & Applications,2013,30(12): 1630-1637.)

[10] 張皎,楊旭,劉源翔，等.高階線性自抗擾控制器的性能評估[J]. 控制與決策, 2015,30(7):1162-1170.(Zhang Jiao, Yang Xu, Liu Yuanxiang， et al. Performance Evaluation for Active Disturbance Rejection with High-order Line Extended State Observer[J]. Control and Decision, 2015,30(7):1162-1170.)

[11] 高道祥,孫增圻,杜天容.高超聲速飛行器基于Back-stepping的離散控制器設計[J]. 控制與決策,2009,24(3):459-463. (Gao Daoxiang, Sun Zengqi, Du Tianrong. Discrete-time Controller Design for Hypersonic Vehicle Via Back-stepping[J]. Control and Decision, 2009,24(3):459-463.)

[12] Shao Xingling, Wang Honglun. Back-stepping Robust Trajectory Linearization Control for Hypersonic Reentry Vehicle Via Novel Tracking Differentiator[J].Journal of the Franklin Institute 353(2016):1957-1984.

[13] 陳松林,趙海香.三階擴張狀態觀測器的優化參數配置方法[J]. 控制與決策, 2014,29(10):1851-1855.(Chen Songlin, Zhao Haixiang. Parameter Optimization of Third-order Extended State Observer[J]. Control and Decision, 2014,29(10):1851-1855.)