高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路探討

周靖晨

(河北樂亭縣第一中學(xué) 063600)

高中是最受關(guān)注的學(xué)習(xí)階段，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中有很多同學(xué)們會感到困惑，甚至由于面對高中數(shù)學(xué)中的一些問題無從下手而感到苦惱.高中數(shù)學(xué)的函數(shù)問題是我們在學(xué)習(xí)過程中常見的一類問題，解決高中函數(shù)問題具有一定的規(guī)律與方法，歸其根本均與教材上的知識點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系.高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與題目練習(xí)有著密不可分的聯(lián)系，但是如果想僅僅依靠盲目地做題來實(shí)現(xiàn)提高高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的學(xué)習(xí)水平，這是很難實(shí)現(xiàn)的，所謂的題海戰(zhàn)術(shù)是要通過接觸以及解決大量的數(shù)學(xué)題目來總結(jié)相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法與解題思路，在不斷地練習(xí)中學(xué)會舉一反三.函數(shù)問題萬變不離其宗，同學(xué)們只有掌握了其所涉及的解題思路，才能使自己的學(xué)習(xí)能力得到真正的提高.

一、高中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題

在高中函數(shù)問題學(xué)習(xí)的過程中同學(xué)們經(jīng)常遇到與解決函數(shù)關(guān)系式相關(guān)的問題，這類問題所涉及到的題目非常多，如果僅僅想通過做題來解決這類問題，這是很難實(shí)現(xiàn)的，只有在做題的過程中進(jìn)行相應(yīng)的總結(jié)，將所做的題目進(jìn)行歸類與分析，才能找到不同類型題目之間的關(guān)聯(lián)，找到做題的根本.雖然高中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問題可以有很多出現(xiàn)的方式，但是歸其根本，大多數(shù)問題的解題思路均是通過對題目中相關(guān)的函數(shù)解析式進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而根據(jù)題目的具體要求，如果要求函數(shù)的最值問題，需要找到導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，如果求解函數(shù)的單調(diào)遞增或者是單調(diào)遞減區(qū)域，則需要求解導(dǎo)數(shù)大于零或是導(dǎo)數(shù)小于零的解集.

例1 如對于這道高中函數(shù)題目:

若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1這個(gè)點(diǎn)有極值，且極值為10，則f(2)的大小是多少？

解析首先我們明確該函數(shù)在x=1處有極值，且極值大小為10，即導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的值為零，f(x)在x=1處的值為10，所以有f′(1)=0,f(1)=10.通過函數(shù)解析式可以得到該函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析式f′(x)=3x2+2ax+b.根據(jù)分析可以列出兩個(gè)等式關(guān)系，分別為3+2a+b=0,1+a+b+a2=10，進(jìn)而解出a=4或a=-3a.根據(jù)兩種情況進(jìn)行相應(yīng)的討論.當(dāng)a=-3時(shí)，可以求出b=3，但在這種情況下f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0恒成立.根據(jù)我們所儲備的知識如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒大于零或恒小于零則原函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，不可能出現(xiàn)極值.若在x處有極值，則f(x)在x的兩端取值必然異號，因此該情況不滿足題意，舍去.當(dāng)a=4時(shí)，b=5，此時(shí)通過相同的分析可知a、b的取值滿足題意，進(jìn)而得出f(2)=18.

二、高中函數(shù)的三角函數(shù)問題

三角函數(shù)是我們在初中階段就開始接觸的一類數(shù)學(xué)問題，隨著年級的增長，三角函數(shù)所要求解的問題難度在不斷加深，而且涉及到三角函數(shù)的題目非常多，但歸其根本主要分為三角函數(shù)的基本性質(zhì)、進(jìn)行三角恒等變形求解問題、以及根據(jù)函數(shù)圖象與解析式進(jìn)行求解等主要解題方法.拿到題目同學(xué)們不要急于求解，要根據(jù)題目的語句以及題目中所要解決的問題來進(jìn)行相應(yīng)的分析，確定解題的思路以及過解題過程中需要用到的方法以及公式，這樣有利于同學(xué)們形成清晰地解題思路，更好地開展后續(xù)的解答過程.

例2 在三角形ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC,求b的大小.

解析首先看到邊長關(guān)系式確定解決該問題的核心方法是通過正余弦的相關(guān)定理來挖掘解題的思路，所以需要做的準(zhǔn)備工作是根據(jù)邊的關(guān)系來確定角的關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)對邊長的求解.因?yàn)閟inAcosC=3cosAsinC,根據(jù)正余弦定理將等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到：a·(a2+b2-c2)/2ab=3c·(b2+c2-a2)/2bc，進(jìn)行化簡得到2(a2-c2)=b2.結(jié)合題目中的條件a2-c2=2b，得到b=4或b=0，由于b為三角形的邊長，所以b大于0，因此b=0不滿足條件，綜上所述b=4.

三、高中函數(shù)與不等式問題

在高中函數(shù)問題的學(xué)習(xí)過程中同學(xué)們經(jīng)常會遇到不等式問題，該階段的不等式問題具有一定的難度，在做題時(shí)需要根據(jù)x的取值進(jìn)行相應(yīng)的分析，一般情況下會對題目中的不等式進(jìn)行分情況討論，在解答題過程中考慮的情況不全面，就會出現(xiàn)各種問題，最終不能正確解決該題目，這時(shí)需要同學(xué)們發(fā)散思維，充分考慮每一種情況的特點(diǎn)，不要錯(cuò)過每一個(gè)細(xì)節(jié)，對題目中的不等式進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，找到求解的簡單形式，如1<|2x-1|<6，首先我們需要將該不等式分為兩部分即|2x-1|>1與|2x-1|<6，由于涉及到絕對值，所以在求解時(shí)需要去絕對值符號，分別找出兩個(gè)不等式的解集，再將兩部分結(jié)合在一起找兩個(gè)不等式的交集即可，需要注意的是在去絕對值符號時(shí)要找對絕對值式子的零點(diǎn)，進(jìn)而進(jìn)行具體的討論.

對于高中函數(shù)問題，在學(xué)習(xí)的過程中同學(xué)們要進(jìn)行相應(yīng)的總結(jié)，將遇到的題目進(jìn)行分類并進(jìn)行相應(yīng)的總結(jié)，找到不同題目類型的特點(diǎn)，進(jìn)而在做題的過程中明確解題時(shí)所需要用的知識.高中函數(shù)問題主要可以分為導(dǎo)數(shù)問題、三角函數(shù)問題以及不等式問題，在解題時(shí)每一類題目都有相應(yīng)的解題方法，只有通過不斷地練習(xí)與總結(jié)才能找到做題的根本，進(jìn)而不斷提高學(xué)習(xí)水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]凌東忠.問題導(dǎo)學(xué)下高中數(shù)學(xué)新授課的模式[A].《現(xiàn)代教育教學(xué)探索》組委會.2015年9月現(xiàn)代教育教學(xué)探索學(xué)術(shù)交流會論文集[C].《現(xiàn)代教育教學(xué)探索》組委會，2015(1).