低復雜度的連續相位調制系統定時估計*

陳士磊

(大連藝術學院 文化藝術管理學院， 遼寧 大連 116600)

由于具備恒定包絡，連續相位調制(CPM)經常被用于無線通信領域.目前，由于人們認為接收器的解調制和同步過于復雜，CPM僅用于現代無線電領域，其應用范圍受到限制.最初，文獻[1]將最大似然(ML)解調制技術用于CPM，但是該方案需要相當大的計算成本.文獻[2]提出以Laurent分解為基礎，利用脈沖幅度調制(pulse amplitude modulation，PAM)有效地使CPM信號線性化，該技術顯著降低了檢測器的復雜度，同時并未對其性能產生影響.對于接收器的同步而言，也有許多方法對載波頻率、相位以及符號定時參數進行估計[3].通常，同步方法可分為數據輔助(data aided，DA)方案和非數據輔助(non data aided，NDA)方案，前者使用相干檢測，后者使用非相干檢測.對于CPM同步而言，其中一個最大的難題就是如何獲得可靠的符號定時信息.采用相干DA方法能夠增強可靠性，但用于符號定時估計的ML方案同時包含了定時轉移的非線性函數以及復雜的導數運算，這會導致采用相干DA方法的計算成本顯著增加.

多位研究人員提出通過CPM信號的基函數展開法解決了上述問題.文獻[4]使用了指數函數，而文獻[5-6]分別使用了PAM和沃爾什函數.雖然上述方法均能將定時誤差表示為信號的線性函數，但是依然存在復雜的導數運算.

本文提出利用基函數的替代集合(以勒讓德多項式的形式)來更好地逼近CPM信號.該方法能夠使ML方案中的定時轉移線性化，并且使導數運算變為簡單求和.對于多個常用CPM信號而言，得出的定時估計接近于修正的克拉美羅限(modified Cramer-Rao bound，MCRB)[7].

1 系統模型

傳輸基帶CPM信號的復包絡可表示為

(1)

式中：E為每個符號的能量；T為符號持續時間；φ(t，α)為N個符號的信息承載相函數，其表達式為

(2)

在接收器內，帶有符號定時偏差τ的基帶信號可被建模，其表達式為

r(t)=s(t-τ，α)+w(t)

(3)

式中，w(t)為零均值高斯噪聲，功率譜密度為N0.

假設突發的接收信號包含一個隨機生成的已知前導序列α，并且定時不確定性只限于τ=±T/2，在觀察期間T0=NT內未知符號定時參數的對數似然函數可表示為

(4)

1.1 數據輔助檢測

(5)

sn，k構成了nth符號以及kth基函數的投影系數.將式(5)代入式(4)，并將積分分成N個部分的總和，可得

(6)

式中，

(7)

通過取得對數似然函數的導數并將結果設置為零，就能夠獲得使定時誤差估計變為最大似然估計的必要條件.在去除常數并進行重新排列之后，DA對數似然函數可表示為

(8)

1.2 勒讓德多項式設計

在文獻[8]中，當K=2時，勒讓德多項式提供了足夠的精確度，能夠逼近常見的CPM信號.實際上，為了不失一般性，設置時間轉移時的勒讓德多項式的范圍為[0，T].因此，當k=0、1時，獲得了正交時間轉移基函數φ0(t)=1以及φ1(t)=2t/T-1，相應的導數計算濾波器的正交時間轉移基函數可表示為

(9)

將式(9)代入式(8)，以便減少公式計算項，可得

(10)

式中，

(11)

在這種情況下，可發現采用本文提出的方法之后首次降低了復雜度.當K=2時，每組導數計算濾波器就會進行簡單求和，并且對接收信號進行縮放，如式(11)所示.

1.3 S形曲線

S形曲線S(τ)為關于定時誤差τ的對數似然函數導數的平均值.本文利用式(10)中已知的前導序列近似S形曲線，對N個符號的近似可表示為

(12)

ML定時估計與S形曲線正斜率上的零交叉點相對應.獲得估計的方法是生成整個S形曲線，并確定零交叉點.但如果只是希望對單點進行估計，計算過程會相當繁瑣.文獻[8]提出了一種更加有效的方法，即通過假設最壞情況下的定時誤差τ=±T/2，并且評估稍微寬的范圍±3T/4內的S形曲線進行估計.基于此，在時間實例中對式(12)進行了評估，即

(13)

式中，m為S形曲線進行均勻采樣的數值(整數)，在序列中P=1.5m+1.為了對S形曲線的離散樣本進行評估，兩個樣本應滿足S(τi)<0且S(τi)S(τi+1)<0，通過線性插值發現最終近似定時誤差相當于ML估計，則有

(14)

因此，定時估計器的工作過程為：以樣本τi，i=0，1，…，P-1為例，根據式(12)對近似S形曲線進行計算；根據式(13)識別零交叉點；根據式(14)實現近似符號定時估計.

2 接收器結構設計

(15)

一旦對誤差信號進行了計算，環路濾波器就會提供一種帶有更新值的新型定時估計，即

(16)

3 仿真結果

3.1 開環系統實驗結果

為了驗證符號定時估計器的性能，本文將提出算法的定時誤差方差與MCRB進行了比較.假設定時誤差獨立并且均勻地分布在τ=±T/2范圍內，首先利用式(12)～(14)在200個符號內隨機生成前導信號.需注意的是，選取隨機前導以確保本文提出的方法能夠適用于任意一種指定的前導結構.

圖1 閉環定時恢復電路框圖Fig.1 Block diagram of closed loop timing recovery circuit

圖2是兩種常用CPM方案，即最小頻移鍵控(minimum shift keying，MSK)和高斯MSK(GMSK)的歸一化定時誤差方差.在上述兩種方案內，在速率T/m的條件下對S形曲線進行了取樣，其中，在兩種方案內分別為m=2和4.從圖2中可看出，相較于m=2，在m=4時采取的樣本與較大噪聲范圍內對應的MCRB十分接近.由于內插算法的精確度是隨著m值的增加而提升，該結果符合預期.經過觀察可以看出，在噪聲較大的情況下，提出的算法十分接近MSK和GMSK中Es/N0≤0 dB和Es/N0≤10 dB的界限，其中，Es/N0表示符號能量與噪聲功率譜密度之間的比率.

圖2 MSK和GMSK歸一化定時誤差方差Fig.2 Normalized timing error variancein MSK and GMSK

隨著m值的增加，本文希望MSK的性能優于GMSK，但是圖2顯示的結果卻違反了這個預期.在L=1的MSK方案中，線性函數在符號周期內并不具有信號相變的特點.因此，在構成S形曲線并且定時估計不精確的時候出現了近似誤差.但是在L≈3的GMSK方案中，線性函數較好地逼近了相位，這一點與S形曲線近似以及定時估計的精確度提升一致.通常，L≥2并且h≤0.5的CPM信號在符號間隔內具有線性相變的特點，并且基函數對其進行了較好地逼近.由于L降低或者h增加，相位變化不再與線性函數類似，同時近似精確度也會降低.為了進一步說明，本文考慮使用兩個候選的逼近容量CPM方法[10-11]，其中，參數為Mc=4、2RC(RC表示g(t)由升余弦函數調制產生)，進制位h=1/8以及Mc=2、4REC(REC表示g(t)由矩形脈沖函數調制產生)，h=1/4.在這種情況下，在較大的Es/N0范圍內與MCRB十分接近，在Es/N0≤15 dB的條件下，m=2與m=4之間的差異較小，如圖3所示.

3.2 閉環系統實驗結果

對于閉環系統而言，假設定時殘留誤差為τ=0，可以在DD模式下對其性能進行檢測.這種情況是人為設計的，但是能夠觀察到錯誤的數據判決對定時誤差方差的影響.在DD模式下，數據部分包含大約550個符號，并且確定回溯值D=1.圖4、5為環路帶寬為2.5e-3時DD定時的性能.顯然，在MSK和GMSK兩種方案中，符號定時估計器表現出了魯棒性能，十分接近較大噪聲值的界限，但是偏離了MCRB，即出現了近似誤差.從圖5(參數為Mc=4、2RC，h=1/8以及Mc=2、4REC，h=1/4)中可看出相似的趨勢，高階參數方案對近似誤差更加敏感，原因在于在符號間隔內的相位變化不再逼近線性函數.但在所有情況下，閉環系統均能夠在一定信噪比范圍內實現可信的定時估計，該范圍是在調制方案的工作范圍內.

圖3 在兩個逼近容量CPM方案中的歸一化定時誤差方差Fig.3 Normalized timing error variance in twoapproximation capacity CPM schemes

圖4DD模式下MSK和GMSK方案內的歸一化定時誤差方差

Fig.4NormalizedtimingerrorvarianceinMSKandGMSKschemesunderDDmode

圖5DD模式下兩個逼近容量CPM方案中的歸一化定時誤差方差

Fig.5NormalizedtimingerrorvarianceintwoapproximationcapacityCPMschemesunderDDmode

3.3 算法復雜度分析

為了分析算法實現成本，對本文提出方案的復雜度進行了比較.在文獻[4]中，為了進行求導，每個符號需要12(LoM+(L-1)A)次運算，其中，乘法次數為M，加法次數為A，Lo表示匹配濾波器的樣本長度，需要3M+A次運算來實現定時估計.在文獻[5]中，為了進行求導，需要4(LoM+(L-1)A)次運算，以及3M+A次運算來實現定時估計.在本文中，只需通過mLo次加法運算就能夠實現導數運算，并且通過12M+11A次運算實現了定時估計，比較結果如表1所示.由表1可知，本文提出方法的整體計算成本更低.

表1 不同算法的運算復雜度比較Tab.1 Comparison in computational complexityof different algorithms

4 結 論

本文提出了一種新型低復雜度的CPMML定時估計方案.利用基函數的替代集合(以勒讓德多項式的形式)來更好地逼近CPM信號.該方法能夠使ML方案中的定時轉移線性化，并且使導數運算變為簡單求和.結果表明，對于各種CPM參數而言，在開環以及閉環兩個系統中，本文提出算法的估計性能與MCRB相近.

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