斜橢圓數控車加工規律性探究

吳鳳霞

（蘇州市高等職業技術學校，江蘇 蘇州 215111）

伴隨工程技術的不斷進步，當前在數控車床領域使用宏程序進行加工處理，并保持其位置始終不傾斜的曲線旋轉面技術日漸成熟，并被應用到各類數控車床生產加工工作中。旋轉面技術所涵蓋的公式曲線有橢圓、拋物線等類別，但此類曲線存在一定的實踐運用問題：當其曲線經過一定時間或角度的旋轉運動后，相應的曲線公式就會變得傾斜，如圖1所示橢圓曲線經過轉動后逐漸變為斜橢圓曲線，如何有效解決這一傾斜問題，就需要相應的技術人員探討其斜橢圓加工的規律，以此找出相應的解決、加工措施。

圖1 橢圓曲線旋轉、傾斜為斜橢圓曲線的坐標系變化圖

1 橢圓曲線變為斜橢圓曲線的過程探究

首先將橢圓曲線經過坐標點的旋轉以及相應的平移運動，就能得到其傾斜后的斜橢圓曲線，以此方便對其變換過程做具體、細致的分析研究。

（1）公式曲線在坐標位置上的改變。公式曲線的坐標體系中任意一個點的旋轉變換，均可經由一個旋轉軸和一個旋轉角度來確定。為了便于后續的運算檢驗工作，首先將橢圓曲線一點的旋轉軸作為其坐標體系中的坐標軸，如圖2所示點（x，y）就是環繞著Z軸，在旋轉θ度角后停留于P′（x′，y′）位置。

圖2 某一點在曲線坐標系中的旋轉圖

因此該點的坐標旋轉變化的公式可總結為：

其中把公式（3）變為為矩陣方式即為：

此時矩陣R（z，θ）就是環繞著Z軸進行旋轉變化的矩陣方程，以此方法再得出 R（x，θ）與 R（y，θ）兩個矩陣，進而構建其三維空間下的旋轉變化坐標矩陣體系，其中共含有九個元素，分別為：

（2）斜橢圓曲線方程的研究確立。依據圖1所示，可以發現圖中的橢圓1的表達方程式，可以表述為以下兩種形式：

或是X=Acosw

之后依照圖1表示，在橢圓1沿著Z軸逆時針旋轉θ角度后就可得到橢圓2，依據公式（9）將其橢圓方程式做相應的變化可得到：

進而得出橢圓2在原本坐標系位置中的方程式：

之后再將橢圓2進行平移運動最終得到橢圓3，即斜橢圓的曲線方程式：

2 斜橢圓曲線中各變量之間的聯系探究

斜橢圓曲線中轉角變量w與圓心角λ是探究其形成規律的重要參數，依照公式（9）可以發現如果能掌握A、B的具體數值，通過相應轉角變量w的變換（在0°～360°之間變動），就能依照圖形繪畫的方法，將相應橢圓圖描繪出來，依據圖3所顯示的內容，圖中外部大圓的半徑即為A，而內部小圓的半徑是B，橢圓中任意一個點與圓心之間的連線，和水平坐標右軸線之間的夾角即為圓心角λ。

從關系中可以研究發現轉角變量w與圓心角λ之間存在聯系與規律為：

而在數控機床的實際零件加工作業中，依據其圖樣可較為便利地求得其橢圓圓心角λ，相應就能依照圓心角數值與公式（13）求得該橢圓的轉角變量w。

3 斜橢圓數控加工宏程序的設計、規劃思路

前文所探討的公式（12）是橢圓在坐標體系中的通常方程式，相應式子中其余參數均為固定常數，僅有轉角變量w是不確定的，當實際加工僅處理橢圓的局部輪廓時，就只需相應測算橢圓在起始位置的轉角變量w1，以及相應的終點位置的轉角變量w2，通過運算出轉角變量在w1到w2之間的角度差，進而依照公式（12）求出需要進行加工的橢圓輪廓的點的坐標位置。

斜橢圓數控加工的具體宏程序規劃流程和步驟中δ指的是轉角的增量角，其數值愈大，則逼近橢圓輪廓的效果愈差，并且方程式所用的坐標軸為XZ坐標體系，其與公式（12）中的XY坐標體系存在偏差，因此具體的斜橢圓數控加工處理規律的運用方法，將在后文的加工示例中做證明。

4 斜橢圓數控加工規律運用示例及其研究

數控車床加工的零件如圖3所示，其為直徑50mm，長度80mm的鋁合金零件。

（1）坐標系之間的整合應用。通過觀察圖1與圖3之間的橢圓坐標體系圖，可以了解到圖3中橢圓坐標所用的X軸即為圖1中橢圓坐標所用的Y軸，而圖3中坐標系中的Z軸即為圖1坐標體系中的X軸，由此就可以通過各個坐標軸之間的對等銜接，將斜橢圓的曲線方程式從公式（12）變換為零件加工所需的公式（14）：

圖3 加工零件的實物圖與坐標變換圖

（2）具體斜橢圓方程式的求解運算。通過對圖3的坐標圖研究可以知道 A=25，B=15，θ 為 75°，而 I=-10，K=35，而圓心角λ1為192.5°，λ2則為140.3°。

將其參數套入公式（13）中，就可求得橢圓的起始位置轉角變量w1為200.2°，而終點位置轉角變量w2為125.8°，由此斜橢圓曲線的具體方程式就可列為：

之后經由對轉角變量w從w1變換到w2，以此得出相應轉角增量角，使之逼近橢圓輪廓曲線，再依照公式（15）進行相應斜橢圓曲線上各點坐標的具體求解運算。

5 結語

通過上述斜橢圓變換、求解規律的研究掌握，相應斜橢圓的數控加工工作就能迎刃而解，因此值得技術人員對其曲線方程規律做進一步的理解與運用，以優化數控機床的加工處理效率。

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［2］雒銳.斜橢圓數控車加工方法探究［J］.電子制作，2013，（21）：34+3.

［3］趙薇，薛明.《基于德國“雙元制”工作過程的數控車工課程改革》課題報告相關論文之三：斜橢圓類零件數控車削加工方法研究［J］.國土資源高等職業教育研究，2016，（1）：28-31+39.