基于細(xì)菌覓食算法的自適應(yīng)NURBS曲線插補(bǔ)*

谷 巖 周 巖 林潔瓊 曹東旭 劉 陽(yáng) 孫彥東

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 吉林 長(zhǎng)春 130012)

隨著制造行業(yè)的不斷發(fā)展，自由型曲線曲面加工所采用的直線和圓弧逼近的傳統(tǒng)方法已經(jīng)無(wú)法滿足現(xiàn)階段對(duì)加工件的加工精度及加工效率的要求，近年來(lái)，多位學(xué)者對(duì)NURBS曲線插補(bǔ)方法進(jìn)行了深入探究，如沈洪垚提出了基于節(jié)點(diǎn)組合優(yōu)化策略的刀路曲線擬合方法研究[1],提高了NURBS曲線的加工精度；羅福源等提出了NURBS曲線S形加減速雙向?qū)?yōu)插補(bǔ)算法研究[2]，對(duì)速度進(jìn)行相應(yīng)規(guī)劃，使得曲線過(guò)渡更為平滑；在實(shí)際加工過(guò)程中，一些學(xué)者利用智能算法對(duì)速度和路徑進(jìn)行重新規(guī)劃，以獲得更優(yōu)解[3]。本文在現(xiàn)有理論基礎(chǔ)上，提出利用細(xì)菌覓食算法優(yōu)化NURBS曲線的控制點(diǎn)變量個(gè)數(shù)及關(guān)鍵位置信息，調(diào)整曲線參數(shù)使其得到最優(yōu)解，減小計(jì)算載荷，并通過(guò)對(duì)速度關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行S型加減速規(guī)劃控制，可使得曲線加工速度保持最佳，加工過(guò)程平穩(wěn)無(wú)波動(dòng)，從而達(dá)到高效高精加工的要求。

1 NURBS曲線規(guī)劃

1.1 NURBS曲線定義

在參數(shù)化曲線表示形式中，一條三次NURBS曲線可以表述為：

C(u)=(x(u),y(u),z(u))

(1)

其中u為任意值，0≤u≤1。

將曲線轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式對(duì)于機(jī)床多軸控制非常方便，通常可以通過(guò)參數(shù)方程單獨(dú)驅(qū)動(dòng)每一軸的運(yùn)動(dòng)。因此為了實(shí)現(xiàn)多軸聯(lián)動(dòng)，我們可以將等式擴(kuò)展為p次NURBS參數(shù)方程。

確定p次NURBS曲線C(u)的表示方法為：

(2)

式中，節(jié)點(diǎn)矢量U={u0,u1,…un-p+1}，控制頂點(diǎn)P={P0,P1,…Pn}、權(quán)重因子w={w0,w1…wn}，定義Ni,p(u)為P階基函數(shù)，其定義需滿足以下要求：

(3)

(4)

1.2 弓高誤差的計(jì)算

弓高誤差被認(rèn)為是影響加工精度的關(guān)鍵因素，也是用來(lái)判定曲線加工精度的重要參數(shù)，在數(shù)控插補(bǔ)時(shí)，可以利用曲率半徑來(lái)限制弓高誤差[4]，用弦線段對(duì)兩相鄰插補(bǔ)點(diǎn)間的弧段進(jìn)行逼近來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)曲線運(yùn)動(dòng)軌跡控制,這種逼近將會(huì)帶來(lái)插補(bǔ)弓高誤差[5](如圖1)，因此需要通過(guò)規(guī)劃合理刀具路徑及速度來(lái)減小弓高誤差，提高加工精度。將插補(bǔ)點(diǎn)C(u)處的微弧段近似于圓弧處理,由幾何知識(shí)可知，曲線曲率ρ、進(jìn)給速度Vi、插補(bǔ)周期T以及最大限制插補(bǔ)弓高誤差δmax之間滿足下式:

(5)

2 細(xì)菌覓食算法優(yōu)化NURBS曲線

2.1 細(xì)菌覓食算法(BFO)綜述

細(xì)菌覓食算法是一種新的生物啟發(fā)優(yōu)化算法，該算法可以解決非線性、多維的全局性優(yōu)化問(wèn)題[6]。由式(2)和式(4)可知，若想優(yōu)化NURBS曲線，可以通過(guò)優(yōu)化控制頂點(diǎn)和權(quán)重因子來(lái)實(shí)現(xiàn)，而權(quán)重值的優(yōu)化過(guò)程復(fù)雜而繁瑣。為方便深入探究，本文利用細(xì)菌覓食算法優(yōu)化控制點(diǎn)的參數(shù)值及變量個(gè)數(shù)，以優(yōu)化NURBS軌跡，減小計(jì)算負(fù)荷。

為了便于BFO直接參與曲線插補(bǔ)，引入適應(yīng)度函數(shù)概念，使BFO模型操作結(jié)果與NURBS控制點(diǎn)建立函數(shù)關(guān)系。首先創(chuàng)建Pn組控制點(diǎn)，每組控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)重值w(0

由式(2)可知，NURBS曲線的pu值可得：

(6)

為了降低NURBS求導(dǎo)的計(jì)算復(fù)雜度[7]，便于構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，本文將NURBS曲線改寫為矩陣形式：

(7)

(8)

通過(guò)式(7)、(8)可將NURBS描述為：

(9)

其中：P為有序數(shù)據(jù)點(diǎn)集矩陣；W(u)為NURBS曲線基函數(shù)。可得出曲線控制點(diǎn)C的近似解：

C=(ATA)-1ATP

(10)

代入式(2)可得到矩陣形式參數(shù)擬合曲線：

C(u)=A(ATA)-1ATP

(11)

記Cj(u) 為擬合曲線上對(duì)應(yīng)參數(shù)tj的點(diǎn)，則誤差平方和為：

(12)

結(jié)合式(4)，可導(dǎo)出適應(yīng)度函數(shù)公式：

(13)

其中，k為搜索半徑的倒數(shù)。構(gòu)造函數(shù)關(guān)系后，需要對(duì)Err及Pn兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行整體優(yōu)化，開始進(jìn)行算法優(yōu)化操作。

1.4 細(xì)菌覓食算法優(yōu)化實(shí)現(xiàn)

(1)趨向性操作

在BFO 模型中,細(xì)菌的趨向性操作的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(14)

將大腸桿菌覓食的特性抽象為數(shù)學(xué)模型，為提高穩(wěn)定性，采用間隔法選取優(yōu)化點(diǎn)，并保留初始點(diǎn)P0和終止點(diǎn)Pn,計(jì)算每?jī)蓚€(gè)相隔控制點(diǎn)的函數(shù)適應(yīng)度值，并比較結(jié)果決定是否保留原有值或使用新值替換原有值。

(2)繁殖性操作

(15)

(3)遷移性操作

(4)聚集性操作

此處聚集性操作為可選性操作，前文提到在曲率變化較小的位置采用遷移性操作以減少計(jì)算程度，而為了使得誤差進(jìn)一步縮小，可以選用聚集性操作，參數(shù)優(yōu)值會(huì)在曲率變化較大處密化，此種方式可在增加部分計(jì)算的情況下獲得更優(yōu)解。

(5)算法檢驗(yàn)

根據(jù)BFO算法進(jìn)行迭代，并通過(guò)式(14)進(jìn)行檢驗(yàn)，可得出結(jié)論當(dāng)?shù)螖?shù)為496次時(shí)接近最優(yōu)(如圖2)。為更加確定優(yōu)化結(jié)果，本文控制點(diǎn)數(shù)量為500個(gè)。

3 NURBS曲線速度自適應(yīng)插補(bǔ)

3.1 NURBS曲線插補(bǔ)速度規(guī)劃

在曲線插補(bǔ)過(guò)程中，最大速度不能超過(guò)機(jī)床限制速度，最大誤差不能超過(guò)弓高誤差[8]，故有公式：

(16)

整段加工過(guò)程需要滿足機(jī)床動(dòng)力學(xué)約束條件：

(17)

通常根據(jù)曲線曲率極值點(diǎn)進(jìn)行分段，對(duì)該段內(nèi)速度進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)部分速度點(diǎn)雖滿足誤差要求，但在曲線拐點(diǎn)處(即曲線曲率極值點(diǎn)處)速度變化明顯，加速度ai及加加速度Ji無(wú)法滿足機(jī)床最大承載能力，故需要對(duì)速度進(jìn)行重新規(guī)劃，以滿足機(jī)床約束。

3.2 速度重規(guī)劃——S型加減速研究

由3.1節(jié)知，曲線速度規(guī)劃僅在曲率變化較大時(shí)不滿足要求。為使得加工過(guò)程速度平穩(wěn)變化，減小速度波動(dòng)，本文采用七段式S型加減速對(duì)速度進(jìn)行規(guī)劃：

將加減速的過(guò)程分為七段：加加速階段(t0-t1)、勻加速階段(t1-t2)、減加速階段(t2-t3)、勻速段(t3-t4)、加減速階段(t4-t5)、勻減速階段(t5-t6)、減減速階段(t6-t7)。當(dāng)曲線曲率較小時(shí)，設(shè)加加速度Ji=Jmax,則可知各階段速度、加速度如表1。

表1 七段速度規(guī)劃表

ztJ(t)a(t)V(t)S(t)10≤t≤t1J1J1t1V1+12J1t12V1t1+12J1t132t1≤t≤t20AVt1+At2St1+V1t2-12At223t2tt3J3A-J3t3Vt2+At3-12J3t32St2+V3t3-12At32-16J3t334t3tt400Vt3≡Vt4≡VcSt3+V3t45t4tt5J5-J5t5Vt4+12J5t52St4+V4t5-16J5t536t5tt60-DVt5-Dt6St5+V5t6-12Dt627t6tt7J7-D+J7t72Vt6-Dt7+12J7t72St6+V6t7-12Dt72-16J7t73

根據(jù)表1所示的規(guī)劃方法，可得到對(duì)應(yīng)速度曲線，如圖3。

由圖知：此種方法可以滿足速度的平滑連續(xù)變化，與直線三段式加減速規(guī)劃法相比加工過(guò)程更為平穩(wěn)，減小了速度和加速度突變，與指數(shù)曲線加減速規(guī)劃法相比，加工所需規(guī)劃時(shí)間短，效率更高，可以適用于高精高速加工及柔性制造。

3.3 速度規(guī)劃設(shè)計(jì)

在實(shí)際加工中，存在加加速度滿足而速度超限的情況，故需要對(duì)速度進(jìn)行檢驗(yàn)，通過(guò)以下幾步驟：

(1)設(shè)vi為速度最大點(diǎn)，即當(dāng)vi=vmax時(shí),將該點(diǎn)與機(jī)床限定最大值vlimit進(jìn)行比較。

(2)若vi>vlimit，則在vi-1處提前結(jié)束加速過(guò)程，并將加加速度J調(diào)整為最小值Ji=Jmin。

(3)檢測(cè)vi和vi+1是否滿足要求，若滿足，則令J=0，繼續(xù)速度規(guī)劃，若不滿足，重復(fù)步驟(2)，直至符合要求。

(4)結(jié)束速度規(guī)劃?rùn)z測(cè)程序。

4 仿真及實(shí)驗(yàn)

4.1 仿真

為了驗(yàn)證本文提出優(yōu)化算法的可行性，本文采用復(fù)雜的蝴蝶形曲線加以仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

仿真軟件采用MATHWORKS公司提供的MATLAB軟件，此軟件可處理相應(yīng)的曲線參數(shù)，工作平臺(tái)選用Pentium?Dual-Core E5300,內(nèi)存為2GB，經(jīng)過(guò)仿真得出參數(shù)曲線(如圖4)。

同時(shí)對(duì)預(yù)先規(guī)劃的實(shí)時(shí)速度進(jìn)行擬合，得出X軸參數(shù)u與速度v的關(guān)系(如圖5)。

同理可得Y軸參數(shù)u與速度v的關(guān)系(如圖6)。

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證此方法實(shí)際可行，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)加工加以驗(yàn)證(圖7)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)選用五軸精密拋光機(jī)床，控制器采用AEROTECH公司的A3200純軟件控制器，實(shí)驗(yàn)刀具采用威特N3J62501(φ0.1 mm)尖刻刀，采用一步連續(xù)加工方式，對(duì)上述方法加以驗(yàn)證(圖8)。

通過(guò)A3200中的Digital Scope模塊對(duì)加工過(guò)程參數(shù)進(jìn)行采集，得到實(shí)驗(yàn)各項(xiàng)參數(shù)，通過(guò)對(duì)急轉(zhuǎn)角局部采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到圖9～12所示參數(shù)圖像。

從圖9看出X軸的實(shí)際速度與其理論速度存在誤差，但大體走勢(shì)與預(yù)期的基本相同且在誤差允許范圍內(nèi)。圖10是其局部放大圖，由于機(jī)床震顫產(chǎn)生較大速度波動(dòng)。圖11中的速度大體趨勢(shì)與X軸相同且比X軸更加平穩(wěn)，這點(diǎn)由圖12中的跟蹤誤差可以看出。在圖12中X軸的跟蹤誤差明顯大于Y軸的，由于誤差在允許范圍內(nèi)，驗(yàn)證速度規(guī)劃是正確的。

5 結(jié)語(yǔ)

(1)本文利用細(xì)菌覓食算法對(duì)NURBS曲線的控制點(diǎn)數(shù)量及關(guān)鍵位置信息進(jìn)行優(yōu)化，分別經(jīng)過(guò)趨向性操作、繁殖性操作、遷移性操作以及可選擇的聚集性操作對(duì)控制點(diǎn)數(shù)量及位置進(jìn)行調(diào)整，并利用曲線弓高誤差對(duì)曲線關(guān)鍵位置信息進(jìn)行檢驗(yàn)及調(diào)整，從而得到最優(yōu)解，構(gòu)造出平滑曲線，并減小了計(jì)算負(fù)荷，使得算法優(yōu)化實(shí)時(shí)在線加工成為可能。

(2)本文通過(guò)確定加減速關(guān)鍵點(diǎn)，在急轉(zhuǎn)角進(jìn)行速度規(guī)劃，在誤差及機(jī)床限制范圍內(nèi)得到最優(yōu)速度，并通過(guò)S型加減速對(duì)加速度變化過(guò)大段進(jìn)行重新規(guī)劃，保證了速度的平滑連續(xù)變化，比直線三段式加減速規(guī)劃法更加平穩(wěn)，比指數(shù)曲線加減速規(guī)劃法效率更高，本文通過(guò)對(duì)蝴蝶型曲線進(jìn)行仿真以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，保證最優(yōu)速度在限制范圍內(nèi)前提下，提高了加工精度。從實(shí)驗(yàn)中采集的數(shù)據(jù)可以看到誤差在允許范圍內(nèi)，證實(shí)了本文優(yōu)化算法的可行性。

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