挖掘高中數學錯題中蘊含的教育價值

黃鴻輝

（福建省詔安第一中學，福建詔安 363500）

引 言

高中數學的深度和難度都是其他教學階段的數學課程所不能比的，高中數學更注重知識與能力的全面提高，如果只注重學習課本知識而忽略了對學生綜合解題能力的鍛煉，就會造成無法準確地理解和應用高中數學知識為解決問題服務，這也將導致學生的數學學習質量下降。而在不斷的練習與鞏固的過程中，必然會產生許多做錯的題目。這些錯題的產生，可能是因為粗心大意，也可能是因為知識點掌握不足，對于高中數學而言，總結錯題無疑是一個系統化提升的過程，因而錯題具有的教育價值不可忽視。

一、高中數學對錯題進行總結的重要性

高中數學知識性內容多、內容駁雜。僅就課本內容而言，就出現了6本教材，涉及平面幾何、立體幾何、解析幾何、向量與代數等內容，內容之多，難度之大，跨領域學習和研究的程度也超過此前任何一個時期，故而學生在學習的過程中會不斷出現各種各樣的錯誤，錯誤題目越積累越多，相關的整理、歸納、總結如不能及時跟進，將會造成很大的知識漏洞[1]。這也意味著錯題總結具有如下的重要性：

1.明確出錯的原因，進行總結提升

錯題的出現往往有很多的原因，一般性的錯誤和知識性的錯誤不可等量齊觀，其中更有一些因為忽視和緊張而犯下的疏漏性問題。對錯題進行總結就意味著要從更全面的角度對犯錯的地方進行梳理，可以是重新演算或理解，也可以是記下相關的結論以供下次使用。錯題的總結在此處體現的是較為綜合的評估作用。一條普適的規律是犯過的錯誤往往會繼續犯，直到徹底理解錯誤的真實意義才有可能在之后的學習中規避。

2.起到習題集的作用，比習練新題更具復習意義

由于高中數學內容較多，日常的學習往往不能兼顧眾多的知識點，而考試尤其是高考，針對的是全面的知識體系，這就凸顯了不斷復習的重要性。在復習的過程中有很多學生因為復習資料較多而顯得茫無頭緒，這時，由不斷總結錯題匯集而成的錯題集便成為一個很好的復習寶典。有價值的錯題往往是知識點較為綜合的難題和需要技巧和能力的應用才能解答的題[2]。因而通過一道錯題便可以讀取到較多的知識性內容，可以做到對照題目翻找書本中的相關概念，做到綜合的復習與提升。這對于高考復習和階段性總結提升頗為有用。

二、如何挖掘高中數學錯題中蘊含的教育價值

1.對知識性內容進行總結，分析錯誤原因

下面是一道典型的三角函數與向量知識的綜合應用題。這一實例是高中數學應用型問題的代表，需要學生有較為綜合的數學邏輯和思維，能夠較好地理清知識點并進行準確的運算才能獲得正確求解。

例1.已知α、β、?為三個銳角，且α＝π-β-?.若向量與向量是共線向量。

三角函數在向量中的應用常常是利用空間向量的相互關系，并將向量間的關系轉化為三角函數式，由此達到結合兩部分知識并進行化簡問題最終得解的目標。

綜合分析上題可知，學生的易錯點在于三角函數運算公式識記不清、對向量共線等概念把握不準確進而造成錯解。通過對這一錯題的分析相當于同時總結了三角函數、向量、三角函數與向量的綜合應用方面的問題。學生通過錯解分析錯誤原因，更好地突出了錯題具有的教育意義[3]。

2.對能力性內容進行分析研究，啟迪類似問題的解法

例2．已知函數f(x)=X2+xsinx+cosx

（1）若曲線y=f(x)在點(m,f(m))處與直線y=n相切，求m與n的值。

（2）若曲線y=f(x)與直線y=n有兩個不同的交點，求n的取值范圍。

解：（1）由基本求導法則：f’(x)=2x+xcosx.

又由于曲線y=f(x)在點(m,f(m))處的切線為y=n.

所以f'(m)=0，f(m)=n。故有2a+acosa=0，a2+asina+cosa=n.聯立兩式，解得m=0,n=1.

（2）由2+cosx＞0,故當x＞0時，f’(x)＞0，f(x)為單調遞增函數.

當x＜0時，f’(x)＜0，f(x)為單調遞減函數。

當x＜0時，f(x)取得最小值f(0)=1。此時n的取值范圍為正無窮大。

導數和三角函數的結合應用在高中數學知識體系中就表現為這樣典型的兩個方面，從基本的求導公式的應用，到通過導數的相關性質判斷函數單調性及取值范圍以及進行函數表達式的求解。而三角函數的一些特殊性質，比如周期性、值域等基本的特性在應用導數求解問題時會使問題更多維化和思想化，較為考驗學生的綜合能力。

以上例題的綜合性也較大，出現了分類討論及求解混合方程與待定系數求解等多個方面的知識點。學生在解題的過程中需要知道基本的求導法則，同時根據題目給定的條件進行靈活變通，對類似題目的錯題進行總結，能夠明確考查能力型題目的命題方向和特點，經常研究這類題目是拓展學生的數學能力，為高分進階的重要法寶。

結 語

綜上所述，錯題的良性利用是高中數學教學有效性的重要實現途徑，通過合理地利用錯題并挖掘錯題中蘊含的教育價值，對于更好地促進高中生的學習，完善錯題中知識點的復習具有重要意義。同時，通過本文的分析也可看出，高中數學內容繁多，教學過程中知識性內容較多，而課下學生自主的能力鍛煉便顯得十分重要，通過積極地整理和應用數學錯題，能使學生自己發現學習過程中的漏洞，對知識點進行重新梳理和分析，明確自己的易錯點和相應的知識點的關系，進而做到對不同數學知識的良好掌握，更加凸顯數學錯題的教育價值，使得數學錯題的真正意義得以體現，為學生的知識學習和能力提升作出貢獻。

[1]盛曉燕．巧用數學錯題資源提高課堂教學效果[J/OL]．華夏教師，2016，(S2)：65(2016-08-09)． http：//kns．cnki．net/kcms/detail/10．1045．G4．20160809．1053．104．html．DOI：10．16704/j．cnki．hxjs．2016．s2．052．

[2]陳婷婷．例談數學錯題分析中學生知識內化的策略[J]．小學教學參考，2015，(08)：66-67．

[3]許春輝．數學“錯題本”在學生學習過程中的應用研究[J]．開封教育學院學報，2014，34(10)：231-232．